《高考数学一轮复习 第十章 计数原理、概率、随机变量 10.4 随机事件的概率课件(理).ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学一轮复习 第十章 计数原理、概率、随机变量 10.4 随机事件的概率课件(理).ppt（80页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第四节随机事件的概率【知【知识梳理】梳理】1.1.事件的相关概念事件的相关概念会会发生生不不发生生发生生不不发生生2.2.频率和概率率和概率(1)(1)频数、数、频率率: :在相同的条件在相同的条件S S下重复下重复n n次次试验, ,观察某察某一事件一事件A A是否出是否出现, ,称称n n次次试验中事件中事件A A出出现的的_为事件事件A A出出现的的频数数, ,称事件称事件A A出出现的比例的比例f fn n(A)=_(A)=_为事件事件A A出出现的的频率率. .次数次数n nA A(2)(2)概率概率: :对于于给定的随机事件定的随机事件A,A,如果随着如果随着试验次数的次数的增加增
2、加, ,事件事件A A发生的生的频率率f fn n(A)(A)稳定在某个常数上定在某个常数上, ,把把这个常数个常数记作作_,_,称称为事件事件A A的概率的概率. .P(A)P(A)3.3.事件的关系与运算事件的关系与运算名称名称条件条件结论结论符号表示符号表示包含包含关系关系A A发生发生B B发生发生事件事件B_B_事件事件A(A(事件事件A A_事件事件B)B)B BA A( (或或A AB)B)相等相等关系关系若若_ 事件事件A A与事件与事件B B相等相等A=BA=B并并( (和和) )事件事件A A发生或发生或B B发生发生事件事件A A与事件与事件B B的并事件的并事件( (或
3、或和事件和事件) )_包含包含包含于包含于B BA A且且A AB BABAB( (或或A+B)A+B)名称名称条件条件结论结论符号表示符号表示交交( (积积) )事件事件A A发生且发生且B B发生发生事件事件A A与事件与事件B B的交事件的交事件( (或积事件或积事件) )_互斥互斥事件事件ABAB为为_事件事件事件事件A A与事件与事件B B互斥互斥AB=AB= 对立对立事件事件ABAB为为_事事件件,AB,AB为必然事为必然事件件事件事件A A与事件与事件B B互为对立互为对立事件事件AB=AB= , ,P(AB)=1P(AB)=1ABAB( (或或AB)AB)不可能不可能不可能不可
4、能4.4.概率的几个基本性概率的几个基本性质(1)(1)概率的取概率的取值范范围:_.:_.(2)(2)必然事件的概率必然事件的概率为_._.(3)(3)不可能事件的概率不可能事件的概率为_._.(4)(4)概率的加法公式概率的加法公式: :如果事件如果事件A A与事件与事件B B互斥互斥, ,则P(AB)=_.P(AB)=_.0P(A)10P(A)11 10 0P(A)+P(B)P(A)+P(B)(5)(5)对立事件的概率立事件的概率: :若事件若事件A A与事件与事件B B互互为对立事件立事件, ,则ABAB为必然事件必然事件,P(AB)=_,P(A)=_.,P(AB)=_,P(A)=_.
5、1 11-P(B)1-P(B)【特【特别提醒】提醒】1.1.概率与概率与频率的关系率的关系概率可看成概率可看成频率在理率在理论上的期望上的期望值, ,它从数量上反映了它从数量上反映了随机事件随机事件发生的可能性的大小生的可能性的大小, ,频率在大量重复率在大量重复试验的的前提下可近似地作前提下可近似地作为这个事件的概率个事件的概率. .2.2.事件互斥是指事件互斥是指由各个事件所含的由各个事件所含的结果果组成的集合彼此的交集成的集合彼此的交集为空集空集. .3.3.事件事件A A的的对立事件立事件 是指是指全集中由事件全集中由事件A A所含的所含的结果果组成的集合的成的集合的补集集. .【小【
6、小题快快练】链接教材接教材练一一练1.(1.(必修必修3P1233P123习题3.1A3.1A组T3T3改改编) )李老李老师在某大学在某大学连续3 3年主年主讲经济学院的高等数学学院的高等数学, ,下表是李老下表是李老师这门课3 3年年来的考来的考试成成绩分布分布: :成绩成绩人数人数9090分以上分以上424280808989分分17217270707979分分24024060606969分分868650505959分分52525050分以下分以下8 8经济学院一年学院一年级的学生王小明下学期将的学生王小明下学期将选修李老修李老师的的高等数学高等数学课, ,用已有的信息估用已有的信息估计他
7、得以下分数的概率他得以下分数的概率: :(1)90(1)90分以上的概率分以上的概率: :. .(2)(2)不及格的概率不及格的概率: :. .【解析】【解析】(1) (1) (2) (2) 答案答案: :(1)0.07(1)0.07(2)0.1(2)0.12.(2.(必修必修3P1243P124习题3.1A3.1A组T6T6改改编) )袋中装有袋中装有9 9个白球个白球,2,2个个红球球, ,从中任取从中任取3 3个球个球, ,则恰有恰有1 1个个红球和全是白球球和全是白球;至少有至少有1 1个个红球和全是白球球和全是白球;至少有至少有1 1个个红球和至球和至少有少有2 2个白球个白球;至少
8、有至少有1 1个白球和至少有个白球和至少有1 1个个红球球. .在上在上述事件中述事件中, ,是是对立事件的立事件的为. .【解析】【解析】至少有至少有1 1个红球和全是白球不同时发生个红球和全是白球不同时发生, ,且且一定有一个发生一定有一个发生. .所以所以中两事件是对立事件中两事件是对立事件. .答案答案: :感悟考感悟考题试一一试3.(20163.(2016长沙模沙模拟) )有一个容量有一个容量为6666的的样本本, ,数据的分数据的分组及各及各组的的频数如下数如下: :11.5,15.5)11.5,15.5)2 215.5,19.5)15.5,19.5)4 419.5,23.5)19
9、.5,23.5)9 923.5,27.5)23.5,27.5)181827.5,31.5)27.5,31.5)111131.5,35.5)31.5,35.5)121235.5,39.5)35.5,39.5)7 739.5,43.5)39.5,43.5)3 3根据根据样本的本的频率分布估率分布估计, ,数据落在数据落在27.5,43.5)27.5,43.5)的概的概率率约是是( () )【解析】【解析】选选C.C.由条件可知由条件可知, ,落在落在27.5,43.5)27.5,43.5)的数据有的数据有11+12+7+3=33(11+12+7+3=33(个个),),故所求概率约为故所求概率约为
10、4.(20164.(2016开封模开封模拟) )下列各下列各组事件中事件中, ,不是互斥事件的不是互斥事件的是是( () )A.A.一个射手一个射手进行一次射行一次射击, ,命中命中环数大于数大于8 8与命中与命中环数数小于小于6 6B.B.统计一个班的数学成一个班的数学成绩, ,平均分不低于平均分不低于9090分与平均分分与平均分不高于不高于9090分分C.C.播种播种100100粒菜籽粒菜籽, ,发芽芽9090粒与粒与发芽芽8080粒粒D.D.检验某种某种产品品, ,合格率高于合格率高于70%70%与合格率低于与合格率低于70%70%【解析】【解析】选选B.B.由互斥事件的意义由互斥事件的
11、意义A,C,DA,C,D都是互斥事件都是互斥事件, ,而平均分不低于而平均分不低于9090分与平均分不高于分与平均分不高于9090分都含有分都含有9090分分, ,故故B B不是互斥事件不是互斥事件. .5.(20165.(2016太原模太原模拟) )某人某人进行打靶行打靶练习, ,共射共射击1010次次, ,其中有其中有2 2次中次中1010环, ,有有3 3次中次中9 9环, ,有有4 4次中次中8 8环, ,有有1 1次未打次未打靶靶. .假假设此人射此人射击1 1次次, ,则其中靶的概率其中靶的概率约为; ;中中1010环的概率的概率约为. .【解析】【解析】中靶的频数为中靶的频数为9
12、,9,试验次数为试验次数为10,10,所以中靶的频所以中靶的频率为率为 =0.9, =0.9,所以此人射击所以此人射击1 1次次, ,中靶的概率约为中靶的概率约为0.9.0.9.同理得中同理得中1010环的概率约为环的概率约为0.2.0.2.答案答案: :0.90.90.20.26.(20146.(2014广广东高考高考) )从从0,1,2,3,4,5,6,7,8,90,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任中任取取7 7个不同的数个不同的数, ,则这7 7个数的中位数是个数的中位数是6 6的概率的概率为. .【解析】【解析】6 6之前之前6 6个数中取个数中取3 3个个,6,6之后之后3 3
13、个数中取个数中取3 3个个, ,所求概率为所求概率为 答案答案: :考向一考向一随机事件的随机事件的频率与概率率与概率【典例【典例1 1】(1)(2016(1)(2016兰州模州模拟) )在投在投掷一枚硬一枚硬币的的试验中中, ,共投共投掷了了100100次次,“,“正面朝上正面朝上”的的频数数为51,51,则“正面朝上正面朝上”的的频率率为( () )A.49A.49 B.0.5 B.0.5 C.0.51 C.0.51 D.0.49 D.0.49(2)(2015(2)(2015北京高考北京高考) )某超市随机某超市随机选取取10001000位位顾客客, ,记录了他了他们购买甲、乙、丙、丁四种
14、食品的情况甲、乙、丙、丁四种食品的情况, ,整理成整理成如下如下统计表表, ,其中其中“”“”表示表示购买,“”,“”表示未表示未购买. .商品商品顾客人数顾客人数甲甲乙乙丙丙丁丁10010021721720020030030085859898估估计顾客同客同时购买乙和丙的概率乙和丙的概率. .估估计顾客在甲、乙、丙、丁中同客在甲、乙、丙、丁中同时购买3 3种商品的种商品的概率概率. .如果如果顾客客购买了甲了甲, ,则该顾客同客同时购买乙、丙、丁乙、丙、丁中哪种商品可能性最大中哪种商品可能性最大? ?( (本本题源自源自A A版必修版必修3P1453P145复复习参考参考题A A组T4)T4
15、)【解题导引】【解题导引】(1)(1)根据事件发生的频率的定义可求根据事件发生的频率的定义可求. .(2)(2)由图表计算出同时购买乙和丙的人数由图表计算出同时购买乙和丙的人数, ,由概率定由概率定义计算义计算. .由图表分别计算出同时购买甲、丙、丁由图表分别计算出同时购买甲、丙、丁, ,及同时购买及同时购买甲、乙、丙的人数甲、乙、丙的人数, ,由概率定义计算由概率定义计算. .分别计算出购买了甲分别计算出购买了甲, ,同时购买乙、丙、丁中一种的同时购买乙、丙、丁中一种的概率概率, ,比较得出结论比较得出结论. .【规范解答】【规范解答】(1)(1)选选C.C.由题意由题意, ,根据事件发生的
16、频率的根据事件发生的频率的定义可知定义可知,“,“正面朝上正面朝上”的频率为的频率为 =0.51. =0.51.(2)1000(2)1000位顾客中有位顾客中有200200位同时购买乙和丙位同时购买乙和丙, ,所以估计所以估计顾客同时购买乙和丙的概率为顾客同时购买乙和丙的概率为 10001000位顾客中有位顾客中有100100位同时购买甲、丙、丁位同时购买甲、丙、丁,200,200位同位同时购买甲、乙、丙时购买甲、乙、丙, ,所以估计所以估计10001000人中同时购买人中同时购买3 3种商种商品的概率为品的概率为 购买了甲的顾客有购买了甲的顾客有100+200+300+85=685100+2
17、00+300+85=685位位. .则顾客同时购买乙概率为则顾客同时购买乙概率为, ,同时购买丙的概率为同时购买丙的概率为 同时购买丁的概率为同时购买丁的概率为 因此因此, ,顾客购买了甲顾客购买了甲, ,则该顾客同时购买丙的可能性最则该顾客同时购买丙的可能性最大大. .【母【母题变式】式】1.1.本例本例(1)(1)条件不条件不变, ,试求求“正面朝上正面朝上”的概率的概率. .【解析】【解析】通过大量试验可知通过大量试验可知, ,频率稳定在频率稳定在0.50.5左右左右, ,故故“正面朝上正面朝上”的概率约是的概率约是0.5.0.5.2.2.本例本例(1)(1)条件条件变为从自从自动打包机
18、包装的食打包机包装的食盐中随机抽中随机抽取取2020袋袋, ,测得各袋的得各袋的质量分量分别为( (单位位:g):g):492,496,494,495,498,497,501,502,504,496,492,496,494,495,498,497,501,502,504,496,497,503,506,508,507,492,496,500,501,499,497,503,506,508,507,492,496,500,501,499,根据根据频率分布估率分布估计总体分布的原理体分布的原理, ,该自自动包装机包装包装机包装的袋装食的袋装食盐质量在量在497.5497.5501.5g501.5g
19、的概率是多少的概率是多少? ?【解析】【解析】袋装食盐在袋装食盐在497.5497.5501.5g501.5g的数量为的数量为5,5,所以概所以概率约为率约为 =0.25. =0.25.【规律方法】律方法】1.1.计算算简单随机事件随机事件频率或概率的解率或概率的解题思路思路(1)(1)计算出所求随机事件出算出所求随机事件出现的的频数及数及总事件的事件的频数数. .(2)(2)由由频率与概率的关系得所求率与概率的关系得所求. .2.2.求解以求解以统计图表表为背景的随机事件的背景的随机事件的频率或概率率或概率问题的关的关键点点求解求解该类问题的关的关键, ,由所由所给频率分布表率分布表, ,频
20、率分布直率分布直方方图或茎叶或茎叶图等等图表表, ,计算出所求随机事件出算出所求随机事件出现的的频数数, ,进而利用而利用频率与概率的关系得所求率与概率的关系得所求. .【变式式训练】(2015(2015全国卷全国卷)某公司某公司为了解用了解用户对其其产品的品的满意度意度, ,从从A,BA,B两地区分两地区分别随机随机调查了了4040个用个用户, ,根据用根据用户对产品的品的满意度意度评分得到分得到A A地区用地区用户满意意度度评分的分的频率分布直方率分布直方图和和B B地区用地区用户满意度意度评分的分的频数分布表数分布表. .A A地区用地区用户满意度意度评分的分的频率分布直方率分布直方图B
21、 B地区用地区用户满意度意度评分的分的频数分布表数分布表满意度满意度评分分组评分分组50,60)50,60) 60,70)60,70) 70,80)70,80) 80,90)80,90) 90,10090,100频数频数2 28 8141410106 6(1)(1)作出作出B B地区用地区用户满意度意度评分的分的频率分布直方率分布直方图, ,并并通通过此此图比比较两地区两地区满意度意度评分的平均分的平均值及分散程及分散程度度.(.(不要求不要求计算出具体算出具体值, ,给出出结论即可即可) )(2)(2)根据用根据用户满意度意度评分分, ,将用将用户的的满意度意度评分分分分为三三个等个等级:
22、:估估计哪个地区的用哪个地区的用户的的满意度等意度等级为不不满意的概率大意的概率大, ,说明理由明理由. .满意度评分满意度评分低于低于7070分分7070分到分到8989分分不低于不低于9090分分满意度等级满意度等级不满意不满意满意满意非常满意非常满意【解析】【解析】(1)B(1)B地区用户满意度评分的频率分布直方图地区用户满意度评分的频率分布直方图通过两地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看通过两地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出出,B,B地区用户满意度评分的平均值高于地区用户满意度评分的平均值高于A A地区用户满意地区用户满意度评分的平均值度评分的平均值;B;B地区用户满意度
23、评分比较集中地区用户满意度评分比较集中, ,而而A A地区用户满意度评分比较分散地区用户满意度评分比较分散. .(2)A(2)A地区用户的满意度等级为不满意的概率大地区用户的满意度等级为不满意的概率大. .理由理由如下如下: :记记C CA A表示事件表示事件:“A:“A地区用户的满意度等级为不满意地区用户的满意度等级为不满意”;”;C CB B表示事件表示事件:“B:“B地区用户的满意度等级为不满意地区用户的满意度等级为不满意”.”.由直方图得由直方图得P(CP(CA A) )的估计值为的估计值为(0.01+0.02+0.03)10=0.6,(0.01+0.02+0.03)10=0.6,P(
24、CP(CB B) )的估计值为的估计值为(0.005+0.02)10=0.25.(0.005+0.02)10=0.25.所以所以A A地区用户的满意度等级为不满意的概率大地区用户的满意度等级为不满意的概率大. .【加固【加固训练】1.1.某种菜籽在相同的条件下某种菜籽在相同的条件下发芽芽试验结果如下表果如下表, ,则其其发芽的概率芽的概率约为( (结果保留果保留1 1位小数位小数).).种子粒数种子粒数 2 2 5 5 1010 7070 130130 310310 700700 1 5001 500 2 0002 000 3 0003 000发芽粒数发芽粒数 2 2 4 49 96060 1
25、16116 282282 639639 1 3391 339 1 8061 806 2 7152 715【解析】【解析】 =(2+4+9+60+116+282+639+1339+1806=(2+4+9+60+116+282+639+1339+1806+2715)(2+5+10+70+130+310+700+1500+2000+3000)+2715)(2+5+10+70+130+310+700+1500+2000+3000)0.9,0.9,当种子粒数足够多时当种子粒数足够多时, ,发芽的频率稳定于发芽的频率稳定于0.9,0.9,故用频率故用频率估计概率估计概率, ,发芽的概率约为发芽的概率约为0
26、.9.0.9.答案答案: :0.90.92.(20152.(2015陕西高考西高考) )随机抽取一个年份随机抽取一个年份, ,对西安市西安市该年年4 4月份的天气情况月份的天气情况进行行统计, ,结果如下果如下: :日期日期1 12 23 34 45 56 67 78 89 91010 1111 1212 1313 1414 1515天气天气 晴晴 雨雨 阴阴 阴阴 阴阴 雨雨 阴阴 晴晴 晴晴 晴晴 阴阴 晴晴 晴晴 晴晴 晴晴日期日期 1616 1717 1818 1919 2020 2121 2222 2323 2424 2525 2626 2727 2828 2929 3030天气天气
27、 晴晴 阴阴 雨雨 阴阴 阴阴 晴晴 阴阴 晴晴 晴晴 晴晴 阴阴 晴晴 晴晴 晴晴 雨雨(1)(1)在在4 4月份任取一天月份任取一天, ,估估计西安市在西安市在该天不下雨的概率天不下雨的概率. .(2)(2)西安市某学校西安市某学校拟从从4 4月份的一个晴天开始月份的一个晴天开始举行行连续两天的运两天的运动会会, ,估估计运运动会期会期间不下雨的概率不下雨的概率. .【解析】【解析】(1)(1)在容量为在容量为3030的样本中的样本中, ,不下雨的天数是不下雨的天数是26,26,以频率估计概率以频率估计概率,4,4月份任选一天月份任选一天, ,西安市不下雨的概率西安市不下雨的概率是是 .
28、.(2)(2)称相邻两个日期为称相邻两个日期为“互邻日期对互邻日期对”(”(如如1 1日与日与2 2日日,2,2日与日与3 3日等日等),),这样在这样在4 4月份中月份中, ,前一天为晴天的互邻日期前一天为晴天的互邻日期对有对有1616对对, ,其中后一天不下雨的有其中后一天不下雨的有1414对对, ,所以晴天的次所以晴天的次日不下雨的频率为日不下雨的频率为 , ,以频率估计概率以频率估计概率, ,运动会期间不运动会期间不下雨的概率为下雨的概率为 . .考向二考向二确定事件确定事件间的关系的关系【典例【典例2 2】(1)(2016(1)(2016西宁模西宁模拟) )一枚均匀的正方体玩一枚均匀
29、的正方体玩具的各个面上分具的各个面上分别标以数字以数字1,2,3,4,5,6.1,2,3,4,5,6.将将这个玩具个玩具向上抛向上抛掷1 1次次, ,设事件事件A A表示向上的一面出表示向上的一面出现奇数点奇数点, ,事事件件B B表示向上的一面出表示向上的一面出现的点数不超的点数不超过3,3,事件事件C C表示向表示向上的一面出上的一面出现的点数不小于的点数不小于4,4,则( () )A.AA.A与与B B是互斥而非是互斥而非对立事件立事件B.AB.A与与B B是是对立事件立事件C.BC.B与与C C是互斥而非是互斥而非对立事件立事件D.BD.B与与C C是是对立事件立事件(2)(2)某小某
30、小组有有3 3名男生和名男生和2 2名女生名女生, ,从中任从中任选2 2名同学去参名同学去参加演加演讲比比赛, ,判断下列各判断下列各对事件是否是互斥事件事件是否是互斥事件, ,并并说明理由明理由. .恰有恰有1 1名男生和恰有两名男生名男生和恰有两名男生; ;至少有至少有1 1名男生和至少有名男生和至少有1 1名女生名女生; ;至少有至少有1 1名男生和全是男生名男生和全是男生; ;至少有至少有1 1名男生和全是女生名男生和全是女生. .【解题导引】【解题导引】(1)(1)根据互斥事件、对立事件的定义逐个根据互斥事件、对立事件的定义逐个选项验证得出答案选项验证得出答案. .(2)(2)判断
31、两个事件是否为互斥事件判断两个事件是否为互斥事件, ,就是考虑它们能否就是考虑它们能否同时发生同时发生, ,如果不能同时发生如果不能同时发生, ,就是互斥事件就是互斥事件, ,否则就不否则就不是互斥事件是互斥事件. .【规范解答】【规范解答】(1)(1)选选D.D.由于事件由于事件A A与与B B可能同时发生可能同时发生, ,故故不互斥不互斥, ,则选项则选项A A错错,B,B也错也错, ,而而B B与与C C事件不能同时发生事件不能同时发生, ,且且BCBC为必然事件为必然事件, ,故事件故事件B B与事件与事件C C对立对立. .(2)(2)是互斥事件是互斥事件. .理由是理由是: :在所
32、选的在所选的2 2名同学中名同学中,“,“恰有恰有1 1名男生名男生”实质选出的是实质选出的是“1“1名男生和名男生和1 1名女生名女生”,”,它与它与“恰有两名男生恰有两名男生”不可能同时发生不可能同时发生, ,所以是一对互斥事所以是一对互斥事件件. .不是互斥事件不是互斥事件. .理由是理由是:“:“至少有至少有1 1名男生名男生”包括包括“1“1名男生、名男生、1 1名女生名女生”和和“两名都是男生两名都是男生”两种结两种结果果.“.“至少有至少有1 1名女生名女生”包括包括“1“1名女生、名女生、1 1名男生名男生”和和“两名都是女生两名都是女生”两种结果两种结果, ,当事件当事件“有
33、有1 1名男生名男生和和1 1名女生名女生”发生时两个事件都发生了发生时两个事件都发生了. .不是互斥事件不是互斥事件. .理由是理由是:“:“至少有至少有1 1名男生名男生”包括包括“1“1名男生、名男生、1 1名女生名女生”和和“两名都是男生两名都是男生”,”,这与这与“全是全是男生男生”可同时发生可同时发生. .是互斥事件是互斥事件. .理由是理由是:“:“至少有至少有1 1名男生名男生”包括包括“1“1名名男生、男生、1 1名女生名女生”和和“两名都是男生两名都是男生”两种结果两种结果, ,它和它和“全是女生全是女生”不可能同时发生不可能同时发生. .【规律方法】律方法】1.1.准确把
34、握互斥事件与准确把握互斥事件与对立事件的概念立事件的概念(1)(1)互斥事件是不可能同互斥事件是不可能同时发生的事件生的事件, ,但可以同但可以同时不不发生生. .(2)(2)对立事件是特殊的互斥事件立事件是特殊的互斥事件, ,特殊在特殊在对立的两个事立的两个事件不可能都不件不可能都不发生生, ,即有且即有且仅有一个有一个发生生. .2.2.判判别互斥、互斥、对立事件的方法立事件的方法判判别互斥事件、互斥事件、对立事件一般用定立事件一般用定义判断判断, ,不可能同不可能同时发生的两个事件生的两个事件为互斥事件互斥事件; ;两个事件两个事件, ,若有且若有且仅有一有一个个发生生, ,则这两事件两
35、事件为对立事件立事件, ,对立事件一定是互斥立事件一定是互斥事件事件. .【变式式训练】从装有两个白球和两个黄球的口袋中任从装有两个白球和两个黄球的口袋中任取取2 2个球个球, ,以下以下给出了三出了三组事件事件: :至少有至少有1 1个白球与至少有个白球与至少有1 1个黄球个黄球; ;至少有至少有1 1个黄球与都是黄球个黄球与都是黄球; ;恰有恰有1 1个白球与恰有个白球与恰有1 1个黄球个黄球. .其中互斥而不其中互斥而不对立的事件共有立的事件共有( () )A.0A.0组B.1B.1组C.2C.2组D.3D.3组【解析】【解析】选选A.A.对于对于,“,“至少有至少有1 1个白球个白球”
36、发生时发生时,“,“至至少有少有1 1个黄球个黄球”也会发生也会发生, ,比如恰好一个白球和一个黄比如恰好一个白球和一个黄球球, ,故故中的两个事件不互斥中的两个事件不互斥. .对于对于,“,“至少有至少有1 1个黄球个黄球”说明有黄球说明有黄球, ,黄球的个数可黄球的个数可能是能是1 1或或2,2,而而“都是黄球都是黄球”说明黄球的个数是说明黄球的个数是2,2,故这两故这两个事件不是互斥事件个事件不是互斥事件. .“恰有恰有1 1个白球个白球”与与“恰有恰有1 1个黄球个黄球”,”,都表示取出的都表示取出的两个球中两个球中, ,一个是白球一个是白球, ,另一个是黄球另一个是黄球. .故不是互
37、斥事件故不是互斥事件. .【加固【加固训练】某城市有甲、乙两种某城市有甲、乙两种报纸供居民供居民们订阅, ,记事件事件A A为“只只订甲甲报纸”,”,事件事件B B为“至少至少订一种一种报纸”,”,事件事件C C为“至多至多订一种一种报纸”,”,事件事件D D为“一种一种报纸也不也不订”.”.判断下列每判断下列每对事件是不是互斥事件事件是不是互斥事件; ;如果是如果是, ,再判断它再判断它们是不是是不是对立事件立事件. .(1)A(1)A与与C. (2)BC. (2)B与与D. (3)BD. (3)B与与C. (4)CC. (4)C与与D.D.【解析】【解析】(1)(1)由于事件由于事件C“C
38、“至多订一种报纸至多订一种报纸”中有可能中有可能“只订甲报纸只订甲报纸”,”,即事件即事件A A与事件与事件C C有可能同时发生有可能同时发生, ,故故A A与与C C不是互斥事件不是互斥事件. .(2)(2)事件事件B“B“至少订一种报纸至少订一种报纸”与事件与事件D“D“一种报纸也不一种报纸也不订订”是不可能同时发生的是不可能同时发生的, ,故故B B与与D D是互斥事件是互斥事件. .由于事由于事件件B B不发生可导致事件不发生可导致事件D D一定发生一定发生, ,且事件且事件D D不发生会导不发生会导致事件致事件B B一定发生一定发生, ,故故B B与与D D还是对立事件还是对立事件.
39、 .(3)(3)事件事件B“B“至少订一种报纸至少订一种报纸”中有这些可能中有这些可能:“:“只订甲只订甲报纸报纸”、“只订乙报纸只订乙报纸”、“订甲、乙两种报纸订甲、乙两种报纸”,”,事事件件C“C“至多订一种报纸至多订一种报纸”中有这些可能中有这些可能:“:“一种报纸也一种报纸也不订不订”、“只订甲报纸只订甲报纸”、“只订乙报纸只订乙报纸”,”,由于这两由于这两个事件可能同时发生个事件可能同时发生, ,故故B B与与C C不是互斥事件不是互斥事件. .(4)(4)由由(3)(3)的分析知事件的分析知事件D“D“一种报纸也不订一种报纸也不订”是事件是事件C C的一种可能的一种可能, ,即事件
40、即事件C C与事件与事件D D有可能同时发生有可能同时发生, ,故故C C与与D D不是互斥事件不是互斥事件. .考向三考向三互斥事件、互斥事件、对立事件概率公式的立事件概率公式的应用用【典例【典例3 3】(1)(2016(1)(2016太原模太原模拟) )已知甲、乙两人下棋已知甲、乙两人下棋, ,和棋的概率和棋的概率为 , ,乙乙胜的概率的概率为 , ,则甲甲胜的概率和的概率和甲不甲不输的概率分的概率分别为. .(2)(2)某商某商场有有奖销售中售中, ,购满100100元商品得元商品得1 1张奖券券, ,多多购多得多得,1000,1000张奖券券为一个开一个开奖单位位, ,设特等特等奖1
41、1个个, ,一等一等奖1010个个, ,二等二等奖5050个个. .记1 1张奖券中特等券中特等奖、一等、一等奖、二等、二等奖的事件分的事件分别为A,B,C,A,B,C,求求: :11张奖券的中券的中奖概率概率; ;11张奖券不中特等券不中特等奖且不中一等且不中一等奖的概率的概率. .【解题导引】【解题导引】(1)“(1)“甲胜甲胜”的对立事件是的对立事件是“和棋或乙和棋或乙胜胜”;“”;“甲不输甲不输”可看作是可看作是“甲胜甲胜”与与“和棋和棋”这两这两个互斥事件的和事件个互斥事件的和事件. .(2)“1(2)“1张奖券中奖张奖券中奖”可以看作中可以看作中“特等奖特等奖”“”“一等一等奖奖”
42、“”“二等奖二等奖”三个互斥事件的和事件三个互斥事件的和事件. .所求事件可以看作所求事件可以看作“1“1张奖券中特等奖或中一等奖张奖券中特等奖或中一等奖”的对立事件的对立事件. .【规范解答】【规范解答】(1)“(1)“甲胜甲胜”是是“和棋或乙胜和棋或乙胜”的对立事的对立事件件, ,所以所以“甲胜甲胜”的概率为的概率为 设设“甲不输甲不输”为事件为事件A,A,则则A A可看作是可看作是“甲胜甲胜”与与“和和棋棋”这两个互斥事件的和事件这两个互斥事件的和事件, ,所以所以P(A)= P(A)= 答案答案: : (2)(2)设设“1“1张奖券中奖张奖券中奖”为事件为事件M,M,则则M=ABC,M
43、=ABC,依题意依题意, , 因为因为A,B,CA,B,C两两互斥两两互斥, ,所以所以P(M)=P(ABC)=P(A)+P(B)+P(C)P(M)=P(ABC)=P(A)+P(B)+P(C)故故1 1张奖券的中奖概率为张奖券的中奖概率为 . .设设“1“1张奖券不中特等奖且不中一等奖张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件为事件N,N,则则事件事件N N与与“1“1张奖券中特等奖或中一等奖张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件为对立事件, ,所以所以 故故1 1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为 . .【易【易错警示】警示】解答本例解答本例(1)(1)有两点容
44、易出有两点容易出错:“:“甲甲胜”的的对立事件立事件为“乙乙胜”,”,从而造成从而造成错解解.“.“甲甲不不输”的的对立事件立事件为“乙不乙不输”,”,从而造成从而造成错误. .【规律方法】律方法】求复求复杂的互斥事件的概率的两种方法的互斥事件的概率的两种方法(1)(1)直接求解法直接求解法, ,将所求事件的概率分解将所求事件的概率分解为一些彼此一些彼此互斥的事件的概率的和互斥的事件的概率的和, ,运用互斥事件的概率求和公运用互斥事件的概率求和公式式计算算. .(2)(2)间接求法接求法, ,先求此事件的先求此事件的对立事件的概率立事件的概率, ,再用公再用公式式P(A)=1-P( ),P(A
45、)=1-P( ),即运用逆向思即运用逆向思维( (正正难则反反),),特特别是是“至多至多”“”“至少至少”型型题目目, ,用用间接求法就接求法就显得得较简便便. .【变式式训练】(2016(2016黄石模黄石模拟) )有有编号号为1,2,31,2,3的三个的三个白球白球, ,编号号4,5,64,5,6的三个黑球的三个黑球, ,这六个球除六个球除编号和号和颜色外色外完全相同完全相同, ,现从中任意取出两个球从中任意取出两个球. .(1)(1)求取得的两个球求取得的两个球颜色相同的概率色相同的概率. .(2)(2)求取得的两个球求取得的两个球颜色不相同的概率色不相同的概率. .【解析】【解析】从
46、六个球中取出两个球的基本事件是从六个球中取出两个球的基本事件是: :(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6),(5,6),共计共计1515个个. .(1)(1)记事件记事件A A为为“取出的两个球是白球取出的两个球是白球”,”,则这个事件包则这个事件包含的基本事件是含的基本事件是(1,2),(
47、1,3),(2,3),(1,2),(1,3),(2,3),共计共计3 3个个, ,故故P(A)P(A)= = 记记“取出的两个球是黑球取出的两个球是黑球”为事件为事件B,B,同理可得同理可得P(B)=P(B)=. .记事件记事件C C为为“取出的两个球的颜色相同取出的两个球的颜色相同”,A,B”,A,B互斥互斥, ,根根据互斥事件的概率加法公式据互斥事件的概率加法公式, ,得得P(C)=P(AB)=P(A)+P(B)=P(C)=P(AB)=P(A)+P(B)=. .(2)(2)记事件记事件D D为为“取出的两个球的颜色不相同取出的两个球的颜色不相同”,”,则事则事件件C,DC,D对立对立, ,
48、根据对立事件概率之间的关系根据对立事件概率之间的关系, ,得得P(D)=P(D)=1-P(C)=1- = .1-P(C)=1- = .【加固【加固训练】某超市某超市为了解了解顾客的客的购物量及物量及结算算时间等信息等信息, ,安排一安排一名名员工随机收集了在工随机收集了在该超市超市购物的相关数据物的相关数据, ,如表所示如表所示. .一次购物量一次购物量 1 1至至4 4件件 5 5至至8 8件件 9 9至至1212件件 1313至至1616件件 1717件以上件以上顾客数顾客数( (人人) )x x30302525y y1010结算时间结算时间( (分钟分钟/ /人人) )1 11.51.5
49、2 22.52.53 3已知已知这100100位位顾客中的一次客中的一次购物量超物量超过8 8件的件的顾客占客占55%.55%.(1)(1)求求x,yx,y的的值. .(2)(2)求求顾客一次客一次购物的物的结算算时间超超过2 2分分钟的概率的概率. .【解析】【解析】(1)(1)由已知得由已知得25+y+10=55,x+30=45,25+y+10=55,x+30=45,所以所以x=15,y=20.x=15,y=20.(2)(2)记记A:A:一位顾客一次购物的结算时间超过一位顾客一次购物的结算时间超过2 2分钟分钟. .A A1 1: :该顾客一次购物的结算时间为该顾客一次购物的结算时间为2.52.5分钟分钟. .A A2 2: :该顾客一次购物的结算时间为该顾客一次购物的结算时间为3 3分钟分钟. .将频率视为概率可得将频率视为概率可得P(A)=P(AP(A)=P(A1 1)+P(A)+P(A2 2)= =0.3.)= =0.3.所以一位顾客一次购物的结算时间超过所以一位顾客一次购物的结算时间超过2 2分钟的概率为分钟的概率为0.3.0.3.
