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1、第四章第四章 控制系统的传送函数控制系统的传送函数1. 传送函数的概念 传送函数是在拉氏送函数是在拉氏变换的根底上建立起来的一种数的根底上建立起来的一种数学模型，是学模型，是经典控制典控制论中中对线性系性系统进展研展研讨、分析与、分析与综合的重要数学工具。合的重要数学工具。 因此，系统的传送函数就是系统单位脉冲呼应的拉氏变换。定义：初始条件为零时，系统的输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比，称为该系统的传送函数。即 ，特别地，当xi(t)=(t)，亦即Xi(s)=1时，G(s)=Xo(s)2. 传送函数的性质 传送函数是系统本身的固有特性，与输入量的大小及性质无关； 传送函数以简明的数学方式
2、表达了系统的动态模型组成，只需动态性能类似，就可以用类似的传送函数； 传送函数可以有量纲，也可以无量纲； 传送函数是s的有理分式； 普通地普通地, ,传送函数的表达式为传送函数的表达式为3. 典型典型环节传送函数送函数 比例比例环节系统总是由各种元件组成，不论这些元件的属性如何，只需其动态性能类似，就可以用一样的传送函数来表达。假设把系统的元件按其运动方程的方式来分类，就得到各种不同的动态环节。这样，就可以把一个复杂的系统分解为由简单的环节组成，从而方便地建立整个系统的数学模型。凡输出量xo(t)与输入量xi(t)成比例，不失真也不延时的环节，又称P调理器。比例环节运动方程为 xo(t)=kx
3、i(t)，所以比例环节传送函数为k为比例比例环节的增益或称的增益或称为放大系数放大系数例例1 解求一对齿轮传动的传送函数最根本的运算放大器z1z2ni(t)no(t)G(s)=k例例2 eieoR1R2i1i2i3-+aeaKoi1=i2k 运算放大器的闭环增益 微分微分环节例3求图示微分电路的G(s)解凡输出量xo(t)与输入量xi(t)的一阶导数成比例的环节，又称为D调理器。运动方程为因此传送函数为：UiUoi微分环节不能单独存在。G(s)=TS 积分分环节凡凡输出量出量xo(t)xo(t)与与输入量入量xi(t)xi(t)的一次的一次积分成比例的分成比例的环节，又称，又称为I I调理器。
4、理器。运动方程为因此传送函数为：n(t)xo(t)D例4右图为一齿轮齿条传动机构。n(t)为输入转速， xo(t)为线位移。求该传动机构的传送函数。解：根据传动关系有但如以vo(t)表示齿条的挪动速度，那么G(s)=T/S1 1、电阻元件阻元件U(s)=RI(s) ZR=R2、电感元件感元件u(t)=Ri(t)3.电容元件容元件ZC(s) = 1/sCZL=Ls例5以下图是一个由运算放大器组成的积分器，求G(s)。解：uiuoRuci-+CUi(s)Uo(s)Ri-+Zc取拉氏变换 惯性性环节凡能用一凡能用一阶线性微分方程来描画的性微分方程来描画的环节，又称，又称为一一阶环节。运动方程为因此传
5、送函数为：K惯性性环节的增益；的增益；T惯性性环节的的时间常数常数例6求右图电路的G(s)。uiuoiRC解：假设Rcs 1，那么G(s)=1/Rcs=1/Ts例7以下图是运算放大器组成的惯性环节，求该环节的K和T。解：Ui(s)Uo(s)R1i-+ZuiuoR1R2-+CZ=R2Zc=R21/cs = R2 / (R2cs+1) 二二阶环节和振和振荡环节凡能用二凡能用二阶线性微分方程来描画的性微分方程来描画的环节都称都称为二二阶环节。运动方程为两边取拉氏变换得环节的固有频率环节的阻尼比其中，假设01，二阶环节称为振荡环节例7图示是由质量m、阻尼c、弹簧k组成的动力系统.Xi(t)Xo(t)m
6、ck求G(s)依动力平衡原理有 f (t)Xo(t)上例中，假设输入量为外力f (t),那么系统的固有频率和阻尼系数为多少 延延时环节凡凡输出量滞后于出量滞后于输入量一个入量一个时间，但不失真地反映，但不失真地反映输入量入量的的环节。运动方程为 xo (t) = xi (t-)t01xi(t)=1(t)t01t01留意延时环节和惯性环节的区别 比例比例环节xo(t)=kxi(t) 微分微分环节G(s)=TS 积分分环节G(s)=T/S 惯性性环节 二二阶环节和振和振荡环节xo (t) = xi (t-) 延延时环节小小节求右图油缸-阻尼-弹簧系统的传送函数.其中，p为输入，xo为输出。解pcK
7、xoALiRCuiuo求以下图的传送函数ZLI(s)ZUi(S)Uo(S)ZL=LsZ=R/1/cs1. 复合环节概念单一典型一典型环节组合合2. 复合环节传送函数复合复合环节，如，如PI调理器、理器、PD调理器理器 PD PD调理器理器G(s)=Ts+KT时间常数，常数，K比例系数比例系数根据传送函数判别是何种调理器，并求出相应的参数。例例1 KCRUO(s)Ui(s)Uf (s)E(s)以下图是由放大电路组成的PD调理器，求G(s)解例例2 Ui(s)Uo (s)RiZmIf (s)auiuoRiR1iifaR2CubR1I(s)If (s)aR2CUb(s)Uo(s)例3解比例积分环节组
8、成的调理器。 PI PI 调理器理器T时间常数，常数，K比例系数比例系数以下图是由放大电路组成的PI调理器，求G(s)普通来说，采用调理器的控制系统，既能获得较高的静态精度，又具有较快的动态呼应。ui(t)uo (t)RiR1aR2CUi(s)Uo (s)RiZmaZm=(R1+1/cs)R2请先行练习比例、积分、微分环节组成的调理器。 PI D PI D调理器理器R1uOuiR2C1C2ifiRiUi(s)Uo (s)RiZmaR1I(s)If (s)aR2C2Ub(s)Uo(s)C1例4以下图是由放大电路组成的PID调理器，求G(s)R1I(s)If (s)aR2C2Ub(s)Uo(s)C
9、1PID控制的重要性比例比例-积分积分-微分控制规律是工业上最常微分控制规律是工业上最常用的控制规律。人们普通根据比例用的控制规律。人们普通根据比例-积分积分-微分的英文缩写，将其简称为微分的英文缩写，将其简称为PID控制。控制。即使在更为先进的控制规律广泛运用的即使在更为先进的控制规律广泛运用的今天，各种方式的今天，各种方式的PID控制依然在一切控控制依然在一切控制回路中占制回路中占85%以上。以上。 1. 传送函数框图的概念系系统的的动态构造构造图，即用来表达，即用来表达环节及其及其传送函数的方送函数的方块图。以下。以下图表示一个框表示一个框图单元。目的是元。目的是为了了阐明一个明一个环节
10、在系在系统中的作用。中的作用。2. 绘制框图的要点a.方框内只允方框内只允许填写填写传送函数送函数G(s)；b.框框图中的全部中的全部变量量 都是取了拉氏都是取了拉氏变换后的后的变量，要求大写；量，要求大写；c.变量普通置于箭量普通置于箭头的上方，箭的上方，箭头的指向表示信号的流向；的指向表示信号的流向；d.框框图的的联接是按信号流向接是按信号流向进展的，有串展的，有串联、并、并联和反响和反响联接接三种。三种。G(s)Xi(s)Xo(s)3. 框图的联接串联设X1(s)=Xi(s)G1(s), Xo(s)=X1(s) G2(s)那么用框图表示如下G1(s)Xi(s)Xo(s)G2(s)X1(s
11、)对于串联的传送函数Xo(s)=X1(s) G2(s) = G1(s) G2(s) Xi(s) G(s)= G1(s) G2(s) 如一个系统由n各环节串联而成，那么系统的传送函数为并联设X1(s)=Xi(s)G1(s), X2(s)=Xi(s)G2(s), Xo(s)=X1(s) X2(s)那么用框图表示如下Xo(s) = X1(s) X2(s) = Xi(s)G1(s) Xi(s)G2(s) = G1(s) G2(s) Xi(s)对于并联的传送函数G(s)= G1(s) G2(s) G1(s)Xi(s)Xo(s)G2(s)X1(s)X2(s)如一个系统由n各环节并联而成，那么系统的传送函数
12、为各环节传送函数的代数和。假设把并联处都看成相加，那么反响联接反响联接框图如以下图所示E(s) = Xi(s) B(s)Xo(s)= G(s) E(s)B(s)= H(s) Xo(s)由图可知所以对于该闭环系统，传送函数为：“-表示正反响，“+表示负反响控制系统中主要采用负反响，那么G(s)Xi(s)Xo(s)H(s)E(s)+B(s)A单位负反响G(s)Xi(s)Xo(s)H(s)E(s)+B(s)假设在点处将反响回路切断，那么得到以E(s)为输入，B(s)为输出的传送函数Gk(s)，称之为闭环系统的开环传送函数。Gk(s) = H(s)G(s)Gb(s)Xi(s)Xo(s)A4. 框图的变
13、换与化简框图的变换a.分支点挪动规那么G(s)X1(s)X2(s)X3(s)G(s)X1(s)X2(s)X3(s)G(s)G(s)X1(s)X2(s)X3(s)G(s)X1(s)X2(s)X3(s)b.相加点挪动规那么G(s)X1(s)X2(s)X3(s)+G(s)X1(s)X2(s)X3(s)+G(s)G(s)X1(s)X2(s)X3(s)+G(s)X1(s)X2(s)X3(s)+作上述变换后，原来的输入和输出都不变，变换前后的系统框图应等效。框图的化简 规那么为了计算和研讨方便，常要把框图化简。框图化简，主要是根据根本的串联、并联和反响联接进展。但假设有回路交叉，必需先进展移位，消除交叉。
14、a.框图的化简与中间变量无关b.当有多个输入量的线性系统时，可按叠加原理进展化简c.当进展相加点移位时，必需保证各分支点处原来的信号值不变d.当进展分支点移位时，必需保证各相加点处原来的反响信号值不变例1 G1G2G3H2H1Xi(s)Xo(s)+-+-化简框图，求Gb(s)G1G2G3H1Xi(s)Xo(s)+-+-G1 G2G3H1Xi(s)Xo(s)+-+-G3Xi(s)Xo(s)+-+-Xi(s)Xo(s)+-+-+-Xi(s)Xo(s)Xi(s)G1G2G3G4HXi(s)Xo(s)+-例 求Gb(s)G1G2G3G4G3HXi(s)Xo(s)+-例 用框图来表示车削加工过程动力系统knuxuomcfu = uo - xf = Kcu+Bcumx + cx + kx = fU(s)=Uo(s)-X(s)F(s)=(Kc+Bcs)U(s)ms2X(s)+csX(s)+kX(s)=F(s)X(s)=F(s)/( ms2+cs+k)X(s)X(s)- -+U(s)Uo(s)Kc+BcsF(s)1/(ms2+cs+k)
