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1、12.2函数的表示法函数的表示法(第第1课时课时函数的表示法函数的表示法)1函数的三要素为 、 、 2作函数图象的方法有 定定义义域域值值域域对应对应关系关系描点法描点法121任何一个函数都可以用解析法表示吗？【提示】不一定如学校安排的月考某一地区绿化面积与年份关系等受偶然因素影响较大的函数关系就无法用解析法表示2函数的解析式与函数图象的关系是什么？【提示】(1)函数的解析式可以简明、全面地概括变量之间的关系，方便通过解析式研究函数的性质，可以利用解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值，但解析式法不够形象、直观、具体，而且并不是所有的函数都能用解析式表示(2)函数的图象能直观地表示函数的变
2、化情况，但只能近似地求出自变量对应的函数值，而且有时误差较大3求下列函数的解析式(1)已知f(x)x22，求f(x1)，f(x2)；(2)已知f(x1)x22x，求f(x)【思路点拨】由题目可以获取以下主要信息：对应关系f对自变量x起作用，可用代入法求解对应关系f对(x1)起作用，需要寻找对应关系f怎样对自变量x起作用，可用配凑法或换元法求解4【解析】(1)(代入法)：f(x)x22f(x1)(x1)22x22x1f(x2)(x2)22x24x6(2)(方法一)(换元法)：令x1t则xt1f(t)(t1)22(t1)t21f(x)x21方法二(配凑法)：x22x(x1)21f(x1)(x1)2
3、1f(x)x215(1)若已知f(x)，求f(g(x)，常用代入法(2)若已知f(g(x)，求f(x)常用换元法和配凑法1.(1)已知f(x)x2x1，求f(x1)；(2)已知f(x1)x23x2，求f(x)【解析】(1)f(x)x2x1f(x1)(x1)2(x1)1x2x1(2)f(x1)x23x2(x1)25(x1)6f(x)x25x6.6求下列函数的解析式：(1)已知f(x)是二次函数，且f(0)2，f(x1)f(x)x1，求f(x)；(2)已知反比例函数f(x)满足f(3)6，求f(x)的解析式；【思路点拨】函数模型设解析式列方程组确定系数78已知函数的模型(如一次函数、二次函数、反比
4、例函数等)求函数解析式，常采用待定系数法，然后由题设条件求待定系数题(1)已知函数为二次函数，由条件列方程组求解即得待定系数a，b的值如题(2)设反比例函数f(x)k/x(k0)，由f(3)6可得k的值；92.本例1(中)若条件“f(x1)f(x)x1”变为“f(x1)f(x)2x”，求f(x)10作出下列函数图象并求其值域(1)y2x24x3(0x3)(2)y1/x(x1)【思路点拨】由题目可获取以下主要信息：中函数是二次函数，且定义域为1,3中定义域为1，)解答本题时要注意定义域对图象的影响【解析解析】(1)因为x0,3)，故图象是一段抛物线(如图(1)，由图象知，y5,3)(2)当x1时
5、，y1，所画函数图象如图(2)；由图象知，函数值域为(0,111(1)图象法是表示函数的方法之一，画函数图象时，以定义域、对应关系为依据，采用列表、描点法作图当已知式是一次或二次式时，可借助一次函数或二次函数的图象帮助作图(2)作图象时，应标出某此关键点，例如，图象的顶点、端点、与坐标轴的交点等要分清这些关键点是实心点，还是空心点123.本例(1)中，若将函数定义域改为0，)，作出函数的图象并求其值域；4本例(2)中，若将函数定义域改为(1,0)(0,1)，作出函数图象并求其值域13【解析】3.作出y2x24x3x0，)的图象(如图1)由图象知函数的值域为-5，+)4作出y= ，x(-1,0)
6、(0,1)的图象(如图2)由图象知函数的值域为(-1,0)(0，+)14优点优点缺点缺点解解析析法法一是简明、全面地概括了变量间一是简明、全面地概括了变量间的关系；二是通过解析式可以求的关系；二是通过解析式可以求出任意一个自变量所对应的函数出任意一个自变量所对应的函数值值不够形象、直观、具体，而不够形象、直观、具体，而且并不是所有的函数都能用且并不是所有的函数都能用解析式表示出来解析式表示出来列列表表法法不需要计算就可以直接看出与自不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值变量的值相对应的函数值它只能表示自变量取较少的它只能表示自变量取较少的有限值的对应关系有限值的对应关系图图象象法法
7、能形象直观地表示出函数的变化能形象直观地表示出函数的变化情况情况只能近似地求出自变量的值只能近似地求出自变量的值所对应的函数值，而且有时所对应的函数值，而且有时误差较大误差较大函数的三种表示方法的函数的三种表示方法的优优缺点比缺点比较较15函数的三种表示方法相互兼容和补充，许多函数是可以用三种方法来表示的，但在实际操作中，仍以解析法为主已知f(x22)x44x2，求f(x)的解析式【错解】f(x22)x44x2(x22)24，设tx22，则f(t)t24.f(x)x24.【错因】本题错解的原因是忽略了函数f(x)的定义域上面的解法，似乎是无懈可击，然而从其结论，即f(x)x24来看，并未注明f
8、(x)的定义域，那么按一般理解，就应认为其定义域是全体实数但是f(x)x24的定义域不是全体实数16事实上，任何一个函数都由定义域、值域和对应关系f三要素组成所以，当函数f(g(x)一旦给出，则其对应关系f就已确定并不可改变，那么f的“管辖范围”(即g(x)的值域)也就随之确定因此，我们由f(g(x)求f(x)时，求得的f(x)的定义域就理应与f(g(x)中的f的“管辖范围”一致才妥17【正解正解】f(x22)x44x2(x22)24，令令tx22(t2)，则则f(t)t24(t2)，f(x)x24(x2)18第二课时1分段函数的概念在定义域内_上，有 的 的函数通常叫做分段函数2映射设A、B
9、是两个集合，如果按照某种 ，对于集合A中的 一个元素，在集合B中都有 的元素和它对应，那么这样的对应叫做集合A到集合B的映射，记作： .不同区不同区间间不同不同解析式解析式对应对应关系关系任意任意唯一唯一f：AB191分段函数是一个函数还是几个函数？其定义域、值域各是什么？【提示】分段函数是一个函数而非几个函数，其定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集2函数是映射吗？【提示】对比函数定义与映射定义可知，函数是特殊的映射，是从非空数集到非空数集的映射2021【解析】31，f(3)321f(f(3)f(1)1，112，f(f(f(3)f(1)1.(1)分段函数求值，一定要注意所给自变量的值
10、所在的范围，代入相应的解析式求得(2)像本题中含有多层“f”的问题，要按照“由里到外”的顺序，层层处理22232425对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象由于分段函数在定义域的不同区间内解析式不一样，因此画图时要特别注意区间端点处对应点的实虚之分2.写出下列函数的解析式并作出函数图象：(1)设函数yf(x)，当x0时，f(x)0；当x0时，f(x)2；(2)设函数yf(x)，当x1时，f(x)x1；当1x1时，f(x)0；当x1时，f(x)x1.2627判断下列对应是不是从A到B的映射：(1)AN，BN*，f：x|x
11、2|；(2)Ax|0x6，By|0y2，f：xy1/2x；(3)Ax|x3，xN，Ba|a0，aZ，f：xax22x4；【思路点拨】由题目可获取以下主要信息：判断对应是否为映射；用解析式给出了三个对应关系解答本题可先由映射定义出发，观察A中任何一个元素在B中是否都有唯一元素与之对应2829要判断对应f：AB是否是A到B的映射，必须做到两点：明确集合A、B中的元素；根据映射定义判断A中每个元素是否在B中能找到唯一确定的对应元素3.判断下列对应是不是从A到B的映射：(1)AN，BN，f：x|x2|；(2)Ax|0x6，By|0y3，f：xy1/2x；(3)Ax|x3，xN，Ba|a4，aZ，f：x
12、ax22x4.30【解析】(1)集合A中的任意元素在对应关系f：x|x2|下，B中都有元素与之对应，故是从A到B的映射(2)根据映射的定义，是从A到B的映射(3)集合A中的元素1在集合B中没有元素与之对应，故不是从A到B的映射311正确认识分段函数(1)分段函数是一个函数而非几个函数，只不过在定义域的不同子集内解析式不一样(2)分段函数的定义域是各段“定义域”的并集，其值域是各段“值域”的并集(3)分段函数的图象应分段来作，特别注意各段的自变量取区间端点处时函数的取值情况，以决定这些点的实虚情况322正确理解映射概念(1)映射f：AB是由非空集合A、B以及A到B的对应关系f所确定的(2)映射定义中的两个集合A、B是非空的，可以是数集，也可以是点集或其他集合，A、B是有先后次序的，A到B的映射与B到A的映射一般是截然不同的，即f具有方向性(3)在映射中，集合A的“任一元素”，在集合B中都有“唯一”的对应元素，不会出现一对多的情况只能是“多对一”或“一对一”形式333435
