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1、-2-112345a b x y O 0)(?af0)(?bf0)(?xaf0)(?xbf0)(?xaf0)(?xbf0?x定义定义 一般地, 设函数 f (x) 在点x0附近有定义, 如果对x0附近的所有的点, 都有 )()(0xfxf?我们就说 f (x0)是 f (x) 的一个极大值, 点x0叫做函数 y = f (x)的极大值点. 反之, 若 , 则称 f (x0) 是 f (x) 的一个极小值, 点x0叫做函数 y = f (x)的极小值点. )()(0xfxf? 极小值点、极大值点统称为极值点, 极大值和极小值统称为极值. （1）函数的极值是就函数在某一点附近的小区间）函数的极值是
2、就函数在某一点附近的小区间而言的，在函数的整个定义区间内可能有多个极大值或极小值 （2）极大值不一定比极小值大 （3）可导函数f(x),点是极值点的必要条件是在该是在该 点的导数为0 例：例：y=x3 特别注意：特别注意： (3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查f(x)在方程根左右的值的符号，求出极大值和极小值. 二、二、 求函数f(x)的极值的步骤: (1)(1)求导数f(x); (2)求方程f(x)=0的根 (x为极值点为极值点.) 1.3.3 最大值与最小值 一.最值的概念(最大值与最小值) 新新 课课 讲讲 授授 如果在函数定义域I内存在x0
3、,使得对任意的xI,总有f(x) f(x0), 则称f(x0)为函数f(x)在定义域上的 最大值. 最值是相对函数定义域整体而言的. )(xf? ?ba,1.在定义域内, 最值唯一;极值不唯一; 注意: 2.最大值一定比最小值大. 观察下面函数 y = f (x) 在区间 a , b 上的图象, 回答: (1) 在哪一点处函数 y = f (x) 有极大值和极小值? (2) 函数 y = f (x) 在a,b上有最大值和最小值吗?如果有, 最大值和最小值分别是什么? x1 x2 x3 x4 x5 极大: x = x1 x = x2 x = x3 x = x5 极小: x = x4 )(3max
4、xfy?)(4m inxfy?观察下面函数 y = f (x) 在区间 a , b 上的图象, 回答: (1) 在哪一点处函数 y = f (x) 有极大值和极小值? (2) 函数 y = f (x) 在a,b上有最大值和最小值吗?如果有, 最大值和最小值分别是什么? 极大: x = x1 x = x2 x = x3 极小: a b x y x1 O x2 x3 )(xfy ?)(maxafy?)(1m inxfy?二.如何求函数的最值? (1)利用函数的单调性; (2)利用函数的图象; (3)利用函数的导数; 如:求y=2x+1在区间1,3上的最值. 如:求y=(x2)2+3在区间1,3上的
5、最值. 求函数 y = f (x) 在a,b上的最大值与最小值的步骤如下: (1) 求函数 y = f (x) 在 ( a, b ) 内的极值; (2) 将函数 y = f (x) 的各极值点与端点处的函数值f (a), f (b) 比较, 其中最大的一个是最大值, 最小的一个是最小值. 例1、求函数f(x)=x2-4x+6在区间11，5内的最大值和最小值 解:f (x)=2x- 4 令f(x)=0，即 2x4=0， 得x =2 x 1 （1，2） 2 （2，5） 5 0 - + 3 11 2 故函数f (x) 在区间11，5内的最大值为11，最小值为2 )(xf)(xf ?若函数若函数f(x
6、)在所给的区间I内有唯一的极值，则它是函数的的极值，则它是函数的 最值最值 例2 求函数 在0,3上的最大值与最小值. 4431)(3?xxxf解解: 令 3 , 0, 04)(2?xxxf解得 x = 2 . 所以当 x = 2 时, 函数 f (x)有极小值 .34)2(?f又由于 , 1)3(, 4)0(?ff所以, 函数 4431)(3?xxxf在0,3上的最大值是4, 最小值是 .34?当0x2时，f(x)0; 当20 解: f/(x)=x2-4=(x+2)(x-2) X 0 (0,2) 2 (2,3) 3f/(x) - 0 + f(x) 4 减 极小值f(-2) 增 1 =-43
7、? 当x=0时,f(x)ma x=4 当x=2时,f(x)mi n=-43例2:求函数f(x)=13x3-4x+4-4x+4在在0,30,3上的最大值与最小值上的最大值与最小值P98:P98:练习练习: :练习1 求下列函数的最值: 23(1) ( ) 62; x0,2 (2) ( )27 ;4,4f xxxf xxxx? ? ?解: , 112)( ) 1 (?xxf令 解得 列表: , 0)(?xf.121?xx 0 f (x) )(xf ?+ 单调递增 单调递减 )121,(?),121(?1212449?所以, 当 时, f (x)有极小值 121?x(0)2, (2)20( )049
8、20,2,24fff x?最大值是最小值是又在上.2449)121(?f练习练习1 求下列函数的极值: 解: , 0273)( )2(2?xxf令解得 列表: . 3, 321?xxx (, 3) 3 (3, 3) 3 ( 3, +) 0 0 f (x) )(xf ?+ + 单调递增 单调递减 单调递增 5454?所以, 当 x = 3 时, f (x)有极大值 54 ; 当 x = 3 时, f (x)有极小值 54 . 23(1) ( ) 62; x0,2 (2) ( )27 ;4,4f xxxf xxxx? ? ?( 4)44, (4)44( )4,4,54fff x? ?最大值是54
9、最小值是又在上练习1 求下列函数的极值: 331(3) ( ) 6 12; x- ,3 (4) ( ) 3.2,33f xx xf xxx x? ?解: , 0312)( )3(2?xxf令解得 . 2, 221?xx所以, 当 x = 2 时, f (x)有极小值 10 ; 当 x = 2 时, f (x)有极大值 22 . 1551(), (3)15(),33255,7327fff x?又在上最大值是22 最小值是练习1 求下列函数的极值: 解: , 033)( )4(2?xxf令. 1, 121?xx所以, 当 x = 1 时, f (x)有极小值 2 ; 当 x = 1 时, f (x
10、)有极大值 2 . 331(3) ( ) 6 12; x- ,3 (4) ( ) 3.2,33f xx xf xxx x? ?(2)2,(3)18( )2,3,fff x? ? ?最大值是-2 最小值又在上是-18已知三次函数已知三次函数f(x)=ax3 -6ax2 +b.问是否存在实数问是否存在实数a,b，使使f(x)在-1,2-1,2上取得最大值3，最小值-29,若存在，求出a,b的值；若不存在，请说明理由。 已知三次函数已知三次函数f(x)=ax3 -6ax2 +b.问是否存在实数问是否存在实数a,b，使使f(x)在-1,2-1,2上取得最大值3，最小值-29,若存在，求出a,b的值；若
11、不存在，请说明理由。 作业: 课本 P98: 练习 (写在书上) 课本选修1-1,习题3.3 P99: A6 P110: A6. (写在通 用练习本 上) 选修1-1作业本P52: 3.3.3 函数的最大 (小)值与导数 ( 先完成后检查 ) 函数 ，在1，1上的最小值为( ) A.0 B.2 C.1 D.13/12 A 练练 习习 432111432yxxx?2、函数 （ ） 241xyx?A.有最大值2，无最小值 B.无最大值，有最小值-2 C.最大值为2，最小值-2 D.无最值 3、函数 2( )在（- ,+ )上（ ）f xxcosx?A.是增函数 B.是减函数 C.有最大值 D.最小
12、值 C 例3、 12f xxsinx?求求 ( )在在区区 间间0 ，2 上上 的的最最 值值.解： 最小值是0.是 ,函数f(x)的最大值课本P110:A7解:f(x)=x(x-c)2=x(x2-2xc+c2)=x3-2x2c+xc2? f/(x)=3x2-4cx+c2=(3x-c)(x-c)=3(x-c3)(x-c) X (- ? ,c3) c3 (c3,c) c (c,+ ? ) f/(x) + 0 - 0 + f(x) 增 极大值 减 极小值 增 f(c3) ? X=c3时,f(x)有极大值, ? 由題意可得 X=c3=2? c=6 docin/sanshengshiyuan doc88/sanshenglu 更多精品资源请访问更多精品资源请访问
