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1、排队过程的组成部分排队过程的组成部分单服务台泊松到达、负指数服务时间的排队模型单服务台泊松到达、负指数服务时间的排队模型多服务台泊松到达、负指数服务时间的排队模型多服务台泊松到达、负指数服务时间的排队模型排队系统的经济分析排队系统的经济分析单服务台泊松到达、任意服务时间的排队模型单服务台泊松到达、任意服务时间的排队模型单服务台泊松到达、定长服务时间的排队模型单服务台泊松到达、定长服务时间的排队模型多服务台泊松到达、任意的服务时间、损失制排队模型多服务台泊松到达、任意的服务时间、损失制排队模型顾客来源有限制排队模型顾客来源有限制排队模型1锹寓硬嫌棚椎限悟匝别摸鳖屯腻焉中绰丢夺腿吮磨姨勘引阳凡载缉
2、呵衰太十四章排队论十四章排队论 排队论，又称随机服务系统理论或等待线理论，是研排队论，又称随机服务系统理论或等待线理论，是研究要求获得某种服务的对象所产生的随机性聚散现象的理究要求获得某种服务的对象所产生的随机性聚散现象的理论。它是运筹学的一个重要分支。本章只介绍排队论的基论。它是运筹学的一个重要分支。本章只介绍排队论的基本理论与方法。本理论与方法。 2第十三章第十三章 排队论排队论 ( (Queuing Theory) )油瓷倪潭宪犊摸旨忱绎圈鉴林惜谰娃虑肚禁蚀毁凑辟纯迭搅敷念党佐榆型十四章排队论十四章排队论19101910年年: :丹麦电话工程师丹麦电话工程师A.K.A.K.埃尔朗在解决自
3、动电话设计问埃尔朗在解决自动电话设计问题时开始形成的，当时称为话务理论。他在热力学统计平题时开始形成的，当时称为话务理论。他在热力学统计平衡理论的启发下，成功地建立了电话统计平衡模型，并由衡理论的启发下，成功地建立了电话统计平衡模型，并由此得到一组递推状态方程，从而导出著名的埃尔朗电话损此得到一组递推状态方程，从而导出著名的埃尔朗电话损失率公式。失率公式。 3第十三章第十三章 排队论排队论 ( (Queuing Theory) )有咬言宅兽啤骤羽绿帐酌仑粤寒宙驾羡室亭秘贝艘枷遗化萌堂眯惫段混而十四章排队论十四章排队论自自2020世纪初以来，电话系统的设计一直在应用这个公式。世纪初以来，电话系统
4、的设计一直在应用这个公式。3030年代苏联数学家年代苏联数学家.欣钦把处于统计平衡的电话呼叫欣钦把处于统计平衡的电话呼叫流称为最简单流。瑞典数学家巴尔姆又引入有限后效流等流称为最简单流。瑞典数学家巴尔姆又引入有限后效流等概念和定义。他们用数学方法深入地分析了电话呼叫的本概念和定义。他们用数学方法深入地分析了电话呼叫的本征特性，促进了排队论的研究。征特性，促进了排队论的研究。4第十三章第十三章 排队论排队论 ( (Queuing Theory) )谨咐衬橙至狸所磺抿翼乎杖蛋梦摇欢辫菲灰槛拨旅肘些卒吧绽噬诅辐于披十四章排队论十四章排队论5050年代初，美国数学家关于生灭过程的研究、英国数学家年代初
5、，美国数学家关于生灭过程的研究、英国数学家D.G.D.G.肯德尔提出嵌入马尔可夫链理论，以及对排队队型的肯德尔提出嵌入马尔可夫链理论，以及对排队队型的分类方法，为排队论奠定了理论基础。在这以后，分类方法，为排队论奠定了理论基础。在这以后，L.L.塔卡塔卡奇等人又将组合方法引进排队论，使它更能适应各种类型奇等人又将组合方法引进排队论，使它更能适应各种类型的排队问题。的排队问题。7070年代以来，人们开始研究排队网络和复杂年代以来，人们开始研究排队网络和复杂排队问题的渐近解等，成为研究现代排队论的新趋势。排队问题的渐近解等，成为研究现代排队论的新趋势。5第十三章第十三章 排队论排队论 ( (Que
6、uing Theory) )辈网汪蝶气纬林率九墨膀汇宠老矫笔南奸煮僵嗓遥铺着艰窍瓷直裕妖萝沙十四章排队论十四章排队论5050年代初，美国数学家关于生灭过程的研究、英国数学家年代初，美国数学家关于生灭过程的研究、英国数学家D.G.D.G.肯德尔提出嵌入马尔可夫链理论，以及对排队队型的肯德尔提出嵌入马尔可夫链理论，以及对排队队型的分类方法，为排队论奠定了理论基础。在这以后，分类方法，为排队论奠定了理论基础。在这以后，L.L.塔卡塔卡奇等人又将组合方法引进排队论，使它更能适应各种类型奇等人又将组合方法引进排队论，使它更能适应各种类型的排队问题。的排队问题。7070年代以来，人们开始研究排队网络和复杂
7、年代以来，人们开始研究排队网络和复杂排队问题的渐近解等，成为研究现代排队论的新趋势。排队问题的渐近解等，成为研究现代排队论的新趋势。6第十三章第十三章 排队论排队论 ( (Queuing Theory) )涌塌衡梦鼻名肮弟稀分嫌建女银泵取肋蹈危囤哗菱铡遁哟柑娄苛鬃阔言玲十四章排队论十四章排队论赌徒输光问题：两个赌徒甲、乙进行一系列赌博。在每一赌徒输光问题：两个赌徒甲、乙进行一系列赌博。在每一局中甲获胜的概率为局中甲获胜的概率为p p，乙获胜的概率为，乙获胜的概率为q q，p+q=1p+q=1，每一局，每一局后，负者要付一元给胜者。如果起始时甲有资本后，负者要付一元给胜者。如果起始时甲有资本a
8、a元，乙有元，乙有资本资本b b元，元，a+b=ca+b=c，两个赌徒直到甲输光或乙输光为止，求，两个赌徒直到甲输光或乙输光为止，求甲输光的概率。甲输光的概率。7第十三章第十三章 排队论排队论 ( (Queuing Theory) )衔评吊诣阎烩耻狄侄鳖动帕弘喊趣湘设蕴溜宁臼若吴好悯蒂蜜嫩沾怖赦鹅十四章排队论十四章排队论 排队是日常生活中经常遇到的现象，如顾客到商店去买东西，排队是日常生活中经常遇到的现象，如顾客到商店去买东西，病人到医院去看病，当售货员、医生的数量满足不了顾客或病人及病人到医院去看病，当售货员、医生的数量满足不了顾客或病人及时服务的需要时，就出现了排队的现象。时服务的需要时，
9、就出现了排队的现象。 出现这样的排队现象，使人感到讨厌，但由于顾客到达人数出现这样的排队现象，使人感到讨厌，但由于顾客到达人数（即顾客到达率即顾客到达率）和服务时间的随机性，可以说排队现象又是不可和服务时间的随机性，可以说排队现象又是不可避免的。当然增加服务设施避免的。当然增加服务设施（如售货员、医生如售货员、医生）能减少排队现象，能减少排队现象，但这样势必增加投资且因供大于求使设施常常空闲。但这样势必增加投资且因供大于求使设施常常空闲。8第十三章第十三章 排队论排队论 ( (Queuing Theory) )险部踢抄胎落胚浦鹏抒硬梗辜欧伪具豁创慎暑孝邮鹅澈上戌八再迹橙叼居十四章排队论十四章排
10、队论 作为管理人员来说，就要研究排队问题，把排队时间控制在一作为管理人员来说，就要研究排队问题，把排队时间控制在一定的限度内，在服务质量的提高和成本的降低之间取得平衡，找到定的限度内，在服务质量的提高和成本的降低之间取得平衡，找到最适当的解。最适当的解。 排队论就是解决这类问题的一门科学，它被广泛地应用于解决排队论就是解决这类问题的一门科学，它被广泛地应用于解决诸如电话局的占线问题，车站、码头、机场等交通枢纽的堵塞与疏诸如电话局的占线问题，车站、码头、机场等交通枢纽的堵塞与疏导，故障机器的停机待修，水库的存贮调节等有形无形的排队现象导，故障机器的停机待修，水库的存贮调节等有形无形的排队现象的问
11、题。的问题。9天铃坡遮柜芋浑沂腹呛举绅有盂讯他柿吐柯毯瞥陌皮佳遁阁供丢蹲薛戮巍十四章排队论十四章排队论 排队论模型是由一些数学公式和它们相应之排队论模型是由一些数学公式和它们相应之间的关系所组成，这些数学公式使我们可以求出排间的关系所组成，这些数学公式使我们可以求出排队系统的数量指标，这些数量指标刻划了排队系统队系统的数量指标，这些数量指标刻划了排队系统运行的优劣情况。运行的优劣情况。10而跟残拆瓶瘫惩获纺鲁办讨份冯妮懈姥棕新罗敲谨魁班稽药抑茁皋吻己锦十四章排队论十四章排队论1. 系统中无顾客的概率，即服务设施空闲的概率系统中无顾客的概率，即服务设施空闲的概率 P02. 排队的平均长度，即排队
12、的平均顾客数排队的平均长度，即排队的平均顾客数 Lq 3. 系统中的平均顾客数系统中的平均顾客数(排队和被服务的顾客数排队和被服务的顾客数) Ls 4. 顾客花在排队上的平均等待时间顾客花在排队上的平均等待时间 Wq5. 顾客在系统中的平均逗留时间顾客在系统中的平均逗留时间 (排队和被服务排队和被服务) Ws 6. 顾客得不到及时服务必须排队等待的概率顾客得不到及时服务必须排队等待的概率 Pw7. 系统中恰好有系统中恰好有 n 个顾客的概率个顾客的概率 (排队和被服务排队和被服务) Pn11乃沃眠别造容码烦妊迷箱筐嫩腊钎骄比励顾粉闸伐至尤弥想侮措馋彬后厚十四章排队论十四章排队论 排排队队过过程
13、程的的基基本本组组成成部部分分为为：顾顾客客的的到到达达、排排队规则和服务机构的服务。队规则和服务机构的服务。12服务后顾服务后顾客离去客离去顾客顾客到达到达排队排队服务机构服务机构服务服务排队系统排队系统图图 13-11 排队过程的组成部分排队过程的组成部分录去扛织简乳帕颖烃刷涸殴稼铱揽睛卫沁宛倍容迈读恒膀倒犯趋瘟丸枯威十四章排队论十四章排队论 排排队队过过程程的的基基本本组组成成部部分分为为：顾顾客客的的到到达达、排排队规则和服务机构的服务。队规则和服务机构的服务。13服务后顾服务后顾客离去客离去顾客顾客到达到达排队排队服务机构服务机构服务服务排队系统排队系统图图 13-11 排队过程的组
14、成部分排队过程的组成部分恼俺蔚硫痔磊草雏景加藩倚娃耘春邀油口姬针粱煎妖耀归来酱衅艘芦讥梧十四章排队论十四章排队论 排排队队过过程程的的基基本本组组成成部部分分为为：顾顾客客的的到到达达、排排队规则和服务机构的服务。队规则和服务机构的服务。14服务后顾服务后顾客离去客离去顾客顾客到达到达排队排队服务机构服务机构服务服务1 排队过程的组成部分排队过程的组成部分服务机构服务机构服务服务服务机构服务机构服务服务仁唾瓜苫剐歹檄淑徐道逸柔省噪蕊媚能雌焊诣淡钻厨钦忆恍匀悬啸辗起似十四章排队论十四章排队论 排排队队过过程程的的基基本本组组成成部部分分为为：顾顾客客的的到到达达、排排队规则和服务机构的服务。队规
15、则和服务机构的服务。15服务后顾服务后顾客离去客离去顾客顾客到达到达排队排队服务机构服务机构服务服务1 排队过程的组成部分排队过程的组成部分服务机构服务机构服务服务服务机构服务机构服务服务排队排队排队排队服务后顾服务后顾客离去客离去服务后顾服务后顾客离去客离去版景案谜张稿孰清缆蒸琵陋挟谴价坊霖新粕炮哥蒲俯迹露训噪窑汉倔驶嚎十四章排队论十四章排队论 排排队队过过程程的的基基本本组组成成部部分分为为：顾顾客客的的到到达达、排排队规则和服务机构的服务。队规则和服务机构的服务。16服务后顾服务后顾客离去客离去顾客顾客到达到达排队排队服务机构服务机构服务服务1 排队过程的组成部分排队过程的组成部分排队排
16、队服务机构服务机构服务服务给户状饵芯孰历愉性唯消巨丸郴尺争枚蓟懈狈豺蕾掸冉寇铂疟欧栖蕉呆盈十四章排队论十四章排队论一些排队系统的例子一些排队系统的例子排队系统排队系统 顾客顾客 服务台服务台 服服 务务电话系统电话系统 电话呼叫电话呼叫 电话总机电话总机 接通呼叫接通呼叫/ / 取消呼叫取消呼叫售票系统售票系统 购票旅客购票旅客 售票窗口售票窗口 收款、售票收款、售票设备维修设备维修 出故障的设备出故障的设备 修理工修理工 排除设备故障排除设备故障防空系统防空系统 进入阵地的敌机进入阵地的敌机 高射炮高射炮 瞄准、射击直至瞄准、射击直至 敌机被击落或离开敌机被击落或离开17惧怀哨灾难摈歧霓惦铀
17、阮揽栓瘫皂窗锥骨先书涛取帝隧粹忱兹圃键恼隅殊十四章排队论十四章排队论 为了说明排队过程的这些组成部分，我们举例加以说明。中国为了说明排队过程的这些组成部分，我们举例加以说明。中国工商银行在某居民小区的储蓄所，其主要业务是为居民的定期、活工商银行在某居民小区的储蓄所，其主要业务是为居民的定期、活期储蓄提供服务和销售国库券和债券，虽然储蓄所希望当每一位顾期储蓄提供服务和销售国库券和债券，虽然储蓄所希望当每一位顾客一到马上为其提供服务，但是有时顾客的人数一下到达过多，储客一到马上为其提供服务，但是有时顾客的人数一下到达过多，储蓄所不能同时为所有的顾客提供服务，顾客不得不排队等待服务。蓄所不能同时为所
18、有的顾客提供服务，顾客不得不排队等待服务。储蓄所的领导为了减少顾客的等待时间改进服务，开始对储蓄所的储蓄所的领导为了减少顾客的等待时间改进服务，开始对储蓄所的排队系统进行了调查研究，首先做了以下的一些调查排队系统进行了调查研究，首先做了以下的一些调查: :18莉站墨忆船同盖阀旷泊烷队酸踌元狱绪腔嗣箕新蛤躺锦仙丁颂周饲蕊哀息十四章排队论十四章排队论排队系统中的一些要素：排队系统中的一些要素：1 1、服务机构的服务台（或通道）的数目。、服务机构的服务台（或通道）的数目。这个储蓄所只设一这个储蓄所只设一个服务窗口，所有的业务都由这个窗口来处理，也就是说服务个服务窗口，所有的业务都由这个窗口来处理，也
19、就是说服务机构只有一个服务台，我们把这样的排队系统称之为单服务台机构只有一个服务台，我们把这样的排队系统称之为单服务台（或通道或通道）的排队系统。的排队系统。服务台（或通道）数目：服务台（或通道）数目：单服务台单服务台（或单通道或单通道）、多服务台、多服务台（或多通道或多通道）。 19硅技絮郡铅颗平压静拔阵宦蛀腔吞昼瞥声丹臭箔累仓财锹蔑本趁铭金吉划十四章排队论十四章排队论2、顾客到达过程顾客到达过程。一位顾客的到达相对于另外的顾客的到达。一位顾客的到达相对于另外的顾客的到达是是独立的独立的，没有联系的。储蓄所通过调查又了解到顾客到达储，没有联系的。储蓄所通过调查又了解到顾客到达储蓄所的时间是蓄
20、所的时间是随机的随机的，有一个顾客到达的概率与某一时刻，有一个顾客到达的概率与某一时刻 t 无关，但与时间的间隔长度有关，即在较长的时间间隔里有一无关，但与时间的间隔长度有关，即在较长的时间间隔里有一个顾客到达的概率越大，并且当时间的间隔长度个顾客到达的概率越大，并且当时间的间隔长度 t 充分小时，充分小时，有一个顾客到达的概率与有一个顾客到达的概率与 t 的长度成正比例。的长度成正比例。 在充分小的时间间隔里有两个顾客同时到的概率极小，可在充分小的时间间隔里有两个顾客同时到的概率极小，可以忽略不计。这些特征正好满足了泊松分布的三个条件，也就以忽略不计。这些特征正好满足了泊松分布的三个条件，也
21、就是说储蓄所的顾客到达过程形成了泊松流。是说储蓄所的顾客到达过程形成了泊松流。 运用运用泊松概率分布函数泊松概率分布函数，知道在单位时间里有，知道在单位时间里有 x个顾客到个顾客到达的概率达的概率 P(x) = x e- / x! (x = 0, 1, 2,)这里这里 x 为单位时间到达的顾客数，为单位时间到达的顾客数， 为单位时间平均到达的为单位时间平均到达的顾客数顾客数， e 2.71828。20齿衙属稻抄领罗黄硬伺之谈垂卤谈弃压派外外贡枉雍宇树之丽耳兆呵历丘十四章排队论十四章排队论本教材主要考虑顾客的到达服从泊松分布的排队问题。本教材主要考虑顾客的到达服从泊松分布的排队问题。例例: :
22、这个储蓄所根据统计分析得知顾客的到达过程服从这个储蓄所根据统计分析得知顾客的到达过程服从泊松分布，并且平均每小时到达顾客泊松分布，并且平均每小时到达顾客 36人，即平均每分人，即平均每分钟到达的顾客人数为钟到达的顾客人数为 36/ 60 = = 0. .6。若把时间单位定为若把时间单位定为分钟，则分钟，则平均到达率平均到达率 = = 0. .6 ，每分钟有，每分钟有 x 个顾客到个顾客到达的概率达的概率 21莆执瘩食隆鹅狸攫拒碾簧气池茂戮汉囚酒坚遂鸿似蚊暖钙碴领怒栅从拘彤十四章排队论十四章排队论以上我们看到在一分钟以上我们看到在一分钟里没有人到达的概率为里没有人到达的概率为 0.5488，正好
23、有一人到达的概率为正好有一人到达的概率为 0.3292，正好有两个人到达的概率为正好有两个人到达的概率为 0.098。22腕秆咙培浙庞童峰崩榨何殃降潞瓢羚坝黍丹潭夷彦骸筷夷茫柒臃笔洞暮搓十四章排队论十四章排队论满足下面四个条件的输入流称为满足下面四个条件的输入流称为泊松流泊松流 (泊松过程泊松过程)： 平稳性：平稳性：在时间区间在时间区间 t，t + t) 内到达内到达 k 个顾客的概率个顾客的概率与与 t 无关，只与无关，只与 t 有关，记为有关，记为 pk (t）； 无后效性：无后效性：不相交的时间区间内到达的顾客数互相独立；不相交的时间区间内到达的顾客数互相独立； 普通性：普通性：在充分
24、小的时间间隔里多于一个顾客到达的概率极在充分小的时间间隔里多于一个顾客到达的概率极小，可以忽略不记；小，可以忽略不记； 有限性：有限性：任意有限个区间内到达有限个顾客的概率等于任意有限个区间内到达有限个顾客的概率等于 1 。23弘糯镁恰蠕肤色睦嗅啦是肪噬雁已套骇峦貌辉舷里宁萨诊款姻瘩谴纽皿氮十四章排队论十四章排队论3.3.服务时间的分布服务时间的分布服务时间服务时间: :是指顾客从开始接受服务到服务完成所花费的时间。是指顾客从开始接受服务到服务完成所花费的时间。 由于每位顾客要办的业务都不一样，又存在很多影响服务由于每位顾客要办的业务都不一样，又存在很多影响服务机构的服务时间的随机因素，因此机
25、构的服务时间的随机因素，因此服务时间也是一个随机变量服务时间也是一个随机变量。一般来说，负指数概率分布能较好地描述一些排队系统里的服一般来说，负指数概率分布能较好地描述一些排队系统里的服务时间的概率分布情况，在负指数概率分布里，服务时间小于务时间的概率分布情况，在负指数概率分布里，服务时间小于或等于时间长度或等于时间长度 t 的概率的概率P(服务时间服务时间 t ) = 1e -t。这里这里 为单位时间里被服务完的平均顾客数。为单位时间里被服务完的平均顾客数。24字戎胜衍框勘桌羞氧希吊搪召踊煞谗骄氧浚货足窿涅腋矿关船知庸圈吨桩十四章排队论十四章排队论 储蓄所认为负指数概率分布能近似地反映了储蓄
26、所的服务储蓄所认为负指数概率分布能近似地反映了储蓄所的服务时间的概率分布情况，并统计出这一个服务窗口平均每小时能时间的概率分布情况，并统计出这一个服务窗口平均每小时能处理处理 48 位顾客的业务，也就是说每分钟平均能处理位顾客的业务，也就是说每分钟平均能处理 48/60=0.8 位顾客的业务，即位顾客的业务，即平均服务率平均服务率 0.8，这样我们，这样我们可求得可求得P（服务时间服务时间 0.5分分 ) = 1 e(0.80.5)0.3297 P（服务时间服务时间 1分分 ) = 1 e(0.81)0.5507P（服务时间服务时间 2分分 ) = 1 e(0.82)0.7981。P(服务时间
27、服务时间 t ) = 1e -t。25型燕啮混润蹦骆选蛙娱拔卸芥艾赖腿魏伐床臀侨值池僧累揭说悼寿介影榔十四章排队论十四章排队论二、排队规则二、排队规则 排队规则也是排队系统的一个重要组成部分。当顾客到达时，排队规则也是排队系统的一个重要组成部分。当顾客到达时，所有服务台都正被占用时，在有些排队系统里顾客随即离去如电话所有服务台都正被占用时，在有些排队系统里顾客随即离去如电话呼唤系统，我们把它称为呼唤系统，我们把它称为损失制损失制。 在另一些排队系统里顾客会排队等待服务如机场候机排队系统，在另一些排队系统里顾客会排队等待服务如机场候机排队系统，我们把它称为我们把它称为等待制等待制。 对于等待制系
28、统，为顾客进行服务的次序可以采用以下一些规对于等待制系统，为顾客进行服务的次序可以采用以下一些规则：则：先到先服务先到先服务，这是最常见的情形；，这是最常见的情形；后到先服务后到先服务，如乘用电梯的，如乘用电梯的顾客常是先入后出；顾客常是先入后出；随机服务随机服务，如邮局分信常常是随机分拣的；，如邮局分信常常是随机分拣的；有有优先权的服务优先权的服务，如医生对于病情严重的患者将给予优先治疗。，如医生对于病情严重的患者将给予优先治疗。 在这一章排队模型里都是按照先到先服务的规则处理问题的。在这一章排队模型里都是按照先到先服务的规则处理问题的。储蓄所的排队规则显然也是先到先服务的。储蓄所的排队规则
29、显然也是先到先服务的。26帝瘸齐佑优坟馁佃大剃拥驮雕垦饮热爸乘稚擒完杉痹啸伦省论镊缨测棵索十四章排队论十四章排队论排队规则分类排队规则分类 (1) 损失制：损失制：当顾客到达时，由于所有的服务台都当顾客到达时，由于所有的服务台都被占用，有部分顾客未接受服务就离去了。被占用，有部分顾客未接受服务就离去了。 (2) 等待制：等待制：当顾客到达时，由于所有的服务台都当顾客到达时，由于所有的服务台都被占用，顾客需要等待服务，直到接受服务完毕以后才被占用，顾客需要等待服务，直到接受服务完毕以后才离去，这时有：先到先服务，后到先服务，随机服务，离去，这时有：先到先服务，后到先服务，随机服务，有优先权的服务
30、。有优先权的服务。三、平稳状态三、平稳状态 当储蓄所早上刚开门营业时，顾客很少，一般把这个当储蓄所早上刚开门营业时，顾客很少，一般把这个时间称为过渡时期，过了过渡时期，储蓄所的业务活动才时间称为过渡时期，过了过渡时期，储蓄所的业务活动才进入正常的平稳状态，排队论的模型是描述排队系统的平进入正常的平稳状态，排队论的模型是描述排队系统的平稳状态稳状态 。27乡迄拟相户鲍巧秘绷不钾制帛契旷姑淬募罪盆晓推破酵铺圣计瘸邪颐刁荒十四章排队论十四章排队论排队系统的排队系统的 ( ( 肯道尔肯道尔 ) ) 符号表示符号表示一个排队系统的特征可以用六个参数表示，形式为：一个排队系统的特征可以用六个参数表示，形式
31、为：A AB BC C （ D DE E F F ）A A 顾客到达的概率分布，可取顾客到达的概率分布，可取 M M、D D、G G、E Ek k 等；等；B B 服务时间的概率分布，可取服务时间的概率分布，可取 M M、D D、G G、E Ek k 等；等；C C 服务台的个数，取正整数；服务台的个数，取正整数；D D 排队系统的最大容量，可取正整数或排队系统的最大容量，可取正整数或 ；E E 顾客源的最大容量，可取正整数或顾客源的最大容量，可取正整数或 ；F F 排队规则。排队规则。其中：其中：M M 泊松分布、负指数分布泊松分布、负指数分布E Ek k k k 阶爱尔朗分布阶爱尔朗分布D
32、 D 定长分布定长分布G G 一般分布一般分布先到先服务（先到先服务（FCFSFCFS）；）； 后到先服务（后到先服务（LCFSLCFS）；）；随机服务（随机服务（SIROSIRO）；）； 优先权服务（优先权服务（PRPR）。）。28厌绑源劝薪镁艺燕些谨共测辰庙鞍肾肆启客琶严埂越椒匠匹拍递删羡添遁十四章排队论十四章排队论例如例如M / M / 1 / / / FCFS 表表示示顾顾客客到到达达过过程程服服从从泊泊松松分分布布，服服务务时时间间服服从从负负指指数数分分布布，一一个个服服务务台台，排排队队的的长长度度无无限限制制和和顾顾客客的来源无限制，排队的来源无限制，排队（服务服务）规则是先到
33、先服务。规则是先到先服务。29首妊苞涣披茶芝详指庙茸究个酣锁嗓阶嚼祟鼓源淖济俗摹赏嚼豹讣哗舜授十四章排队论十四章排队论泊松分布与负指数分布的联系泊松分布与负指数分布的联系定理：定理：顾客到达过程是一个具有参数顾客到达过程是一个具有参数 的泊松分布的充的泊松分布的充分必要条件是，相继到达间隔分必要条件是，相继到达间隔 Tk 是一簇相互独立的随是一簇相互独立的随机变量，且每个随机变量机变量，且每个随机变量 Tk 都服从参数都服从参数为为 的负指数分的负指数分布。布。注：注：由定理知，由定理知，“泊松流泊松流”与与“到达间隔为相互独立的负指到达间隔为相互独立的负指数分布数分布”是一回事，都具有马尔科
34、夫性，故肯道尔用记号是一回事，都具有马尔科夫性，故肯道尔用记号 M（马尔科夫的头一个字母马尔科夫的头一个字母）表示这二者。表示这二者。30饯滥趟钞癌云碴梆膏漆话獭哦雌漠蒜契汉志舀孕路儡鄙凰遥庶桨饺盐坚闰十四章排队论十四章排队论泊松分布与负指数分布的联系泊松分布与负指数分布的联系马尔科夫（马尔科夫（1856185619221922），俄罗斯数学家。），俄罗斯数学家。19071907年提年提出马尔科夫链。在出马尔科夫链。在1906190619121912年开创了对一种无后效性年开创了对一种无后效性的随机过程的随机过程马尔科夫过程的研究。马尔科夫过程的研究。马尔科夫过程（也称马尔科夫性，无后效性），
35、可以简马尔科夫过程（也称马尔科夫性，无后效性），可以简单地这样表述单地这样表述 给定过程的给定过程的“ “现在现在” ”，它的，它的“ “将来将来” ”与与“ “过去过去” ”无关。无关。31赖寻逆遇型侮送泅羔揣哼敝譬沼媚味于汛向杂汽副冈埋痒卉圃晴泛巧厦辽十四章排队论十四章排队论3211生灭过程及生灭过程排队系统生灭过程及生灭过程排队系统1. 1. 生灭过程生灭过程 生灭过程是一类非常简单具有广泛应用的一类随机过程，很多排队生灭过程是一类非常简单具有广泛应用的一类随机过程，很多排队模型中都假设其状态过程为生灭过程；这样的排队子系统如：模型中都假设其状态过程为生灭过程；这样的排队子系统如：M/M
36、/CM/M/C和和M/M/C/RM/M/C/R，我们也可称之为生灭过程的排队系统。在这样的排队系统中，我们也可称之为生灭过程的排队系统。在这样的排队系统中，一个新顾客的到达看作一个新顾客的到达看作“生生”，一个顾客服务完之后离开系统看作是，一个顾客服务完之后离开系统看作是“死死”，设，设N(t)N(t)的任意时刻的任意时刻t t排队系统的状态（即排队子系统中的总顾客排队系统的状态（即排队子系统中的总顾客数），则对数），则对M/M/C/KM/M/C/K系统系统N(t)N(t)具有有限个状态具有有限个状态0 0，1 1，,k,k,对对M/M/CM/M/C来说来说N(t)N(t)具有可列个状态具有可
37、列个状态0 0，1 1，2 2。 一般来说，随机过程一般来说，随机过程 满足以下条件，称为生灭过程：满足以下条件，称为生灭过程： 1) 1) 假设假设N(t)=nN(t)=n，则从时刻，则从时刻t t起到下一个顾客到达时刻为止的时间服起到下一个顾客到达时刻为止的时间服从参数为从参数为 的负指数分布，的负指数分布，n=0,1,2,n=0,1,2, 2) 2) 假设假设N(t)=nN(t)=n，则从时刻，则从时刻t t起到下一个顾客离去时刻为止的时间服起到下一个顾客离去时刻为止的时间服从参数为从参数为 的负指数分布，的负指数分布，n=0,1,2,n=0,1,2, 3) 3) 同一时刻时只有一个顾客
38、到达或离去。同一时刻时只有一个顾客到达或离去。逃冤赡蠢献木硫荆权苏超士皑毖和统抨锣赡杆轩妖被季哉袖鼠劫易仓沮步十四章排队论十四章排队论3311生灭过程及生灭过程排队系统生灭过程及生灭过程排队系统0 01 12 23 3芽限泪糠曳委亨绘武茹盛呸琉惜驾闯釉点妮拥分胰幢匠焕熊奥深犀钢泳盏十四章排队论十四章排队论3411生灭过程及生灭过程排队系统生灭过程及生灭过程排队系统0 01 12 23 31 1+p+p1 1 = =0 0+p+p0 0嫡诲抛宫信弄丢藕馁淆烟芬钥阅量今绍徽于殊赤雄幸梳蛆布霹窟捐写蜀讼十四章排队论十四章排队论3511生灭过程及生灭过程排队系统生灭过程及生灭过程排队系统0 01 12
39、 23 31 1+p+p1 1 = =0 0+p+p0 00 0+p+p0 0+2 2+p+p2 2侧掠悬决炸影芍膛识舷护尖痕樊纤狈拙飘搏亿飘剿泊半采攀膊涪鹃怀隙聪十四章排队论十四章排队论3611生灭过程及生灭过程排队系统生灭过程及生灭过程排队系统0 01 12 23 31 1p p1 1 = =0 0p p0 00 0p p0 0+2 2p p2 2 = ( = (1 1+1 1)p)p1 1 陛犊罢秸静窄蓑丧瞧趁再讽丛匣堰牙别狼扁舷除瞅酣嘉刀扰电撬侣杆韦提十四章排队论十四章排队论3711生灭过程及生灭过程排队系统生灭过程及生灭过程排队系统0 01 12 23 31 1p p1 1 = =0
40、 0p p0 00 0p p0 0+2 2p p2 2 = ( = (1 1+1 1)p)p1 1 1 1p p1 1+3 3p p3 3 = ( = (2 2+2 2)p)p2 2 n-2n-2p pn-2n-2+n np pn n = ( = (n-1n-1+n-1n-1)p)pn-1n-1 n-1n-1p pn-1n-1+n+1n+1p pn+1n+1 = ( = (n n+n n)p)pn n p p1 1 =p =p0 0 (0 0/1 1) )p p2 2 = = p p0 0 ( (1 10 0)/()/(2 2 1 1) ) p p3 3 = = p p0 0 ( (2 21
41、1 0 0)/()/(3 3 2 2 1 1) ) p pn n = = p p0 0 ( (n-1n-1n-2n-2 0 0)/(n )/(n n-1n-1 0 0) ) p pn+1n+1 = = p p0 0 ( (n+1n+1n n 0 0)/(n+1 )/(n+1 n n 0 0) ) 矩答露遵蓉瑚木皮菇蒂彩坊蝴蔗美苔浩眠滞宾光险眠债邪雇荧洒李窍痪篮十四章排队论十四章排队论3811 生灭过程及生灭过程排队系统生灭过程及生灭过程排队系统2. 2. 生灭过程稳态方程生灭过程稳态方程 方程为：方程为：由此可求得生灭过程的平稳状态分布：由此可求得生灭过程的平稳状态分布：由于由于即有即有即有即
42、有即有即有业尸恤茬悍久受胸膘涌锤动巫寒佑慎恍斯绊谨惩忿透洪剥峦俩钝蚕椒萨益十四章排队论十四章排队论3911生灭过程及生灭过程排队系统生灭过程及生灭过程排队系统即当即当时，此生灭过程存在平稳状态分布：时，此生灭过程存在平稳状态分布：鞘嘲赵堑名港残酪枷呆舶贸涧秆篓话忍布丢型栏资以圃愁袁旋噬阵恤涧推十四章排队论十四章排队论4011生灭过程及生灭过程排队系统生灭过程及生灭过程排队系统 M/M/C M/M/C和和M/M/C/KM/M/C/K排排队系系统，顾客到达客到达间隔服从隔服从参数为参数为 的负指的负指数分布，顾客在系统中服务时间服从参数为数分布，顾客在系统中服务时间服从参数为 的负指数分布，并满的
43、负指数分布，并满足生灭过程的其他条件。它们都是生灭过程的排队系统，我们都可以从生足生灭过程的其他条件。它们都是生灭过程的排队系统，我们都可以从生灭过程的平衡方程来推导出这些排队公式。我们以灭过程的平衡方程来推导出这些排队公式。我们以M/M/1M/M/1系统为例进行推系统为例进行推导。在这个系统中，导。在这个系统中， 师柏连蕉溯马钉诫棉凛侗聚宪郊壶盗呢享劈代免涟鸟忽扭酷瑟瓜似许夕宙十四章排队论十四章排队论4111生灭过程及生灭过程排队系统生灭过程及生灭过程排队系统 同时也可计算出此系统的其他性能指标同时也可计算出此系统的其他性能指标: :默甲寡貉盼短统戴旧头盘糖炯喘督度豌逝漆剩悟弹臻涡霍亮间伐栗
44、跟拉礁十四章排队论十四章排队论4211*生灭过程及生灭过程排队系统生灭过程及生灭过程排队系统同样我们也可用生灭过程的平衡方程推导出同样我们也可用生灭过程的平衡方程推导出M/M/1/KM/M/1/K系统的公式。系统的公式。在这个系统中在这个系统中, ,肩蹋陪踞武锣荚米炮鸦绎搐内洲落溶聂也叉重蔫曝挂舔儡离姬客舍啮豌弗十四章排队论十四章排队论4311生灭过程及生灭过程排队系统生灭过程及生灭过程排队系统 利用上面给出的平稳状态的分布，即可推出此系统的其他性能指标。利用上面给出的平稳状态的分布，即可推出此系统的其他性能指标。这些指标我们已经在前面告诉大家了（计算过程从略）。这些指标我们已经在前面告诉大家
45、了（计算过程从略）。 仇渡思抨煞惟阂淆营癸碱妓媚拍功翼乓闷炯冬窜锭技斧佑败屡喂拟湛彤谱十四章排队论十四章排队论M / M / 1 / / 设单位时间内顾客的平均到达数为设单位时间内顾客的平均到达数为 ，单位时单位时间内平均服务的顾客数为间内平均服务的顾客数为 ( )，则这个排队系则这个排队系统的统的数量指标公式为数量指标公式为: :1、系统中无顾客的概率系统中无顾客的概率 P0 =1 /2、平均排队的顾客数平均排队的顾客数 Lq =2/ ( )44窥棋迸荣斋锑使荡渡冕倍蒋味余攫葵沧寺臀诚陨寺狮枪佩毒黍虐乔蛛涅供十四章排队论十四章排队论3、系统中的平均顾客数系统中的平均顾客数 Ls = = Lq
46、 + + /4、顾客花在排队上的平均等待时间顾客花在排队上的平均等待时间 Wq = Lq /5、顾客在系统中的平均逗留时间顾客在系统中的平均逗留时间 Ws = Wq+ + 1/6、顾客得不到及时服务必须排队等待的概率顾客得不到及时服务必须排队等待的概率 Pw = = /7、系统中恰好有系统中恰好有 n 个顾客的概率个顾客的概率 Pn = (= ( /)n P0 45丸醛请逻浸乌毗免绍弟师汲毖卫偶坐焚弱眯疏盒诌带少怨扼匈类缕抱杯郸十四章排队论十四章排队论注：注： / 。57钨压谋按壬昨尹轴驰顷汉倘福需洒枯夷尿素唯圃假活视芹杖磁孟尤蔽靖轻十四章排队论十四章排队论1、系统中无顾客的概率系统中无顾客的
47、概率2、平均排队的顾客数平均排队的顾客数3、系统中的平均顾客数系统中的平均顾客数 Ls = Lq + / ,4、顾客花在排队上的平均等待时间顾客花在排队上的平均等待时间 Wq = Lq / ,58崩餐漏淄倚广脂蹬净贰坐奶印坠藕探舟弃尾参缮炮蛾盆晦川沧甩匈翘翠仲十四章排队论十四章排队论5、顾客在系统中的平均逗留时间顾客在系统中的平均逗留时间 Ws = Wq+ 1/ , ,6、系统中顾客必须排队等待的概率系统中顾客必须排队等待的概率7、系统中恰好有系统中恰好有 n 个顾客的概率个顾客的概率59当当 n c 时，时，当当 n c 时。时。哮屠撇杀糕局瘤吉枚罪遁古招弹荣况满讯渤釜傍颐脯肾纪罪通廉肆捆参
48、欺十四章排队论十四章排队论例例 在前例的储蓄所里多设一个服务窗口，即储蓄在前例的储蓄所里多设一个服务窗口，即储蓄所开设两个服务窗口。顾客的到达过程仍服从泊松所开设两个服务窗口。顾客的到达过程仍服从泊松分布，平均每小时到达顾客仍是分布，平均每小时到达顾客仍是 36 人；储蓄所的人；储蓄所的服务时间仍服从负指数分布，平均每小时仍能处理服务时间仍服从负指数分布，平均每小时仍能处理 48 位顾客的业务，其排队规则为位顾客的业务，其排队规则为只排一个队只排一个队，先到，先到先服务。试求这个排队系统的数量指标。先服务。试求这个排队系统的数量指标。解：解： c = 2， 平均到达率平均到达率 = 36/60
49、 = 0.6， 平均服务率平均服务率 = 48/60 = 0.8。60继赐厂不磅叶象讽叶循认放尼陪袭痹径辨隘蟹楞绎复卷敦凤缮邦汇制牧皿十四章排队论十四章排队论P0 = = 0.4545,Lq = 0.1227 (个个顾客顾客),Ls = Lq + + / = 0.8727 (个个顾客顾客),Wq = Lq / = 0.2045 (分钟分钟),Ws = Wq+ + 1/ = 1.4545 (分钟分钟),Pw = = 0.2045,P1 = 0.3409, P2 = 0.1278, P3 = 0.0479, P4 = 0.0180, P5 = 0.0067， P6 = 0.0040。61揖艺咽箱磊
50、条闪肪芥拼执曾傅戮啡台裹遵届奏贤立太辐呸碴匣暂砾节姿狞十四章排队论十四章排队论注：注： 在储蓄所里使用在储蓄所里使用 M / M / 2 模型与使用两个模型与使用两个 M / M / 1 模型，它们的服务台数都是模型，它们的服务台数都是 2，服务率，服务率和顾客到达率都一样，只是在和顾客到达率都一样，只是在 M / M / 2 中只排中只排一队，在一队，在 2 个个 M / M / 1 中排两队，结果却不一中排两队，结果却不一样。样。 M / M / 2 使得服务水平有了很大提高。如使得服务水平有了很大提高。如果把果把 M / M / 2 与原来的一个与原来的一个 M / M / 1 比较，比
51、较，那么服务水平之间的差别就更大了。那么服务水平之间的差别就更大了。62榆蔬竞忠勿牢萧斧币嫌进基擦闷旅叹账穿烈乒嗽冰疑已投翘听甥藉龋现才十四章排队论十四章排队论值得值得注意注意，在一般排队模型中，在一般排队模型中 Ls ， Lq， Ws，Wq 之之间都有如下关系：间都有如下关系：LsLq / ， (13.5)WqLq / ， (13.6 )Ws = Wq+ 1/ 。 (13.7 ) 对对排队长度有限制的模型排队长度有限制的模型，我们设因排队长度，我们设因排队长度的限制顾客被拒绝的概率为的限制顾客被拒绝的概率为 PN ，则实际进入系统平，则实际进入系统平均到达率应为均到达率应为 (1PN)，这时
52、这时（13.5）和和（13.6）中的中的 应改写为应改写为 (1PN)。63穿趴潍恃盅异月驰谬史瞎塞携毋杂毛密嘘右挖痞牟搭颤数烹语邱米嫩菌侨十四章排队论十四章排队论 我们把一个排队系统的单位时间的总费用我们把一个排队系统的单位时间的总费用 TC 定义为服务机构的单位时间的费用和顾客在排队系定义为服务机构的单位时间的费用和顾客在排队系统中逗留单位时间的费用之和。即统中逗留单位时间的费用之和。即TC = cw Ls + cs c其中其中 cw 为一个顾客在排队系统中逗留单位时间付出为一个顾客在排队系统中逗留单位时间付出的费用；的费用；Ls 为在排队系统中的平均顾客数；为在排队系统中的平均顾客数；c
53、s 为每为每个服务台单位时间的费用；个服务台单位时间的费用；c 为服务台的数目。为服务台的数目。64辩焦沤旺功叔稳选酬缠邹篙柄痪爆嘿篓赌渺谅贺棚厄肠托抛舆亮尼关扒袁十四章排队论十四章排队论例例 在前两例中，设储蓄所的每个服务台一小时的费用在前两例中，设储蓄所的每个服务台一小时的费用cs = 18，顾客在储蓄所中逗留一小时的成本，顾客在储蓄所中逗留一小时的成本 cw =10。这样，。这样，对储蓄所对储蓄所 M / M / 1 模型可知模型可知 Ls = 3， c = 1，得，得TC = cw Ls + cs c = 48 元元 / / 每小时。每小时。 对储蓄所对储蓄所 M / M / 2 模型
54、可知模型可知 Ls = 0.8727，c = 2，得，得TC = cw Ls + cs c = 44.73 元元 / / 每小时。每小时。通过经济分析知通过经济分析知 M / M / 2 系统是一个更为经济的模型。系统是一个更为经济的模型。当顾客和服务机构从属于一个单位时，经济分析可取。当顾客和服务机构从属于一个单位时，经济分析可取。65效横和募姐似蹬帽曳且青天薯翼起金噬暴惹瞎锥共祝翻乏烷哑沫舅碧肉滔十四章排队论十四章排队论M / G / 1 / / 设单位时间顾客平均到达数为设单位时间顾客平均到达数为 ，单位时间平均单位时间平均服务顾客数为服务顾客数为 ，则则一个顾客的平均服务时间为一个顾客
55、的平均服务时间为 1 /。又又设服务时间的均方差为设服务时间的均方差为 ，则系统的则系统的数量指标公式数量指标公式: :1、系统中无顾客的概率系统中无顾客的概率 P0=1 /66攫弯厩剖量怕烈衍蠕妊醋昂怎童坷山喷循晃详没夹野孙绕氧渤娟阉兴饲铂十四章排队论十四章排队论2、平均排队的顾客数平均排队的顾客数 3、系统中的平均顾客数系统中的平均顾客数 Ls = Lq + /4、顾客花在排队上的平均等待时间顾客花在排队上的平均等待时间 Wq = Lq / 5、系统在中顾客的平均逗留时间系统在中顾客的平均逗留时间 Ws = Wq+ + 1/ 6、系统中顾客必须排队等待的概率系统中顾客必须排队等待的概率 P
56、w = /7、系统中恰好有系统中恰好有 n 个顾客的概率个顾客的概率 Pn67识厌酸江诊憋貉梨铬琵苗缚骏拣示穿勾衍舰跌层址队木抱宏咬慎跋嫁肯论十四章排队论十四章排队论例例1. 某杂货店只有一名售货员，已知顾客的到达过某杂货店只有一名售货员，已知顾客的到达过程服从泊松分布，平均到达率为每小时程服从泊松分布，平均到达率为每小时 20 人；不清楚人；不清楚这个系统的服务时间服从什么分布，但从统计分析知道这个系统的服务时间服从什么分布，但从统计分析知道售货员平均服务一名顾客的时间为售货员平均服务一名顾客的时间为 2 分钟，服务时间分钟，服务时间的均方差为的均方差为 1.5 分钟。试求这个排队系统的数量
57、指标。分钟。试求这个排队系统的数量指标。解：解：这是一个这是一个 M / G / 1 的排队系统，其中的排队系统，其中 = 20/60 = 0.3333 人人 / / 分钟分钟， 1 / = 2 分钟分钟， = = 0.5 人人 / / 分钟分钟， =1.5。68往圈碎坎钨躁淆娥毗腺部赴砌瑞涛浦箍亩仗珊甩昂叼储教茨蓑魄淌藐墩没十四章排队论十四章排队论P0 = =1 / = 0.33334,Lq =1.0412 (人人) ,Ls = = Lq + + / = 1. 7078 (人人) , Wq = Lq / = 2.25/0.6 = 3.1241 (分钟分钟) ,Ws = Wq+ + 1/ =5
58、.1241 (分钟分钟) ,Pw = = / = 0.6666。69甭磐螟鸳疽浴贱板腺母颈幽惟南嘴船清鸽嫁徘匹鞍赵抽犁籽卜阵炉膛狼骋十四章排队论十四章排队论M / D / 1 / / 注：它是注：它是 M / G / 1 / / 的特殊情况：的特殊情况： = 0。1、系统中无顾客的概率系统中无顾客的概率 P0=1 /2、平均排队的顾客数平均排队的顾客数70漓磷投拉博司朵恋足驳阎擦辛籍债爱治苇囱背津曼袍惕涛窟襟孙通夏院辐十四章排队论十四章排队论3、系统中的平均顾客数系统中的平均顾客数 Ls = Lq + /4、顾客花在排队上的平均等待时间顾客花在排队上的平均等待时间 Wq = Lq / 5、系统
59、在中顾客的平均逗留时间系统在中顾客的平均逗留时间 Ws = Wq+ + 1/ 6、系统中顾客必须排队等待的概率系统中顾客必须排队等待的概率 Pw = /7、系统中恰好有系统中恰好有 n 个顾客的概率个顾客的概率 Pn71吃踞纸澄梭育畅胁烧撂屠熄绪郡瓦户擞誉海腥况滞邹洼毁吐彦风位窑驭韦十四章排队论十四章排队论例例2 . 某汽车冲洗服务营业部，有一套自动冲洗设备，某汽车冲洗服务营业部，有一套自动冲洗设备，冲洗每辆车需要冲洗每辆车需要 6 分钟，到此营业部来冲洗的汽车分钟，到此营业部来冲洗的汽车到达过程服从泊松分布，每小时平均到达到达过程服从泊松分布，每小时平均到达 6 辆，试辆，试求这个排队系统的
60、数量指标。求这个排队系统的数量指标。解：解：这是一个这是一个 M / D / 1 排队模型，其中排队模型，其中 = 6 辆辆 / / 小时，小时， = 60 / 6 =10 辆辆 / / 小时小时，72穷颊胳再巍差究倡风苇曾跟经过惰睦而影勘镣水秋事咳疯爷慧崔攘抚迄窿十四章排队论十四章排队论得得P0 = = 1 / = 0.4,Lq = 0.45,Ls = = Lq + + / = 1.05, Wq = Lq / = 0.0750，Ws = Wq+ + 1 / = 0.1750,Pw = = / = 0.6。73缅适瞒獭蓟麻脚箕晤掀月庇械匹置枣速谨所止瘪摇堵嫉钡肩郸钞爽啥具冰十四章排队论十四章排
61、队论 这种排队模型记为这种排队模型记为 M / G / c / c / ，式中，式中第一位第一位 M 表示到达过程服从泊松分布，第二位表示到达过程服从泊松分布，第二位 G 表示服务时间的概率分布可以是任意的，第三位表示服务时间的概率分布可以是任意的，第三位 c 表示有表示有 c 个服务台，第四位个服务台，第四位 c 表示系统里至多能表示系统里至多能容纳容纳 c 个顾客，顾客排队的长度为有限制个顾客，顾客排队的长度为有限制 cc = 0，也就是顾客一看服务台都被占了，就走开，不会也就是顾客一看服务台都被占了，就走开，不会排队等待服务的，第五位的排队等待服务的，第五位的 表示顾客源无限制。表示顾客
62、源无限制。74夸插蹦豁岩渐模克粤拌舶禽某怪兼阅仰伤回多孕于踏蛇捅健屎拥瓷葛靛墨十四章排队论十四章排队论这种模型是一种损失制模型，它要解决的主要问题这种模型是一种损失制模型，它要解决的主要问题是是在服务机构的空闲与顾客的流失之间找到平衡，在服务机构的空闲与顾客的流失之间找到平衡，找出最合适的服务台数，使得该系统收益最大找出最合适的服务台数，使得该系统收益最大。例。例如民航电话订票系统就是典型的这样的排队模型。如民航电话订票系统就是典型的这样的排队模型。如果如果服务台服务台（接受订票的电话接受订票的电话）太少，顾客常常会太少，顾客常常会因为打不通电话而去别的公司订票；如果服务台太因为打不通电话而去
63、别的公司订票；如果服务台太多，那么公司将会为服务台的设置付出过多的费用多，那么公司将会为服务台的设置付出过多的费用. .75赛关亏毒房言糊瘴浦协丽陶叭金究懦诅租啸侯阿牙亮汁缅恢阅虽亨驱强震十四章排队论十四章排队论 下面我们给出计算该模型数量指标的一些公式，下面我们给出计算该模型数量指标的一些公式，由于是损失制，故不存在平均排队的顾客数由于是损失制，故不存在平均排队的顾客数 Lq 和顾和顾客平均的排队等待时间客平均的排队等待时间 Wq。 设设 仍为平均到达率，仍为平均到达率， 为平均服务率，则为平均服务率，则系统中的平均顾客数系统中的平均顾客数 Ls = / (1 Pc ) （13. 27）其中
64、其中 Pc 是系统中恰好有是系统中恰好有 c 个顾客的概率，也就是个顾客的概率，也就是系统里系统里 c 个服务台都被顾客占满的概率。个服务台都被顾客占满的概率。76陷仆壮搜件雌衬掂麓据丙慧郴颅禄贯昌抨衔导遍忽航婶捧呐旨酗绝夸驮雹十四章排队论十四章排队论系统中恰好有系统中恰好有 n 个顾客的概率个顾客的概率77问吉蚜育钵群四倦韶侵勿涕朵礼城葡透淀钟泊坝荐擞谍谱钞治瑚驮垣预愚十四章排队论十四章排队论例例3. 某电视商场专营店开展了电话订货业务，电话某电视商场专营店开展了电话订货业务，电话的到达过程服从泊松分布，平均到达率为每小时的到达过程服从泊松分布，平均到达率为每小时 16 个，而一个接话员处理
65、订货事宜的时间是随着订货个，而一个接话员处理订货事宜的时间是随着订货的产品、规格、数量及顾客的不同而变化的，但平的产品、规格、数量及顾客的不同而变化的，但平均每个人每小时可以处理均每个人每小时可以处理 8 个订货电话。在此电视个订货电话。在此电视商场专营店里安装了一台电话自动交换台，它接到商场专营店里安装了一台电话自动交换台，它接到电话后可以接到任一个空闲的接话员的电话上，试电话后可以接到任一个空闲的接话员的电话上，试问该公司应安装多少台接话员的电话，使得订货电问该公司应安装多少台接话员的电话，使得订货电话因电话占线而损失的概率不超过话因电话占线而损失的概率不超过 10% 。78莫攀乖歇排哦澎
66、耻鞘谎角鸥状橙腮积蛇控扳廷吸茸闸亏录盼蚊缉萍立缕秘十四章排队论十四章排队论解：解：这是一个这是一个 M / G / c / c / 模型。当模型。当 c =3 时，时，系统中正好有系统中正好有 3 位顾客的概率为位顾客的概率为因为因为 21.05% 10%，所以不符合要求。所以不符合要求。79粗球牢婶撕温喧键寻湛侩够浇般瑰琶芒旅烈宁兽衔塞悔姿方怜肪浇墨瞒甥十四章排队论十四章排队论当当 c = 4 时时，系统中正好有系统中正好有 4 位顾客的概率为位顾客的概率为因为因为 9.52% 1 的情形的情形设设84猎瑶弹叠驮傅未亮赡示蛛沏惕堤培锡瓢驮硬琵辽瓤所椒符销秘梯篆荒班娄十四章排队论十四章排队论8
67、5戏寿麦率燕釉抖伴丽鹤禹狞陋畦园卒种潘绘暇穆挫贪妈囱蜘荔尔歪德坚培十四章排队论十四章排队论Ls = Lq + (1PN )，e = (1PN )，Ws = Ls / e ，Wq = Lq / e = Ws1 / 。86谁瀑俗绵碟惨蹄杭伸膳隔僵孔藤侨组猩粗球灿凹炙休海鲤萄碑渺贤斧音充十四章排队论十四章排队论 M / M / 1 / m / m 模型模型 前面所介绍的排队系统都是顾客来源无限制的前面所介绍的排队系统都是顾客来源无限制的情况，这一节我们将介绍顾客来源有限制的情况。情况，这一节我们将介绍顾客来源有限制的情况。 从从 M / M / 1 / m / m 这个记号中我们可以这个记号中我们可
68、以知道这个排队模型的顾客的总数为有限数知道这个排队模型的顾客的总数为有限数 m。这时。这时 ：每个顾客每个顾客在单位时间里到达系统的平均次数在单位时间里到达系统的平均次数 ：一个服务台在单位时间里所服务顾客的平均数：一个服务台在单位时间里所服务顾客的平均数87指毯氢碎酮决挣荤坚锋掏梧纸犀竖谁阜谜正龄耳销现殷诽媳死拔盲技宰撮十四章排队论十四章排队论系统的数量指标公式为系统的数量指标公式为: :1、系统里无顾客的概率系统里无顾客的概率 2、平均排队的顾客数平均排队的顾客数 3、系统里的平均顾客数系统里的平均顾客数 Ls = Lq + (1p0)88蓝题冷锌和晴祟耘瘤粘缎馏哈初虱兄癣旁野峦商远凸修爹
69、摇树洒项氯慎尸十四章排队论十四章排队论4、 顾客在排队上平均花费的等待时间顾客在排队上平均花费的等待时间 Wq = Lq / (m Ls) 5、顾客在系统里的平均逗留时间顾客在系统里的平均逗留时间 Ws = Wq+ + 1/ 6、系统中有系统中有 n 个顾客的概率个顾客的概率89, n = 0,1,2, , m剩赃宦暮撂漆谴迭飞武混憎磊韦胎彦须其疆娟镭瞥诀阶讼复爹疡逮横俏婆十四章排队论十四章排队论例例 4. 某车间有某车间有 5 台机器，每台机器连续运转时间台机器，每台机器连续运转时间服从负指数分布，平均连续运转时间为服从负指数分布，平均连续运转时间为 15 分钟，有分钟，有一个修理工，每次修
70、理时间服从负指数分布，平均一个修理工，每次修理时间服从负指数分布，平均每次每次12 分钟，求该排队系统的数量指标分钟，求该排队系统的数量指标 P0， Lq， Ls， Wq， Ws， P5 。90深与扇圈昌坚逛磐槐酱眼邱帚攘裔辐辈朴庇栈影弹莎扰岭咳德啤工样泻纺十四章排队论十四章排队论解：解： 这是一个这是一个 M / M / 1 / 5 /5 系统。其中系统。其中，m = 5, =1/15, = 1/12, / = 0.8 = 0.0073Lq= 2.766 (台台) ; ; Ls = 3.759 (台台)；Wq= 33.43 (分钟分钟); ; 91忻圣丁羚功竭萌鸽扯渊婚线烧弧塔觅卒竞弥故巨法
71、濒棚肖炎惊长渠镭淌狈十四章排队论十四章排队论Ws = 45.43 (分钟分钟) ；P5 = 0.2870。 从上面讨论可见，修理工人几乎没有空闲时间，从上面讨论可见，修理工人几乎没有空闲时间，机器排队的时间过长，为了提高服务水平可以提高机器排队的时间过长，为了提高服务水平可以提高服务率或增加服务台数目。服务率或增加服务台数目。 以上介绍的排队论模型，都可以使用以上介绍的排队论模型，都可以使用 “管理运管理运筹学软件筹学软件” 求解。求解。92清输铲家咨蛙倾涉碧忿鄂刽士诵递亡腮媒疙悟涂泅咎馏踞聘号翅藐叉红柯十四章排队论十四章排队论 M / M / c / m / m 模型模型 前面介绍的顾客来源
72、有限制的排队系统是最简单前面介绍的顾客来源有限制的排队系统是最简单的情况的情况（M / M / 1 / m / m ），下面我们将介绍顾，下面我们将介绍顾客来源有限制的一般情况，即客来源有限制的一般情况，即 M / M / c / m / m 模模型。型。 从这个记号中我们可以知道这个排队模型的顾客从这个记号中我们可以知道这个排队模型的顾客的总数为有限数的总数为有限数 m。这时。这时93皖鞭缚牡司灶季某翼堤澄实秧惺危腮盏吩岭胜独迄鹿颈吼沂树焊额衅抹锣十四章排队论十四章排队论 ： 单位时间里顾客平均到达的次数单位时间里顾客平均到达的次数 ：仍为单位时间里平均服务的顾客数：仍为单位时间里平均服务的
73、顾客数系统的数量指标公式为系统的数量指标公式为: :1、系统里无顾客的概率系统里无顾客的概率94她要迭唯东荤浙拓萝扶侗护柱口坠末殷刮抗奔畴辉妊继驳阵栽难甜恫钳丑十四章排队论十四章排队论2、系统中有系统中有 n 个顾客的概率个顾客的概率3、平均排队的顾客数平均排队的顾客数4、系统里的平均顾客数系统里的平均顾客数95谴鹰鹿烦囚崖渝郎洒抨捷房惧显瘩索糖秩珊绊扮虎贪升龄凄冉迄罢随棉虫十四章排队论十四章排队论5、顾客在排队上平均花费的等待时间顾客在排队上平均花费的等待时间 Wq = Lq / (m Ls) 。6、顾客在系统里的平均逗留时间顾客在系统里的平均逗留时间 Ws = Wq+ + 1/ 。Lq =
74、 e Wq ， Ls = = e Ws ， Ls = = Lq + + e / ， e = (m Ls)。96扶赏牺新藻沃颈瘸畴磁虎磺遥括枪济试鸯寞甘缘昔琵丘窒赦赔帘确孺清无十四章排队论十四章排队论5、解：解：已知已知 平均到达率平均到达率 = 10 人人/小时，小时， 平均服务率平均服务率 =（1/3）= 20 人人/小时。小时。从而电话亭前平均排队的顾客数从而电话亭前平均排队的顾客数（公式公式（13.4）一位顾客花在排队上的平均时间一位顾客花在排队上的平均时间（公式公式（13.6）97琅皂届所凄莽呵殷琳旦溶腰崔坊盼也莲茂抽漠秀瘩改源剧唬轻遍气提惹扩十四章排队论十四章排队论因此，去另一个电话
75、亭因此，去另一个电话亭(平均平均) 需要在需要在 4+3 = 7 分钟分钟后才能通话，而在本电话亭后才能通话，而在本电话亭 (平均平均) 需要等待需要等待 3+3 = 6 分钟后能通话分钟后能通话。由此可知，顾客应在原地等候。由此可知，顾客应在原地等候。 如果如果顾客认为只相差顾客认为只相差 1 分钟，也可以考虑去另分钟，也可以考虑去另一个一个电话亭电话亭，这时顾客应事先计算一下另一，这时顾客应事先计算一下另一电话亭里电话亭里没有顾客使用没有顾客使用电话的概率电话的概率（公式公式（13.3）P0 = = 1 / = 110/20 =1/2，这个概率太大，没有必要去另一个这个概率太大，没有必要去
76、另一个电话亭。电话亭。98谢僧凿线昌击凝五妄躁凤晴充钳岔牌迹兵烷晦周舟阔褐饵哲蜜轧梭渤摧雀十四章排队论十四章排队论7、解：解：这是一个这是一个 M / G / c / c / 模型。模型。 内部一小时平均使用外线电话次数：内部一小时平均使用外线电话次数：(30030%)2 + 30070% = 180 +210 = 390 (次次)；外部一小时平均打来电话次数：外部一小时平均打来电话次数：602 =120 (次次)；内外部一小时平均共使用交换台次数：内外部一小时平均共使用交换台次数：390+120 =510 (次次)，于是，于是， = 510/60 =8.5 次次/分钟，分钟， =1/3 个个
77、/分钟，分钟，99馏任诛作斯颜尹军拢专阴脏搐跪泰沤般堆藐壤坐辗狭翠农通恃空佐决乾嘿十四章排队论十四章排队论 / = 25.5。系统中恰好有系统中恰好有 n 个顾客的概率个顾客的概率（公式公式（13.26）在在 c 个服务台的系统中恰好有个服务台的系统中恰好有 c 个顾客的概率个顾客的概率求求 c 使满足使满足 1Pc 95% 。100桃虐酗锣擂呆者雨匝桔剿尚桔耪楞万搪暮喧遭权省老染沧拽宪汗樱巡祸恒十四章排队论十四章排队论8、解：解：这是一个这是一个 M / M / c / 10 / 10 模型。模型。 = 1， = 4， cw = 60， cs = 90， TC = cw Ls + + cs c 。a. 当当 c = 1 时时， TC = 451.2738（元元）； 当当 c = 2 时时， TC = 369.9522（元元）； 当当 c = 3 时时， TC = 405.5552（元元），故该车间设故该车间设 2 名修理工，总费用为名修理工，总费用为 369.9522 元元 。b. 当当 c = 2 时，时，Ws = 0.4632（小时小时） （小时小时）。101苑敦第蛀禽赘宪仇岸娘踢波彻侩垫冷宣潮饥肥娶卯绳梅正鼎狼追订皿副疡十四章排队论十四章排队论
