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1、土木工程测量张凤兰编著第五章测量误差的基本知识新Stillwatersrundeep.流静水深流静水深,人静心深人静心深Wherethereislife,thereishope。有生命必有希望。有生命必有希望第第5 5章章 测量误差的基本知识测量误差的基本知识5.1 5.1 测量误差概述测量误差概述5.2 5.2 评定精度的指标评定精度的指标5.3 5.3 误差传播定律误差传播定律5.4 5.4 等精度直接观测平差等精度直接观测平差5.5 5.5 不等精度直接观测平差不等精度直接观测平差本章内容如下：本章内容如下：7/29/20242 5.1 5.1 测量误差概述测量误差概述一、误差一、误差一
2、、误差一、误差( (errorerror) )的定义的定义的定义的定义 误差即观测值与真值之间的差值。 = = L L - - X X二、测量误差产生的原因二、测量误差产生的原因二、测量误差产生的原因二、测量误差产生的原因观测条件观测条件观测条件观测条件: : : : 观测者、仪器、外界条件观测者、仪器、外界条件不等精度观测不等精度观测不等精度观测不等精度观测：观测条件不同的各次观测，其结果具有不同精度。观测条件不同的各次观测，其结果具有不同精度。 等精度观测等精度观测等精度观测等精度观测: : : : 观测条件相同的各次观测，其结果具有同等精度。观测条件相同的各次观测，其结果具有同等精度。7
3、/29/20243三、测量误差的分类及处理方法三、测量误差的分类及处理方法三、测量误差的分类及处理方法三、测量误差的分类及处理方法v系统误差系统误差( (system error) 在相同的观测条件下，对某一量进行一系列的观测，误差在相同的观测条件下，对某一量进行一系列的观测，误差出现的符号和数值都相同，或按一定的规律变化。出现的符号和数值都相同，或按一定的规律变化。v偶然误差偶然误差( (accident error) ) 在相同的观测条件下，对某一量进行一系列的观测，误差在相同的观测条件下，对某一量进行一系列的观测，误差出现的符号和数值从单个上看没有规律性，而从整体上分出现的符号和数值从单
4、个上看没有规律性，而从整体上分析却具有一定的统计规律性析却具有一定的统计规律性 。又称真误差。又称真误差( (ture error) )。v粗差粗差( (gross error) ) 在观测中出现的读错、记错或测错等，统称为粗差。粗差在观测中出现的读错、记错或测错等，统称为粗差。粗差在观测结果中是不允许出现的。为了杜绝粗差的产生，除在观测结果中是不允许出现的。为了杜绝粗差的产生，除需认真仔细作业外，必须采取必要的检核措施。需认真仔细作业外，必须采取必要的检核措施。7/29/20244 四、偶然误差的特性设三角形闭合差为L1L3L2v处理方法处理方法 系统误差可以采取以下方法进行处理：系统误差可
5、以采取以下方法进行处理：1.1.对称观测；对称观测；2.2.加改正数；加改正数；3.3.将系统误差限制在允许范围内。将系统误差限制在允许范围内。7/29/20245 03 30 0.138 29 0.134 59 0.272 36 21 0.097 20 0.092 41 0.189 69 15 0.069 18 0.083 33 0.152 912 14 0.065 16 0.073 30 0.138 1215 12 0.055 10 0.046 22 0.101 1518 8 0.037 8 0.037 16 0.074 1821 5 0.023 6 0.028 11 0.051 2124
6、 2 0.009 2 0.009 4 0.018 2427 1 0.005 0 0 1 0.005 27以上 0 0 0 0 0 0 合 计 108 0.498 109 0.502 217 1.000 正 误 差个数个数k k频率频率k k/ /n n负 误 差误差区间误差区间d d（） 合 计个数个数k k个数k频率频率k k/ /n n频率频率k k/ /n n 偶然误差分布情况统计偶然误差分布情况统计7/29/20246（1）在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会）在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会 超过一定的限度；超过一定的限度；（2）绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的可能）
7、绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的可能 性大；性大；（3）绝对值相等的正误差与负误差出现的机会相等；）绝对值相等的正误差与负误差出现的机会相等；（4）当观测次数无限增多时，偶然误差的算术平均值）当观测次数无限增多时，偶然误差的算术平均值 趋近于零。即趋近于零。即偶然误差具有如下特性：偶然误差具有如下特性： 7/29/20247直方图7/29/20248误差分布曲线误差分布曲线7/29/20249一、平均误差一、平均误差一、平均误差一、平均误差 平均误差即算术平均误差，其定义为：在对某量进行一平均误差即算术平均误差，其定义为：在对某量进行一系列观测中，各次观测误差的绝对值的算术平均值叫算术平系
8、列观测中，各次观测误差的绝对值的算术平均值叫算术平均误差，记为均误差，记为 。当当n较大时，可用下式估算为：较大时，可用下式估算为：5.2 5.2 评定精度的指标评定精度的指标7/29/202410二、中误差二、中误差二、中误差二、中误差v定义定义 标准差标准差(standard deviation) 中误差中误差(mean square error) * * 在一定的观测条件下，标准差是一个固定的常数，在一定的观测条件下，标准差是一个固定的常数，而中误差则是随着观测次数的多少及读取的观测值大小而中误差则是随着观测次数的多少及读取的观测值大小而改变的随机变量，当观测次数逐渐增大时，中误差逐而改
9、变的随机变量，当观测次数逐渐增大时，中误差逐渐趋近于标准差渐趋近于标准差。是反映一组真误差离散程度的指标。是反映一组真误差离散程度的指标。7/29/202411v中误差的计算中误差的计算 例：同精度下对某一三角形进行了例：同精度下对某一三角形进行了1010次观测，求得每次观次观测，求得每次观测所得的三角形闭合差分别为（单位：测所得的三角形闭合差分别为（单位：）：）：3 3，-2-2，-4-4，2 2，0 0，-4-4，3 3，2 2，-3-3，-1-1。 另一台仪器的结果（单位：另一台仪器的结果（单位：）：）：3 3，1 1，-2-2，2 2，0 0，-3-3， 2 2， 1 1，-1-1，0
10、 0。7/29/202412三、容许误差和极限误差三、容许误差和极限误差v容许误差容许误差v极限误差极限误差( (limit error) )7/29/202413四、相对误差四、相对误差(relative error)v定义定义 误差的绝对值与观测值之比称为该观测值的误差的绝对值与观测值之比称为该观测值的相对误差相对误差，常用常用1/1/N 的形式表示。的形式表示。 例：分别丈量了例：分别丈量了100m100m及及200m200m的两段距离，观测值的中误差均的两段距离，观测值的中误差均为为2cm2cm，试比较两者的观测成果质量。，试比较两者的观测成果质量。中误差的绝对值与观测值之比称为该观测
11、值的中误差的绝对值与观测值之比称为该观测值的相对中误差相对中误差K。7/29/2024145.3 5.3 观测值与算术平均值的中误差观测值与算术平均值的中误差 一、算术平均值一、算术平均值一、算术平均值一、算术平均值(arithmetic average)(arithmetic average)即即，n趋近无穷大时，算术平均值即为真值趋近无穷大时，算术平均值即为真值 。 设在相同的观测条件下对某未知量观测了设在相同的观测条件下对某未知量观测了n次，观测值为次，观测值为l1, l2, l3 , ln，现在要根据这，现在要根据这n个观测值确定出该未知量的最或个观测值确定出该未知量的最或然值。设未知
12、量的真值为然值。设未知量的真值为X ，以，以L表示上式观测值的算术平均表示上式观测值的算术平均值，则有值，则有 式中：式中：i = liX取极限：取极限：7/29/202415现在来推导算术平均值的中误差公式。现在来推导算术平均值的中误差公式。 式中，式中，1 / n为常数。由于各独立观测值的精度相同，设其中为常数。由于各独立观测值的精度相同，设其中误差均为误差均为m。现以。现以M表示算术平均值的中误差，则算术平均值表示算术平均值的中误差，则算术平均值的中误差为的中误差为7/29/202416二、观测值的改正数二、观测值的改正数二、观测值的改正数二、观测值的改正数 观测量的算术平均值与观测值之
13、差，称为观测值改正数，观测量的算术平均值与观测值之差，称为观测值改正数，用用v表示。当观测次数为表示。当观测次数为n时，有时，有 将 代入上式，得代入上式，得 观测值改正数的重要特性改正数的重要特性: 即即对于等精度于等精度观测，观测值改正数的改正数的总和和为零。零。 7/29/202417三、观测值的精度评定三、观测值的精度评定三、观测值的精度评定三、观测值的精度评定 由真误差与观测值改正数的定义可知：由真误差与观测值改正数的定义可知：两边同时平方并相加，得两边同时平方并相加，得因为因为 ，令，令 ，代入上式，得，代入上式，得 7/29/202418因为因为 所以所以 7/29/202419
14、因为因为所以所以整理后，得整理后，得这就是用观测值改正数求观测值中误差的计算公式。这就是用观测值改正数求观测值中误差的计算公式。7/29/202420 例：某一段距离共丈量了六次，结果如下表所示，求算术平例：某一段距离共丈量了六次，结果如下表所示，求算术平均值、观测中误差、算术平均值的中误差及相对误差。均值、观测中误差、算术平均值的中误差及相对误差。7/29/2024215.4 5.4 误差传播定律及其应用误差传播定律及其应用 一、误差传播定律的公式一、误差传播定律的公式一、误差传播定律的公式一、误差传播定律的公式v定义定义v公式推导公式推导7/29/2024227/29/2024237/29
15、/202424v常用函数的中误差公式常用函数的中误差公式 倍数函数倍数函数 和差函数和差函数 线性函数线性函数7/29/202425 例：用长例：用长30m的钢尺丈量了的钢尺丈量了10尺段，若每尺段的中误差尺段，若每尺段的中误差ml=5mm，求全长，求全长L及其中误差。及其中误差。二、误差传播定律的应用二、误差传播定律的应用二、误差传播定律的应用二、误差传播定律的应用7/29/202426例：有函数式如下，若例：有函数式如下，若x的中误差的中误差mx为已知，求为已知，求mz。方法一方法一: :方法二方法二: : 函数式中各观测值之间必须相互独立函数式中各观测值之间必须相互独立7/29/2024
16、275.5 5.5 不等精度直接观测平差不等精度直接观测平差一、一、一、一、有关概念有关概念有关概念有关概念 设对某未知量分两组进行观测，第一组测设对某未知量分两组进行观测，第一组测4次，观测值为次，观测值为L1、L 2、L 3、L 4，第二组测，第二组测2次，观测值为次，观测值为L 1、L 2，它，它们都是等精度观测，则们都是等精度观测，则7/29/202428表示各观测值可靠程度的数值（表示各观测值可靠程度的数值（p）。）。v权的定义权的定义v权的确定权的确定设不等精度观测值的中误差分别为设不等精度观测值的中误差分别为m1，m2，mn7/29/202429【例例】设以不等精度观测某角度，各
17、观测结果的中误差分别为设以不等精度观测某角度，各观测结果的中误差分别为：m1=11，m2=2=2，m3=3=3，则它们的权各为则它们的权各为7/29/202430v单位权与单位权中误差单位权与单位权中误差 等于等于1 1的权称为的权称为单位权单位权，与这个单位权相对应的中误差称为，与这个单位权相对应的中误差称为单位权中误差单位权中误差，一般用，一般用m0表示。对于中误差为表示。对于中误差为mi的观测值，其权的观测值，其权pi为为二、不等精度观测值的最或然值二、不等精度观测值的最或然值二、不等精度观测值的最或然值二、不等精度观测值的最或然值 设对某未知量进行了一组不等精度观测，观测值分别为设对某
18、未知量进行了一组不等精度观测，观测值分别为L1，L 2，Ln，其对应的权为其对应的权为p1，p2，pn，则加权平均值即则加权平均值即为不等精度观测值的最或然值为不等精度观测值的最或然值。计算公式为计算公式为：7/29/202431三、评定精度三、评定精度三、评定精度三、评定精度7/29/202432 【例例】水准测量中从已知高程点水准测量中从已知高程点A、B、C出发得出发得O点的三个点的三个 高程观测值高程观测值Hi及各水准路线的长度及各水准路线的长度Li，求求O点高程的最或然值点高程的最或然值Ho及其中误差及其中误差M7/29/2024337/29/2024347/29/2024357/29/2024367/29/2024377/29/202438馋死7/29/2024397/29/2024407/29/2024417/29/2024427/29/2024437/29/2024447/29/2024457/29/2024467/29/2024477/29/2024487/29/2024497/29/2024507/29/202451P P T研 究 院PO W E R PO I N T A C A D E M Y7/29/2024527/29/2024537/29/202454
