《高中数学 第一章 立体几何初步 1.2 点、线、面之间的位置关系 1.2.3.2 平面与平面垂直课件 新人教B版必修2》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学 第一章 立体几何初步 1.2 点、线、面之间的位置关系 1.2.3.2 平面与平面垂直课件 新人教B版必修2（36页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第二课时平面与平面垂直1.理解平面与平面垂直的定义.2.通过直观感知、操作确认,归纳出空间中面面垂直的有关判定方法及性质.3.掌握平面与平面垂直的判定定理和性质定理,并能利用以上定理解决空间中的垂直问题.1231.平面与平面垂直的定义如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直,又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直,就称这两个平面互相垂直.1232.平面与平面垂直的判定定理如果一个平面过另一个平面的一条垂线,则两个平面互相垂直.123【做一做1-1】在正方体ABCD-A1B1C1D1中,与平面ACC1A1垂直的平面是()A.平面AA1B1BB.平面BCC1B1C.平面ABCDD.平面A
2、A1D1D解析:因为BDAC,且BDA1A,所以BD平面ACC1A1.又因为BD平面ABCD,所以平面ABCD平面ACC1A1.答案:C123【做一做1-2】在空间四边形ABCD中,若AB=BC,AD=CD,E为对角线AC的中点,下列判断正确的是()A.平面ABD平面BDCB.平面ABC平面ABDC.平面ABC平面ADCD.平面ABC平面BED123解析:如图所示,连接BE,DE,BD.AB=BC,AD=CD,E是AC的中点,BEAC,DEAC.答案:D 1233.平面与平面垂直的性质定理如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面.123【做一做2】设平面平面,
3、且=l,直线a,直线b,且a不与l垂直,b不与l垂直,则a与b()A.可能垂直,不可能平行B.可能平行,不可能垂直C.可能垂直,也可能平行D.不可能垂直,也不可能平行解析:若al,bl,则ab,但a与b不可能垂直.答案:B证明线面垂直、面面垂直的主要方法剖析:(1)证明线面垂直的方法:利用线面垂直的定义;利用推论:ab,ab;利用结论:,aa;利用面面垂直的性质:,=l,a,ala.(2)证明面面垂直的方法:利用定义;利用判定定理:若一个平面经过另一个平面的垂线,则这两个平面互相垂直.归纳总结 关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化,每一种垂直的判定都是从某一种垂直开
4、始转向另一种垂直,最终达到目的,其转化关系如下图所示:题型一题型二题型三题型四题型五【例1】下列命题不正确的是()A.若lm,l,m,则B.若lm,l,m,则C.若,则D.若lm,l,m,则题型一题型二题型三题型四题型五解析:借助于长方体模型找出错误的选项.如图,ABB1C1,AB平面ABCD,B1C1平面A1B1C1D1,但是平面ABCD平面A1B1C1D1,所以B项不正确.答案:B题型一题型二题型三题型四题型五反思 关于位置关系的判断题,如果以选择题的形式出现,通常借助于几何模型利用排除法来解决.题型一题型二题型三题型四题型五【变式训练1】对于直线m,n和平面,能得出的一个条件是()A.m
5、n,m,nB.mn,=m,nC.mn,n,m D.mn,m,n答案:C 题型一题型二题型三题型四题型五分析:图形中的垂直关系较少,不妨考虑利用定义法证明. 题型一题型二题型三题型四题型五证明:取BD的中点为E,连接AE,CE,因为CB=CD=AB=AD,所以AEBD,CEBD.则有BD平面AEC.又因为AC=a,所以AE2+CE2=AC2.所以AECE.又因为AE,CE分别是平面AEC与平面ABD、平面BCD的交线,所以平面ABD平面BCD.题型一题型二题型三题型四题型五反思 利用两个平面互相垂直的定义可以直接判定两个平面垂直,判定的方法是:(1)证明第三个平面与两个相交平面的交线垂直;(2)
6、证明这两个相交平面与第三个平面的交线垂直;(3)根据定义,这两个平面互相垂直. 题型一题型二题型三题型四题型五【变式训练2】在正方体ABCD-A1B1C1D1中,求证:平面ABC1D1平面A1B1CD.证明:如图,平面ABC1D1平面A1B1CD=MN,因为AB平面BCC1B1,而ABMN,所以MN平面BCC1B1.又平面ABC1D1平面BCC1B1=BC1,平面A1B1CD平面BCC1B1=B1C,且BC1B1C.故平面ABC1D1平面A1B1CD.题型一题型二题型三题型四题型五【例3】如图,已知PAO所在的平面,AB是O的直径,C是O上任意一点,求证:平面PAC平面PBC.分析:先证明BC
7、是平面PAC的垂线,再利用面面垂直的判定定理解决.题型一题型二题型三题型四题型五证明:因为AB是O的直径,所以ACBC.又因为PAO所在的平面,BC在O所在的平面内,所以PABC(线面垂直的定义).因为PAAC=A,所以BC平面PAC(线面垂直的判定).又因为BC平面PBC,所以平面PAC平面PBC(面面垂直的判定).题型一题型二题型三题型四题型五反思 利用面面垂直的判定定理证明面面垂直,关键是先证线面垂直,再证线在另一个平面内,最终得到面面垂直.具体方法是:题型一题型二题型三题型四题型五【变式训练3】如图,四边形ABCD是菱形,PC平面ABCD,E是PA的中点,求证:平面BDE平面ABCD.
8、证明:连接AC交BD于点O,连接OE.因为O为AC的中点,E为PA的中点,所以EO是PAC的中位线,EOPC.因为PC平面ABCD,所以EO平面ABCD.又因为EO平面BDE,所以平面BDE平面ABCD.题型一题型二题型三题型四题型五【例4】如图,正方形ABCD所在平面与平面四边形ABEF所在平ABCD.分析:由于已知平面ABEF平面ABCD,它们的交线是AB,因此由面面垂直的性质定理,只须证EAAB,为此应该在平面四边形的长度,利用勾股定理的逆定理证明.题型一题型二题型三题型四题型五证明:设AF=EF=a,则BE=2a.过A作AMBE于点M.AFBE,AMAF.又AFEF,AMEF,四边形A
9、MEF是正方形.AE2+AB2=EB2,AEAB.又平面ABCD平面ABEF,平面ABCD平面ABEF=AB,AE平面ABEF,EA平面ABCD.题型一题型二题型三题型四题型五反思 1.当所给的题目中有面面垂直的条件时,一般要注意是否有垂直于两个平面交线的垂线,如果有,可利用性质定理将面面垂直转化为线面垂直或线线垂直;如果没有,一般需作辅助线,基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线,这样把面面垂直转化为线面垂直或线线垂直.2.应用面面垂直的性质定理时,四个条件缺一不可:“,=l,a,al”.题型一题型二题型三题型四题型五【变式训练4】如图,四棱锥P-ABCD的侧面PAD是正三角形,且垂直于
10、底面ABCD,底面ABCD是矩形,E是PD的中点.求证:平面ACE平面PCD.题型一题型二题型三题型四题型五证明:因为PAD为正三角形,E为PD的中点,所以AEPD.又因为平面PAD平面ABCD,平面PAD与平面ABCD交于AD,DCAD,所以CD平面PAD.所以CDAE.因为AE平面PCD,CDPD=D,所以AE平面PCD.又因为AE平面ACE,所以平面ACE平面PCD.题型一题型二题型三题型四题型五易错点:不理解面面垂直的性质定理而致错【例5】如图,S为ABC所在平面外一点,SA平面ABC,平面SAB平面SBC.求证:ABBC.错解:证明:SA平面ABC,且平面SAB平面SBC,BCSA,
11、BCSB.SASB=S,BC平面SAB.又AB平面SAB,ABBC.题型一题型二题型三题型四题型五错因分析:错解没有理解面面垂直的性质,误认为两个平面垂直,则一个平面内的所有直线都垂直于它们的交线,显然不正确.正解:证明:过点A作AESB,垂足为E,平面SAB平面SBC,且两个平面相交于SB,AE平面SBC,BCAE.SA平面ABC,SABC.又SAAE=A,BC平面SAB.ABBC.123451.给出以下四种说法:如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的一个平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行;如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面;如果两条直线都平
12、行于一个平面,那么这两条直线互相平行;如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直.其中正确的个数是()A.4B.3C.2D.1解析:根据空间中线面平行、垂直的有关性质与判定定理易知错,正确,故选B.答案:B123452.下列结论中,正确的是()垂直于同一条直线的两条直线平行;垂直于同一条直线的两个平面平行;垂直于同一个平面的两条直线平行;垂直于同一个平面的两个平面平行.A.B.C.D.答案:C123453.已知平面平面,=l,则下列命题中错误的是()A.如果直线a,那么直线a必垂直于平面内的无数条直线B.如果直线a,那么直线a不可能与平面平行C.如果直线a,al,那么直线a平
13、面D.平面内一定存在无数多条直线都垂直于平面内的所有直线答案:B123454.经过平面外一点和平面内一点与平面垂直的平面有.解析:当外一点和内一点的连线垂直于平面时,有无数个,否则,只有1个.答案:1个或无数个123455.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,O是正方形ABCD的中心,PO底面ABCD,E是PC的中点.求证:(1)PA平面BDE;(2)平面PAC平面BDE.12345证明:(1)连接OE.因为O是AC的中点,E是PC的中点,所以PAOE.又因为PA平面BDE,OE平面BDE,所以PA平面BDE.(2)因为PO底面ABCD,所以POBD.又因为ACBD,且ACPO=O,所以BD平面PAC.而BD平面BDE,所以平面PAC平面BDE.
