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1、数字地形模型与数据插值数字地形模型与数据插值一、概述一、概述数字地形模型数字地形模型(DTM，Digital Terrain Model)是通过地表点是通过地表点集的空间坐标集的空间坐标(x,y,z)及其属性数据表示地形表面特征的地学模型。及其属性数据表示地形表面特征的地学模型。在在GIS中，中，DTM广泛地应用于各种线路、水利工程的选择、军事地广泛地应用于各种线路、水利工程的选择、军事地形分析、土壤分析等。形分析、土壤分析等。DTM是是50年代由美国年代由美国MIT摄影测量实验室主任首次提出，并用其成摄影测量实验室主任首次提出，并用其成功地解决了道路工程中土方量估算问题功地解决了道路工程中土
2、方量估算问题DTM作为空间数据库的一种特定结构的数据集合，可以包括在作为空间数据库的一种特定结构的数据集合，可以包括在GIS中，成为其核心部分。中，成为其核心部分。DTM提出的早，可以认为提出的早，可以认为DTM是是GIS在概念在概念上和方法上的萌芽。上和方法上的萌芽。DTM是描述地表单元空间位置和地形属性分布的有序集合。是定义是描述地表单元空间位置和地形属性分布的有序集合。是定义于二维区域上的一个有限项的向量系列。它以离散分布的平面点来于二维区域上的一个有限项的向量系列。它以离散分布的平面点来模拟连点分布的地形。模拟连点分布的地形。从测绘角度看，从测绘角度看，DTM是新一代地形图是新一代地形
3、图。数字化的地形图，由大量地。数字化的地形图，由大量地面点空间坐标和地形属性数据组成，以数字形式描述地形地貌。面点空间坐标和地形属性数据组成，以数字形式描述地形地貌。 用途不同，数据结构不同，一般均可变换成栅格数据形式。用途不同，数据结构不同，一般均可变换成栅格数据形式。 Zij为网格点为网格点( i,j )上的地形属性数据上的地形属性数据当当Zij为海拔高程时，称为为海拔高程时，称为数字高程模型数字高程模型(DEM，Digital Elevation Model)，是，是DTM的一种特例的一种特例由于由于DTM是地理空间定位的数字数据集合，凡涉及地理空间的地学是地理空间定位的数字数据集合，凡
4、涉及地理空间的地学领域中各种属性，如地价、土地权属、土壤类型、地貌特征、岩层领域中各种属性，如地价、土地权属、土壤类型、地貌特征、岩层深度及土地利用等与地形有关的信息，均可用深度及土地利用等与地形有关的信息，均可用DTM来描述。来描述。DTM可以是每三个坐标值为一组元的散点结构，也可以是由多项式或可以是每三个坐标值为一组元的散点结构，也可以是由多项式或Fourier级数确定的曲面方程。级数确定的曲面方程。由于由于DEM是是DTM中的一种，所以在这里我们只介绍中的一种，所以在这里我们只介绍DEM的生成方的生成方法，再将它推广到其它地面特性的法，再将它推广到其它地面特性的DTM。DTM按不同分类方
5、法，分为不同类型：按不同分类方法，分为不同类型：按区域按区域 （综合性（综合性 、区域性、区域性、专题性）；专题性）；按结构按结构 （规则格网、空间多边形、平面多边形（规则格网、空间多边形、平面多边形 、等直、等直线、曲面、散点）；线、曲面、散点）；按内容按内容（数字地貌模型、非数字地貌模型）（数字地貌模型、非数字地貌模型）柯正谊等按空间结构形式将柯正谊等按空间结构形式将DTM分为七类：规则格点分为七类：规则格点(格网格网)数字地数字地面模型、散点数字地面模型、等值线数字地面模型、曲面数字地面面模型、散点数字地面模型、等值线数字地面模型、曲面数字地面模型、线路数字地面模型、平面多边形数字地面模
6、型和空间多边形模型、线路数字地面模型、平面多边形数字地面模型和空间多边形数字地面模型。数字地面模型。在实际应用中最常用的三类数字地面模型：在实际应用中最常用的三类数字地面模型：规则格规则格网网(GRID)、三角形不规则格网、三角形不规则格网(TIN)及及数字等值线图数字等值线图。 GRIDGRID 与与 TINTIN 比较比较数据叠置和数据分析数据叠置和数据分析 比较方便比较方便 比较困难比较困难数据结构数据结构 简单简单 复杂复杂数据量数据量 大大( (可压缩可压缩) ) 小小模型精度模型精度 反映地形总体，忽略特征部位反映地形总体，忽略特征部位 反映地形特点反映地形特点立体图显示立体图显示
7、 算法简单算法简单 算法复杂算法复杂二、DTM的建立1、 数据的表示：数据的表示：数学方法数学方法和图像法图像法数学法数学法包括整体（Fourier级数、高次多项式）和局部（规则、不规则“块”）图像法图像法包括点数据（规则；不规则：TIN、邻近网；典型特征：山峰、洼坑、隘口等）和线数据（水平线、垂直线、典型线，如山脊线、山谷线 、海岸线等）2、 数据的获取数据的获取获取正确的数据是建立DTM的第一步，也是最关键的一步，直接影响(DTM 精度；费用开支 )，需从现有设备、人力、物力和资源条件出发，根据建立DTM的用途，确定数据源种类和技术手段。数据源类型：数据源类型： 航空和航天遥感资料（航片，
8、大比例尺；卫星遥感资料，小比例尺） 地形图（比例尺=10000的近期基本地形图） 地面实测记录为数据源（建立各类专题DTM的数据） 各种专题地图 统计报表和行政区域地图 数字高程模型数据采集数字高程模型数据采集建立DEM，首先必须量测一些点的三维坐标，这就是DEM数据采集或DEM数据获取，这些具有三维坐标的点称为数据点或参考点。按采集的方式可分为选点采集、随机采集、沿等高线采集、沿断面采集等；按数据的来源分，有从现有的地形图数字化或航空相片上采集，有从进行地面测量或由机载的测高仪上直接获得；按数据采集的方法分，可有人工、半自动、自动采集等。数据采集是数据采集是DEM的关键的关键。数据采集一般遵
9、循以下原则： (1)在DEM数据采集之前，根据DEM的精度要求确定合理的采样精度 (2)在DEM数据采集过程中，根据DEM的精度要求确定合理的取样密度，单调地形应均匀采点，密度不必过大，对变化明显的地形应密集采点，尽量采集地形转折处的数据点。 (3)不应出现大的空白区，如对于大片平坦地区应保证最低的采点密度(单位面积内若干点)。数据处理数据处理采集到的数据需经过处理才能应用。数数据据处处理理是是以以数数据据点点作作为为控控制制基基础础，用用某某一一数数学学模模型型来来模模拟拟地地表表面面，进进行行内内插插加加密密计计算算，确确定定三三角网或格网节点处的特征。角网或格网节点处的特征。数据处理一般
10、包括数据格式转换、坐标系变换、数据编辑、数据分块、数据加密、数据内插等。其中内插是数据处理的主要内内插是数据处理的主要内容，也容，也是是DEM建立的主要内容建立的主要内容。数据加密：数据加密：数字化时点位、点数选择是不一致的，为了保证在内插时避免太大的真和保证所要求的精度，在每条等高线的己知有限个采样点的基础上，加密生更多个占知数据点是必要的，而且现有的光滑数学方法完全可保证加密精度，光滑步距视要求而定3、 数据的插值数据的插值影影响响DEMDEM精精度度的的另另一一个个因因素素就就是是内内插插法法的的选选取取。内内插插就就是是根根据据参参考考点上点上的高程求出其他待定点上的高程，在数学上属于
11、插值问题。的高程求出其他待定点上的高程，在数学上属于插值问题。常常用用的的几几种种插插值值算算法法有有：距距离离加加权权法法、移移动动拟拟合合法法、双双线线性性、趋趋势势面、样条、克吕格面、样条、克吕格(Kriging)(Kriging)法以及分形插值法。法以及分形插值法。 A A 反反距距离离权权插插值值(IDW)(IDW): :IDW方方法法是是利利用用“距距离离越越远远对对待待插插值值点点影影响响越小越小”的思想，以距离倒数次方为权值进行的插值。的思想，以距离倒数次方为权值进行的插值。 F(x,y) = Sum(Zi1/din) / Sum(1/din) n = 1 or 2 di 是待
12、插点到已知点的距离，是待插点到已知点的距离，F(x,y)为要求的待插点的值为要求的待插点的值 B 移动平均插值移动平均插值由由待待插插值值点点周周围围局局部部范范围围内内的的所所有有数数值值进进行行平平均均来来获获取取待插数值。待插数值。 C 双线性插值双线性插值(Bi-Linenr Interpolation)左图为左图为TIN中的三角形插值，右图为中的三角形插值，右图为GRID中的矩形插值中的矩形插值均依照线性变化的关系，均依照线性变化的关系，TIN中先计算三角形中的中先计算三角形中的D、E点的值点的值Vd和和Ve，再由，再由Vd和和Ve计算计算Vp; GRID中先计算矩形形中的中先计算矩
13、形形中的E、F点的值点的值Ve和和Vf，再由，再由Ve和和Vf计算计算Vp Ve = Vb * a_e + Va * (1 - a_e) 其中其中 a_e = AE / ABVf = Vd * c_f + Vc * (1 - c_f) 其中其中 c_f = CF / CDV = Vf * e_p + Ve * (1-e_p) 其中其中 e_p = EP / EF针对针对GRID，除双线性插值外，常用的插值方法还有，除双线性插值外，常用的插值方法还有最近邻最近邻(Nearest Neighbourhood)插值插值和和双立方卷积双立方卷积(Bi-Cubic Convolusion)插值插值双线性
14、内插仅考虑待采样点周围双线性内插仅考虑待采样点周围4个单元的对插值的影响。而实际个单元的对插值的影响。而实际上周围其它单元对待插点的数值都有一定的贡献上周围其它单元对待插点的数值都有一定的贡献(影响影响)，只是随着，只是随着距离的增大而贡献减小。这种情况一般用辛克函数表示。距离的增大而贡献减小。这种情况一般用辛克函数表示。 1 - 2x2 + |x3| |x|1 sinc(x) 4 - 8|x| + 5x2 - |x3| 1=|x|=2 常采用三次卷积法近似辛克函数进行处理。常采用三次卷积法近似辛克函数进行处理。 待插值点的数值由其待插值点的数值由其周围周围16个单元的数值通过加权求出。个单元
15、的数值通过加权求出。 其算法基本结构：其算法基本结构： I11 I12 I13 I14Z = WX * I21 I22 I23 I24 * WY I31 I32 I33 I34 I41 I42 I43 I44 WX 和和WY为两个方向的权系数为两个方向的权系数趋势面插值是利用一个趋势面插值是利用一个通过各空间采样点的空通过各空间采样点的空间曲面来模拟地形表面，间曲面来模拟地形表面，常取二次或三次趋势面常取二次或三次趋势面 ，如，如Zp aX2 + bXY + cY2 + dX + eY + f 来拟来拟合，式中合，式中a，b，c，d，e，f为待定系数为待定系数E 样条插值样条插值(Spline
16、)D 趋势面插值趋势面插值(Trend Surface Interpolation):“样样条条”的的原原意意是是绘绘图图时时用用的的弹弹性性曲曲尺尺，在在传传统统手手工工过过程程中中，常常用用它它绘绘制制一一条条光光滑滑曲曲线线。样样条条插插值值又又分分为为二二种种，一一种种是是距距离离函函数数样样条条法，一种称为分片法，一种称为分片Hermit样条法。这里只介绍距离函数的采样方法样条法。这里只介绍距离函数的采样方法式中式中P为待求点，为待求点，Pi为已知高程值点，其对应的值为为已知高程值点，其对应的值为Fi (i=1，2，n)，各系数，各系数ci(i=1，2，n)，a，b，c由下式确定：由
17、下式确定： 其中其中t为一常数。为一常数。 F 克吕格克吕格(Kriging)插值插值 也有翻译为也有翻译为克里金克里金插值插值 Kriging插值的思想与上述方法都不同，插值的思想与上述方法都不同，它首先考虑的是空间属性它首先考虑的是空间属性在空间位置上的变异分布，确定对一个待插点值有影响的距离范围，在空间位置上的变异分布，确定对一个待插点值有影响的距离范围，然后用此范围内的采样点来估计待插点属性值。然后用此范围内的采样点来估计待插点属性值。它是一种求最优线它是一种求最优线性无偏内插估计量的方法，它是在考虑了信息样品的形状、大小及性无偏内插估计量的方法，它是在考虑了信息样品的形状、大小及其与
18、待估块段相互间的空间分布位置等几何特征以及品位的空间结其与待估块段相互间的空间分布位置等几何特征以及品位的空间结构之后，为了达到线性、无偏和最小估计方差的估计，而对每一样构之后，为了达到线性、无偏和最小估计方差的估计，而对每一样品值分别赋与一定的系数，最后进行加权平均来估计块段品位的方品值分别赋与一定的系数，最后进行加权平均来估计块段品位的方法。从这个意义上说，我们认为，只有法。从这个意义上说，我们认为，只有KrigingKriging方法才是一种真正方法才是一种真正的插值方法。的插值方法。(见陈述彭等编见陈述彭等编地理信息系统导论地理信息系统导论P120P121)KrigingKriging
19、插值的计算步骤：插值的计算步骤： (1)输入原始数据输入原始数据(采样点采样点)。 (2)数数据据检检验验与与分分析析，不不同同的的应应用用领领域域有有不不同同的的检检查查方方法法，原原则则是是看采样值是否合乎实际情况，删去明显相差点。看采样值是否合乎实际情况，删去明显相差点。 (3)直直方方图图的的计计算算。直直方方图图有有助助于于人人们们掌掌握握区区域域化化变变量量的的分分布布规规律律，以便决定是否对原始数据进行预处理。以便决定是否对原始数据进行预处理。 (4)计算变异函数了解变量的空间结构。常用的理论模型有：计算变异函数了解变量的空间结构。常用的理论模型有： 0 h = 0 (h) =
20、C0 + C ( 3/2*h/a 1/2*h3/a3 ) 0 h a (h)为半变异函数，为半变异函数，h为两样本间的距离，为两样本间的距离，C为基台值，为基台值，C0为纯块为纯块金效应，金效应，a为变程为变程(即影响距离的范围即影响距离的范围)。计算此模型时，先作出以两计算此模型时，先作出以两个任意采样点对之间的距离为横轴，以它们的样本值差的平方为纵个任意采样点对之间的距离为横轴，以它们的样本值差的平方为纵轴的散点图，然后用最小二乘加权拟合的方法求出拟合变异函数。轴的散点图，然后用最小二乘加权拟合的方法求出拟合变异函数。 (5) KrigingKriging插值估计。在内蕴假设下有：插值估计
21、。在内蕴假设下有： 求出各权系数求出各权系数 (i1，2，.，n)代入估计式代入估计式 中即中即可求得评估领域内可求得评估领域内n个采样值的个采样值的Z线性组合线性组合G 分形插值分形插值(Fractional) 在不同尺度几何形态自相似在不同尺度几何形态自相似请参考王桥等编著请参考王桥等编著地图信息的分形描述与自动综合研究地图信息的分形描述与自动综合研究武测版武测版 总结：总结：各种插值方法的具体实现过程中，参数的选择或调整要随地各种插值方法的具体实现过程中，参数的选择或调整要随地形而变。每一种插值方法都有自己特别适合的地形，目前还没有找形而变。每一种插值方法都有自己特别适合的地形，目前还没
22、有找到一种在任何情况下运用效果都非常好的方法，实际上这也是不可到一种在任何情况下运用效果都非常好的方法，实际上这也是不可能的。经研究测试认为，能的。经研究测试认为，数值等高线内插所产生的数值等高线内插所产生的DEM，其品质随，其品质随内插法、等高线的质量、地形特性内插法、等高线的质量、地形特性(如坡度大小如坡度大小)等因素的变化而有等因素的变化而有所不同所不同。由由Spline(样条样条)和和Trend(趋势面趋势面)方法产生的方法产生的DEM几乎无法几乎无法真实地反映地形起伏的特性，样条插值适合于非常光滑的曲面真实地反映地形起伏的特性，样条插值适合于非常光滑的曲面； IDW方法的结果显示误差
23、分布和地形坡度大小没有特别显著的关系，方法的结果显示误差分布和地形坡度大小没有特别显著的关系，对地形转折反映不佳对地形转折反映不佳；相对来说相对来说Kriging插值则能较好地反映这些地插值则能较好地反映这些地形变化，但形变化，但Kriging方法的计算量很大方法的计算量很大。Fourier级数适合欲沙丘、级数适合欲沙丘、波纹标记或人造地物等周期特征波纹标记或人造地物等周期特征。移动平均法适合于中等平滑数据移动平均法适合于中等平滑数据的快速等值线绘制的快速等值线绘制。一般说来，内插结果应该尽量满足如下三项要求：一般说来，内插结果应该尽量满足如下三项要求： (1)保凸保凸(形形)性要求性要求 以
24、曲线为例描述，如果模拟曲线与实际曲线有以曲线为例描述，如果模拟曲线与实际曲线有相等数目的拐点，而且对应拐点的位置接近，则认为模拟曲线的保相等数目的拐点，而且对应拐点的位置接近，则认为模拟曲线的保凸性良好。反之，若两者拐点数目不相等，或虽然相等但对应位置凸性良好。反之，若两者拐点数目不相等，或虽然相等但对应位置相差太远，则认为保凸性差。相差太远，则认为保凸性差。 (2)(2)逼逼真真性性要要求求 因因为为拟拟合合面面不不可可能能完完全全符符合合实实际际曲曲面面，逼逼真真只只能能是是在在一一定定的的容容许许误误差差内内的的“逼逼真真”，设设容容许许误误差差为为如如果果拟拟合合面面F F拟拟(x(x
25、，y)y)与与实实际际曲曲面面f(zf(z，y)y)之之间间满满足足如如下下条条件件则则认认为为拟拟合合面面达达到到逼逼真真性要求：性要求： Max|Max|F拟拟 (x x，y) - f(zy) - f(z，y)| = hy)| = h (3)光光滑滑性性要要求求 对对曲曲线线来来说说，光光滑滑性性是是指指曲曲线线上上曲曲率率的的连连续续性性，函函数二次可导是曲率连续的先决条件。数二次可导是曲率连续的先决条件。4、 DTM的生成的生成DTMDTM生成全过程：原始数据获取、数据插值、按选定数据结构存贮、生成全过程：原始数据获取、数据插值、按选定数据结构存贮、模型输出、派生数据（因子）提取模型输
26、出、派生数据（因子）提取GRID的生成的生成 插值插值TINTIN的生成的生成首先取其中任一点首先取其中任一点P1，在其余各点中寻找与此点距离最近，在其余各点中寻找与此点距离最近的点的点P2，连接，连接P1P2构成第一边，然后在其余所有点中寻构成第一边，然后在其余所有点中寻找与这条边最近的点，找到后即构成第一个三角形，再以找与这条边最近的点，找到后即构成第一个三角形，再以这个三角形新生成的两边为底边分别寻找距它们最近的点这个三角形新生成的两边为底边分别寻找距它们最近的点构成第二个、第三个三角形，依此类推构成第二个、第三个三角形，依此类推 编程实现时有如下几点值得注意：编程实现时有如下几点值得注
27、意：(1)以第一边为底边搜索第以第一边为底边搜索第3个顶点时，应该在向量个顶点时，应该在向量P1P2的左右两边的左右两边都搜索。都搜索。(2)搜索时应依据点与边搜索时应依据点与边“距离最近原则距离最近原则”，即第三点到此边中点距，即第三点到此边中点距离为最短，或第三点与边所构成以此点为顶点的角度为最大，或称离为最短，或第三点与边所构成以此点为顶点的角度为最大，或称“角度最大原则角度最大原则”。(3)在搜索时，对所给点集进行区块划分，提高搜索效率在搜索时，对所给点集进行区块划分，提高搜索效率(4) 三角网中，共享一条边的三角形最多只有两个三角网中，共享一条边的三角形最多只有两个(5)在搜索过程中
28、，应消除四点共圆等情况引起的三角形交叉或同一在搜索过程中，应消除四点共圆等情况引起的三角形交叉或同一 最后还应人工依据实际情况进行调整和甄别最后还应人工依据实际情况进行调整和甄别TIN与泰森与泰森(Thiessen)三角形的区别：三角形的区别：TIN： 不规则三角网，一般三角网不规则三角网，一般三角网泰森泰森(Thiessen)三角形：最优三角形，由泰森多边三角形：最优三角形，由泰森多边形中心点连成，形中心点连成， 三角形与正三角形最接近三角形与正三角形最接近DEM模型之间的相互转换模型之间的相互转换不规则点集生成TIN 格网DEM转成TIN 保留重要点（VIP）法 启发丢弃法 (DHDrop
29、 Heuristic )VIP方法示意 DH方法转换格网DEM成TIN 3DEM模型之间的相互转换模型之间的相互转换等高线转成格网DEM 使用局部插值算法 往往出现问题解决方法是使用针对等高线插值的专用方法 等值线插值造成“阶梯地形” 利用格网DEM提取等高线 TIN转成格网DEM 三、三、DTM的应用的应用数数字字地地面面模模型型具具有有定定位位、定定量量化化优优点点，有有着着广广泛泛的的应应用用领领域域。可可用用于于遥遥感感影影像像地地形形畸畸变变的的自自动动校校正正，地地球球重重力力测测量量的的自自动动校校正正，等等高高线线、地地形形剖剖面面、透透视视立立体体图图及及与与地地形形有有关关
30、的的多多种种专专题题地地图图的的自自动动绘绘制制等等；在在工工程程勘勘测测和和规规划划方方面面，可可用用于于公公路路、铁铁路路、通通讯讯线线、输输电电线线的的选选线线和和土土方方量量算算等等：水水利利工工程程中中的的大大坝坝和和水水库库选选址址及及设设计计，水水库库体体积积和和容容量量的的计计算算：电电视视塔塔、微微波波系系统统、军军事事制制高高点点等等地地形形选选择择，导航导航( (包括导弹与飞机的导航包括导弹与飞机的导航) )、覆盖区域视野范围的计算、覆盖区域视野范围的计算等。等。1、 等高线绘制：等高线绘制： 等高线追踪与等高线光滑（插值）等高线追踪与等高线光滑（插值）2、立体透视图绘制
31、、立体透视图绘制从从数数字字高高程程模模型型绘绘制制透透视视立立体体图图是是DEMDEM的的一一个个极极其其重重要要的的应应用用。透透视视立立体体图图能能更更好好地地反反映映地地形形的的立立体体形形态态，与与采采用用等等高高线线表表示示地地表表形形态态变变化化有有其其自自身身独独特特的的优优点点，非非常常直直观观，更更接接近近人人们们的的直直观观视视觉觉。特特别别是是随随着着计计算算机机图图形形处处理理工工作作的的增增强强以以及及屏屏幕幕显显示示系系统统的的发发展展，使使立立体体图图形形的的制制作作具具有有更更大大的的灵灵活活性性，人人们们可可以以根根据据不不同同的的需需要要，对对同同一一个个
32、地地形形形形态态做做各各种种不不同同的的立立体体显显示示。其其基基本本处处理理过过程程为为：透透视变换视变换、色调计算色调计算、隐藏面消除隐藏面消除、图形输出图形输出等。等。3、地形剖面图绘制、地形剖面图绘制4、DTM的地形分析的地形分析尽尽管管DTMDTM的的应应用用十十分分广广泛泛，但但地地形形分分析析是是其其基基本本应应用用，其其他他应应用用都都可可由由此此推推演演、扩扩展展。从从DEMDEM中中可可以以自自动动提提取取地地形形因因子子，如如坡坡度度、坡坡向、高程变异、地表粗糙度、曲面面积、体积、谷脊特征分析等。向、高程变异、地表粗糙度、曲面面积、体积、谷脊特征分析等。三维可视化三维可视化城城市市三三维维建建模模
