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1、授课教师：张授课教师：张授课教师：张授课教师：张 娅娅娅娅1 绪论绪论 2有限元法有限元法 求解偏微分方程初边值问题的有效的求解偏微分方程初边值问题的有效的数值方法数值方法，广泛应用于结构工程分析、传热分析、电磁场、渗流广泛应用于结构工程分析、传热分析、电磁场、渗流及流体力学、流变学等可以用偏微分方程描述的领域，及流体力学、流变学等可以用偏微分方程描述的领域，是工程领域中应用最广泛的一种数值方法是工程领域中应用最广泛的一种数值方法。 预修课程预修课程 高等数学；材料力学；线性代数；弹性力学高等数学；材料力学；线性代数；弹性力学 薄板弯曲的弹性曲面方程薄板弯曲的弹性曲面方程:3理论力学理论力学
2、研究物体机械运动一般规律的科学研究物体机械运动一般规律的科学 对象对象: 刚体和刚体系刚体和刚体系 特征特征: 无变形、复杂形状的物体无变形、复杂形状的物体材料力学材料力学 研究构件的承载能力研究构件的承载能力 对象对象: 简单的变形体简单的变形体(杆、梁杆、梁) 特征特征: 小变形、简单形状的物体小变形、简单形状的物体4 桁架结构桁架结构5弹性力学弹性力学 研究弹性物体受力后的变形、各点位研究弹性物体受力后的变形、各点位 移，内部的应变与应力移，内部的应变与应力 对象对象: 任意变形体任意变形体 特征特征: 小变形、任意形状的物体小变形、任意形状的物体6参考教材：参考教材：2: 2: 2:
3、2: 王勖成王勖成 邵敏邵敏, ,有限单元法基本原理和数值方有限单元法基本原理和数值方 法法, , 清华大学出版社清华大学出版社清华大学出版社清华大学出版社. .3: 3: 朱伯芳朱伯芳,有限单元法原理与应用有限单元法原理与应用, 中国水中国水利水电出版社利水电出版社. . . . 教材：教材：1: 1: 冷纪桐冷纪桐冷纪桐冷纪桐 赵军赵军赵军赵军, ,有限元技术基础有限元技术基础, , 化学工业化学工业化学工业化学工业 出版社出版社出版社出版社. .7课程目标课程目标(1) 了解什么是有限元法及其基本思想了解什么是有限元法及其基本思想(2) 学习有限元法的基本原理学习有限元法的基本原理,主要
4、以弹性力学的主要以弹性力学的位移有限元法学习有限元法的基本技术路线、理位移有限元法学习有限元法的基本技术路线、理论推导基础、数值技术等基本理论论推导基础、数值技术等基本理论8有限元法基本思想有限元法基本思想用一个比较简单的物理模型，即将连续的求解区域离散为一组有限个，且按一定方式相互联结在一起的单元的组合体，去代替原有的复杂问题，从而进行求解.椭圆封头几何模型椭圆封头几何模型 椭圆封头有限元模型椭圆封头有限元模型 910 技术路线技术路线将连续域划分为有限个离散的小部分“单元”，单元与单元之间在共同“结点”处联接起来；在每个单元内函数用已知的简单函数近似，所有量转化为用结点变量来表示，再找到所
5、有这些结点变量应满足的有限维的代数方程组（一般是结点的某种平衡方程），设法求解这个代数方程组，得有限个结点变量，就得到了数值解或近似解。11 氧化反应器在自重作用下的氧化反应器在自重作用下的整体应力强度云图整体应力强度云图 氧化反应器裙座底部在自重氧化反应器裙座底部在自重作用下的应力强度云图作用下的应力强度云图 1213141516钢结构接头的应力分析钢结构接头的应力分析钢结构接头的应力分析钢结构接头的应力分析17Disk 2Disk 1zyxDisk2Disk118 1956年，Turner 与 Clough 在分析飞机结构中用三角形单元解决了弹性力学平面问题；有限元的发生与发展有限元的发生
6、与发展19601960年，年，CloughClough在他的名为在他的名为“The finite element The finite element in plane stress analysis”in plane stress analysis”的论文中首次提出了有的论文中首次提出了有限元（限元（finite elementfinite element）这一术语；）这一术语；软件：软件：MSC.NastranMSC.Nastran , MSC. , MSC. DytranDytran, MSC. , MSC. Marc, ANSYS, ADINA, ABAQUSMarc, ANSYS,
7、ADINA, ABAQUS 等等 从1943年Courant 对扭转的研究开始，50年代是理论的萌芽阶段； 60607070年代完善理论框架，年代完善理论框架，7070年代，技术框架形成年代，技术框架形成软件推向市场。软件推向市场。19尽可能的实践。尽可能的实践。课程的学习方法课程的学习方法: 学习有限元法的基本理论。学习有限元法的基本理论。20有限元法的一般步骤有限元法的一般步骤 1. 建立离散的有限元模型。建立离散的有限元模型。 3. 解方程，求出所有结点变量。解方程，求出所有结点变量。 4. 处理分析结果，给出所需要的解答。处理分析结果，给出所需要的解答。 2. 建立有限元方程组建立有限
8、元方程组 21怎么划分（离散法）；怎么划分（离散法）；单元变量间的关系单元变量间的关系单元分析；单元分析；有限元方程的建立有限元方程的建立;关于解、再处理及收敛性关于解、再处理及收敛性.22第一章第一章 弹性力学的基本知识弹性力学的基本知识231.1 弹性力学平面问题的数学提法弹性力学平面问题的数学提法24一、弹性力学的基本假定一、弹性力学的基本假定5 小变形假定。假设物体在载荷或温度变化等因素作用下各点所产生的位移都非常微小，使得各点的应变分量和转角都远小于1。 2 均匀性假定。假设组成物体的材料在物体空间是均匀分布。 4 各向同性假定。假设组成物体的材料在物体空间内每一点沿不同方向的力学性
9、能相同。这样，物体的弹性常数与方向无关。 3 线性弹性假定。1 连续性假定。假设物体所占据的全部几何空间都被组成该物体的介质所充满，没有任何空隙。 25二、弹性力学的基本变量（二、弹性力学的基本变量（体力、面力、位移、应变、应力体力、面力、位移、应变、应力）(1) 体力体力(body force)：分布在物体体积内的力，例如重分布在物体体积内的力，例如重 力和惯性力。力和惯性力。f=(fx，fy，fz)T (3) 位移（位移（ displacement ）：位移就是位置的移动。物体内任位移就是位置的移动。物体内任 意一点的位移，用意一点的位移，用 位移在位移在x，y，z坐标轴上的投影坐标轴上的
10、投影u、v、w表示。表示。 (4) 应变应变(strain)：物体内任意一点的变形，可以用六个应变物体内任意一点的变形，可以用六个应变分量表示。分量表示。 (2) 面力面力(surface force)：分布在物体表面上的力，例如接触分布在物体表面上的力，例如接触压压 力、流体压力。力、流体压力。26 (5) 应力应力(stress)：物体内任意一点的应力状态可以用六个独物体内任意一点的应力状态可以用六个独立立的应力分量来表示的应力分量来表示。二、弹性力学的基本变量（二、弹性力学的基本变量（体力、面力、位移、应变、应力体力、面力、位移、应变、应力）27三、弹性力学两种平面问题三、弹性力学两种平
11、面问题 y几何特点几何特点：等厚薄板等厚薄板。受力特点：板面不受力，受力特点：板面不受力，外力平行于平面且外力平行于平面且 沿厚度均匀分布。沿厚度均匀分布。广义平面应力：有对称平面，薄。表面不受力，广义平面应力：有对称平面，薄。表面不受力，外力对称于中面分布。各量均理解为沿厚度的平外力对称于中面分布。各量均理解为沿厚度的平均值。均值。1. 平面应力问题平面应力问题28y在板面上在板面上在整块板上有在整块板上有 Z方向的应变方向的应变 三、弹性力学两种平面问题三、弹性力学两种平面问题 29几何特点：等截面长柱体，几何特点：等截面长柱体，支承情况不沿长度变化支承情况不沿长度变化 （XY面建某一横截
12、面处）面建某一横截面处）受力特点：柱侧面力及体力无轴向分量受力特点：柱侧面力及体力无轴向分量且沿轴向均匀分布，两端面限制轴向位且沿轴向均匀分布，两端面限制轴向位移。移。三、弹性力学两种平面问题三、弹性力学两种平面问题 2. 平面应变问题平面应变问题30由对称由对称Z方向的应变方向的应变 三、弹性力学两种平面问题三、弹性力学两种平面问题 Z方向的正应力方向的正应力 31四、弹性力学的平面问题基本变量四、弹性力学的平面问题基本变量 位移分量位移分量应变分量应变分量应力分量应力分量8个变量个变量仅是仅是X、Y的函数的函数！对平面应力还有对平面应力还有z z ，w w；对于平面应变有；对于平面应变有z
13、z32五、弹性力学的平面问题数学提法五、弹性力学的平面问题数学提法1. 平衡微分方程平衡微分方程（微团的平衡）f=(fx，f y)T33f=(fx，f y)T平衡微分方程平衡微分方程五、弹性力学的平面问题数学提法五、弹性力学的平面问题数学提法342. 几何方程几何方程 P (u,v)五、弹性力学的平面问题数学提法五、弹性力学的平面问题数学提法35几何方程几何方程应变与位移关系应变与位移关系五、弹性力学的平面问题数学提法五、弹性力学的平面问题数学提法363. 物理方程物理方程：各向同性线弹性体的应力与应变关系：各向同性线弹性体的应力与应变关系E，杨氏模量 ，泊桑比 五、弹性力学的平面问题数学提法
14、五、弹性力学的平面问题数学提法37物理方程：各向同性线弹性体的应力与应变关系物理方程：各向同性线弹性体的应力与应变关系五、弹性力学的平面问题数学提法五、弹性力学的平面问题数学提法38共共8 8个未知函数（仅是个未知函数（仅是 x,y x,y的函数），的函数），8 8个方程。个方程。当按位移求解时，方程化为以位移表示的平衡微分方当按位移求解时，方程化为以位移表示的平衡微分方程。程。 五、弹性力学的平面问题数学提法五、弹性力学的平面问题数学提法39Su上在边界上每点必须提出两个边界条件在边界上每点必须提出两个边界条件4. 边界条件边界条件(1) 位移边界：位移边界：五、弹性力学的平面问题数学提法五
15、、弹性力学的平面问题数学提法40令：五、弹性力学的平面问题数学提法五、弹性力学的平面问题数学提法或或: 力边界条件力边界条件(2) 应力边界条件应力边界条件S 上41(3) 混合边界（略）混合边界（略）五、弹性力学的平面问题数学提法五、弹性力学的平面问题数学提法按位移求解，归结为两个变量，两个方程两个边界条件。按位移求解，归结为两个变量，两个方程两个边界条件。 在沿边界与垂直于边界的两个方向上，若已知一个位移分量在沿边界与垂直于边界的两个方向上，若已知一个位移分量和一个应力分量称为混合边界条件和一个应力分量称为混合边界条件 位移分量位移分量421.2 弹性力学空间问题的数学提法弹性力学空间问题
16、的数学提法43一、基本变量一、基本变量44二、二、 平衡微分方程平衡微分方程弹性力学空间问题的数学提法弹性力学空间问题的数学提法45三、三、 几何方程几何方程 弹性力学空间问题的数学提法弹性力学空间问题的数学提法46四、四、 物理方程物理方程应力与应变的关系应力与应变的关系 其中其中E是杨氏模量，是杨氏模量， 是泊桑比是泊桑比 弹性力学空间问题的数学提法弹性力学空间问题的数学提法47Su上五、边界条件五、边界条件1. 位移边界：位移边界：弹性力学空间问题的数学提法弹性力学空间问题的数学提法2. 应力边界条件应力边界条件S 上或或: 力边界条件力边界条件481.3 弹性力学的一般原理弹性力学的一
17、般原理49虚功原理：对于处于平衡状态的变形体，外力虚功原理：对于处于平衡状态的变形体，外力在虚位移上的虚功等于变形体应力在虚应变上在虚位移上的虚功等于变形体应力在虚应变上的总虚变形功的总虚变形功 。虚功方程虚功方程一、虚功原理一、虚功原理弹性力学的一般原理弹性力学的一般原理虚位移：几何允许的，微小的、任意的虚位移：几何允许的，微小的、任意的虚假的虚假的位移。位移。 50对平面问题，设厚度为对平面问题，设厚度为t t，则虚功方程为，则虚功方程为等价于平衡方程与力边界条件。等价于平衡方程与力边界条件。f=(fx fy)T 弹性力学的一般原理弹性力学的一般原理虚功原理虚功原理虚功方程虚功方程物性无关。物性无关。51二、最小势能原理二、最小势能原理处于平衡状态的弹性体的真解处于平衡状态的弹性体的真解使总势能泛函使总势能泛函取最小值。取最小值。w为应变能密度函数，在线弹性无初应力、初应变时为为应变能密度函数，在线弹性无初应力、初应变时为:对于平面问题对于平面问题 自变函数是位移自变函数是位移最小势能原理等价于平衡方程及力边界条件。最小势能原理等价于平衡方程及力边界条件。弹性力学的一般原理弹性力学的一般原理52
