《投影变换课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《投影变换课件（89页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第四讲 投影变换 Projections从三维图形到二维图形的变换7/29/20241投影变换Interactive Computer Graphics-交互式计算机图形学投影的定义n概念：把n 维空间中定义的点变换到小于小于n 维的空间中的变换n3D物体的平面投影：n过投影中心向物体上的各点发出射线(投影线)n投影线与投影平面相交n交点构成物体的投影7/29/20242投影变换Interactive Computer Graphics-交互式计算机图形学投影分类投影中心与投影平面的距离是 有限的 无限的 ABAB 投影中心投影中心投影线投影线投影平面投影平面ABAB投影中心投影中心投影线投影
2、线投影平面投影平面n平行投影n透视投影7/29/20243投影变换Interactive Computer Graphics-交互式计算机图形学两种投影方式的比较n共同点：投影中心落在无穷远点的透视投影即变为平行投影 n不同点： n透视投影的结果看起来真实感强n透视投影不能忠实体现物体的形状及尺寸距离、角度、平行关系发生在投影前后发生变化7/29/20244投影变换Interactive Computer Graphics-交互式计算机图形学平面几何投影的分类平面几何投影平行投影 透视投影 正平行投影斜平行投影 顶视图 (俯视图)前视图侧视图轴测平行投影(Axonometric)等轴测平行投影
3、(Isometric)其它其它斜二测(Cabinet)斜等测(Cavalier) 一点透视One-point三点透视Three-point二点透视Two-point投影平面& 投影方向投影平面& 投影中心7/29/20245投影变换Interactive Computer Graphics-交互式计算机图形学透视投影n定义：n投影中心与投影平面距离为有限远（此时投影线汇聚于投影中心）n特点：n真实感强n近大远小n平行线经投影后汇聚于一点灭点：任何一束不平行于投影平面的平行线的透视投影（或其延长线）将汇聚于一点，称为灭点。7/29/20246投影变换Interactive Computer Gr
4、aphics-交互式计算机图形学续：n主灭点n由平行于坐标轴的平行线对应的灭点称为主灭点n分类：一点透视；两点透视；三点透视投影7/29/20247投影变换Interactive Computer Graphics-交互式计算机图形学例：一点透视投影例：一点透视投影立方体投影到垂直于z 坐标轴的投影平面上xzy投影中心投影平面法向投影平面7/29/20248投影变换Interactive Computer Graphics-交互式计算机图形学xyz111ABCDEFGH立方体的1点透视投影(a)立方体 xy0.51.01.50.51.01.5ABCDHFEG(b)立方体的投影续：7/29/20
5、249投影变换Interactive Computer Graphics-交互式计算机图形学更多投影举例在XZ平面上的投影在Y+Z=1平面上的投影灭点的多少影响到反映信息的多少等轴测投影7/29/202410投影变换Interactive Computer Graphics-交互式计算机图形学透视投影变换计算n例：投影中心：投影平面：XOY求点的投影点得：解方程组：7/29/202411投影变换Interactive Computer Graphics-交互式计算机图形学续：n上述投影变换写成齐次坐标形式：7/29/202412投影变换Interactive Computer Graphics
6、-交互式计算机图形学续：n特殊地，令透视投影变换矩阵7/29/202413投影变换Interactive Computer Graphics-交互式计算机图形学平行投影 n分为两类：n正平行投影：投影方向与投影平面的法向平行n斜平行投影：投影方向与投影平面的法向不平行S 透视投影S正平行投影(Orthographic projections)S斜平行投影(Oblique projections)7/29/202414投影变换Interactive Computer Graphics-交互式计算机图形学是最常用的正平行投影图正视图：物体在YZ平面上的投影，也称为前立面图侧视图：物体在XZ平面上的
7、投影，也称为侧立面图俯视图：物体在XY平面上的投影，也称为平面图三视图正视图俯视图侧视图投影方向投影方向平面zxy7/29/202415投影变换Interactive Computer Graphics-交互式计算机图形学轴测平行投影n轴测平行投影：投影平面不与坐标轴垂直的正平行投影 yzx120120120n等轴测平行投影n 最常用的轴测平行投影n 投影平面的法向与各个坐标轴的夹角都相等(有8种选择) zyx(l, -l, -l) 7/29/202416投影变换xzyOxzyOxzyOxzyOxzyOxzyO(a)等轴测投影面与三个坐标轴间的夹角都相等(b)正二测投影面与两个坐标轴间的夹角相
8、等(c)正三测投影面与各坐标轴间的夹角都不相等例：投影平面及其对应的立方体投影投影平面投影平面投影平面7/29/202417投影变换Interactive Computer Graphics-交互式计算机图形学投影的计算n平面几何投影：投影线与投影平面求交zydP(x, y, z)xPp(xp, yp, d)投影平面7/29/202418投影变换Interactive Computer Graphics-交互式计算机图形学续：投影线OP的参数方程: 投影线OP与投影平面z=d的交点 :zydP(x, y, z)xPp(xp, yp, d)投影平面一般形式：ax+by+cz+d=07/29/20
9、2419投影变换Interactive Computer Graphics-交互式计算机图形学续：n使用齐次坐标表示： (xd/z, yd/z, d) (x, y, z, z/d)n变换的矩阵表达式7/29/202420投影变换Interactive Computer Graphics-交互式计算机图形学续：n例：正平行投影变换n投影平面: z = 0. n投影方向：(0, 0, -1)Mort对比Mper7/29/202421投影变换Interactive Computer Graphics-交互式计算机图形学斜平行投影n定义：n数学描述n投影平面：ax+by+cz+d=0n投影方向是：7/
10、29/202422投影变换Interactive Computer Graphics-交互式计算机图形学斜平行投影特点 是正平行投影的一般化：投影方向与投影平面成一定夹角时的平行投影广泛应用的原因在于：n结合了正(三)视图与轴测投影图的特点，当投影平面与坐标轴垂直：n物体上平行于投影平面的表面测量信息（距离、角度）在投影后得以保持n针对其它表面的投影，平行于坐标轴的测量距离可以保持，角度不能保持n易画7/29/202423投影变换Interactive Computer Graphics-交互式计算机图形学斜等测 (Cavalier) 投影n投影方向与投影平面成45 夹角n垂直于投影平面的线段
11、长度在投影后得以保持。 xyz11145 投影平面 投影方向xyz307/29/202424投影变换Interactive Computer Graphics-交互式计算机图形学斜二测(Cabinet) 投影 n投影方向与投影平面的夹角为：arctan(2) = 63.4n垂直于投影平面的线段在投影后的长度为实际长度的 1/2n较斜等测投影的真实感略强。xyz11/2145xyz30 投影平面投影方向7/29/202425投影变换Interactive Computer Graphics-交互式计算机图形学斜平行投影的计算（1）过被投影点的投影线参数方程为：与下述投影平面方程联立求解：方程组的
12、解即为所求投影点。投影线与投影平面的交即为所求7/29/202426投影变换Interactive Computer Graphics-交互式计算机图形学斜平行投影的计算（2）注：因投影方向不与投影平面平行故分母不为零则方程组有解：7/29/202427投影变换Interactive Computer Graphics-交互式计算机图形学斜平行投影的计算（3）n变形为：斜平行投影矩阵7/29/202428投影变换Interactive Computer Graphics-交互式计算机图形学斜平行投影的计算（4） 特殊地，当a=b=c=1，d=0，投影方向是（1，1，1）时，对应斜平行投影图称为
13、等轴测图，变换矩阵是：显然，等轴测投影是正平行投影，是斜平行投影的特例。Z0XX7/29/202429投影变换Interactive Computer Graphics-交互式计算机图形学关于深度关系n投影损失了模型信息，可能导致显示形体的歧义。弥补的方法之一是添加深度信息，使同一平面上的线框中各段具有前后关系。n实现方法：n调节明暗度：近亮远暗n标识可见线面：用不同颜色或不同线型7/29/202430投影变换Interactive Computer Graphics-交互式计算机图形学小结n平面几何投影n透视投影n平行投影：正平行投影&斜平行投影n投影计算：投影线与投影平面的交点投影线与投影
14、平面的交点投影线与投影平面的交点投影线与投影平面的交点n透视投影投影线：投影中心与投影点的连线投影矩阵： Mpern平行投影投影线：沿投影方向过投影点的直线投影矩阵： Mort7/29/202431投影变换Interactive Computer Graphics-交互式计算机图形学第五节 三维物体显示将三维空间中的景物在二维屏幕上显示的过程7/29/202432投影变换Interactive Computer Graphics-交互式计算机图形学3D 显示过程的概念图在视见体(view volume) 定义下进行裁剪投影(Project) 到投影平面上变换到2D设备坐标系下的视图区中以备显示
15、3D世界坐标系下的输出图元世界坐标系下的裁剪2D设备坐标系下的图元 3D显示过程的概念模型图2D世界坐标系7/29/202433投影变换Interactive Computer Graphics-交互式计算机图形学名词解释（1）对应图形学相关文献中的用语：n视平面(view plane)：即投影平面n观察参考点(view reference point: VRP)视平面上一点n视平面法向(view-plane normal: VPN)垂直于视平面的矢量nview-planeVPNVRP7/29/202434投影变换Interactive Computer Graphics-交互式计算机图形学名
16、词解释（2）nVUPview-planeVPNVRPvu观察参考坐标系：viewing-reference coordinate (VRC) system v 坐标原点：通常定义为VRPv 坐标轴的定义：v n-轴 : VPNv v-轴: 视平面上的指定向量 v u-轴: u= n v7/29/202435投影变换Interactive Computer Graphics-交互式计算机图形学名词解释（3）n视平面上的窗口：n一个界定映射到视图区的物体部分的矩形区域nvuVPNView planeVRP(umin, vmin)(umax, vmax)CWn定义方式：n在VRC坐标系下定义n沿与坐
17、标轴平行的方向定义窗口的最小、最大坐标值n无需关于VRP对称n窗口中心记为: CW 7/29/202436投影变换Interactive Computer Graphics-交互式计算机图形学注记：不同坐标表示可带来1.表示上的简化2.计算上的便利7/29/202437投影变换Interactive Computer Graphics-交互式计算机图形学续n不同坐标系之间变换的实现（1）定义新坐标系 （2）平移变换 （3）旋转变换 （4）错切变换 （5）缩放变换7/29/202438投影变换Interactive Computer Graphics-交互式计算机图形学观察变换n完成工作：n在世
18、界坐标系下定义出观察参考坐标系，并推导世界坐标系到观察参考坐标系的变换矩阵。n实现步骤：n定义观察参考坐标系n世界坐标系变换到观察参考坐标系7/29/202439投影变换Interactive Computer Graphics-交互式计算机图形学观察坐标系的定义（1）n坐标原点：用户指定的观察点作为观察坐标系原点，记为通常可令nZ坐标轴：用户指定的观察平面法向作为Z坐标轴，记为7/29/202440投影变换Interactive Computer Graphics-交互式计算机图形学观察坐标系的定义（2）n在指定的观察平面上选择向上观察向量（只需不与N方向平行即可），记为：令：再令：显然U同
19、时垂直于N和V矢量。则U、V、N两两垂直。令：定义Ouvn为观察坐标系（左手坐标系）。ZwYwOWXwnuvOe7/29/202441投影变换Interactive Computer Graphics-交互式计算机图形学观察坐标系的定义（3）n定义如图所示ZwYwOWXwnuvOe7/29/202442投影变换Interactive Computer Graphics-交互式计算机图形学世界坐标系到观察坐标系的变换n等价于建模变换过程n引入观察坐标系记号：变换矩阵：7/29/202443投影变换Interactive Computer Graphics-交互式计算机图形学名词解释（4）n投影参
20、数：投影中心(COP)及投影方向(DOP) n由 投影参考点projection reference point (PRP)及投影类型确定n透视投影：投影参考点PRP 指的就是投影中心COPn平行投影：DOP 是指投影参考点PRP 到窗口中心 CW (通常不会是VRP)的连线7/29/202444投影变换Interactive Computer Graphics-交互式计算机图形学名词解释（5）n视见体(view volume):界定裁剪范围n也称为投影空间透视投影的视见体是：半无穷的锥体，如下图。nvuVPN视平面VRPCWPRP7/29/202445投影变换Interactive Comp
21、uter Graphics-交互式计算机图形学续：nVPN视平面VRPCWPRPDOP正平行投影的视见体是：无穷长的正四棱柱7/29/202446投影变换Interactive Computer Graphics-交互式计算机图形学续：nVPN视平面VRPCWPRPDOP斜平行投影的视见体是：无穷长的斜四棱柱7/29/202447投影变换Interactive Computer Graphics-交互式计算机图形学视见体有限化前截面 & 后截面(hither plane & yon planes)n平行于视平面以VPN为法向的两个平面n分别由相对于VRP沿VPN的前截距(F)和后截距(B)定义
22、nFB 7/29/202448投影变换Interactive Computer Graphics-交互式计算机图形学透视投影视见体FBVPN前截面视平面 后截面7/29/202449投影变换Interactive Computer Graphics-交互式计算机图形学正平行投影的视见体FBVPNDOP 前截面视平面 后截面7/29/202450投影变换Interactive Computer Graphics-交互式计算机图形学斜平行投影的视见体FBVPN 前截面视见体 后 截面DOPVRP7/29/202451投影变换Interactive Computer Graphics-交互式计算机图
23、形学投影空间（视见体）的确定n定义观察坐标系的XOY平面为观察平面观察体也称为观察空间、投影空间、视见体n在观察平面指定观察窗口n根据观察窗口的边框及投影线设置观察体n指定投影方向（平行投影）或投影中心（透视投影）7/29/202452投影变换Interactive Computer Graphics-交互式计算机图形学投影空间的规范化n为提高投影变换的计算效率例如：由下式定义的平行投影视见体计算效率高:x = -1, x =1, y = -1, y =1, z = 0, z = -1 n分治法：投影空间的规范化n平行投影空间的规范化n透视投影空间的规范化7/29/202453投影变换Inte
24、ractive Computer Graphics-交互式计算机图形学规范化的视见体x or y -z-1-11前截面后截面x or y -1-11前截面后截面-z平行投影:规范化正棱柱x = -1, x = 1, y = -1y = 1, z = 0, z = -1 透视投影:规范化正棱台x = z, x = - z, y = zy = -z, z = -zmin, z = -1 7/29/202454投影变换Interactive Computer Graphics-交互式计算机图形学平行投影空间的规范化（1）XYZXYZ7/29/202455投影变换Interactive Compute
25、r Graphics-交互式计算机图形学平行投影空间的规范化（2）n引入记号：7/29/202456投影变换Interactive Computer Graphics-交互式计算机图形学平行投影空间的规范化（3）n变换1：平移使窗口中心与坐标原点重合。uvnuvn7/29/202457投影变换Interactive Computer Graphics-交互式计算机图形学平行投影空间的规范化（4）n变换2：关于Z轴的错切变换使投影方向与Z轴重叠uvun7/29/202458投影变换Interactive Computer Graphics-交互式计算机图形学平行投影空间的规范化（5）7/29/2
26、02459投影变换Interactive Computer Graphics-交互式计算机图形学平行投影空间的规范化（6）n变换3：平移及比例变换：使7/29/202460投影变换Interactive Computer Graphics-交互式计算机图形学平行投影空间的规范化（7）n变换4：比例变换使7/29/202461投影变换Interactive Computer Graphics-交互式计算机图形学平行投影空间的规范化（8）n上述变换复合得到：其中WSU,WSV分别为窗口的半边长。7/29/202462投影变换Interactive Computer Graphics-交互式计算机图
27、形学平行投影空间的规范化（9）n经上述变换作用后，观察坐标系下的指定平行投影变换效果将等价于在规格化投影空间中进行正平行投影变换。n平行投影规范视见体7/29/202463投影变换Interactive Computer Graphics-交互式计算机图形学透视投影空间的规范化（1）n目的：n使不同条件下的透视投影可统一为正平行投影n规规范步骤：n变换为规格化的正棱台n 变换为规格化平行投影空间7/29/202464投影变换Interactive Computer Graphics-交互式计算机图形学透视投影空间的规范化（2）XYZ7/29/202465投影变换Interactive Comp
28、uter Graphics-交互式计算机图形学7/29/202466投影变换Interactive Computer Graphics-交互式计算机图形学透视投影空间的规范化（3）n引入记号：7/29/202467投影变换Interactive Computer Graphics-交互式计算机图形学透视投影空间的规范化（4）n变换1：平移使投影中心与坐标原点重合7/29/202468投影变换Interactive Computer Graphics-交互式计算机图形学透视投影空间的规范化（5）n变换1以后的投影空间参数：7/29/202469投影变换Interactive Computer G
29、raphics-交互式计算机图形学透视投影空间的规范化（6）n变换2：错切使投影参考点与窗口中心连线与Z轴重合nuun在un平面上的错切效果示例图7/29/202470投影变换Interactive Computer Graphics-交互式计算机图形学透视投影空间的规范化（7）n错切变换应使窗口中心由7/29/202471投影变换Interactive Computer Graphics-交互式计算机图形学透视投影空间的规范化（8）n推导出错切变换矩阵7/29/202472投影变换Interactive Computer Graphics-交互式计算机图形学透视投影空间的规范化（9）n变换2
30、后的投影空间参数：7/29/202473投影变换Interactive Computer Graphics-交互式计算机图形学透视投影空间的规范化（10）n变换3：缩放变换使投影空间规范化7/29/202474投影变换Interactive Computer Graphics-交互式计算机图形学透视投影空间的规范化（11）n上述变换复合为：此时，投影空间为规范化正棱台透视投影规范视见体7/29/202475投影变换Interactive Computer Graphics-交互式计算机图形学透视变换n上述正棱台可以经过透视变换成为正棱住：放大前截面：nmin-1。等价于把投影中心移到无穷远处，
31、使前后截面大小相等。透视变换使得透视变换使得透视投影的规范视见体透视投影的规范视见体变换为变换为平行投影规范视见体平行投影规范视见体。7/29/202476投影变换Interactive Computer Graphics-交互式计算机图形学在正规投影空间下的三维裁剪n规范化平行投影空间n二维空间的裁剪算法的推广n例：空间线段的编码裁剪算法。n使用齐次坐标7/29/202477投影变换Interactive Computer Graphics-交互式计算机图形学空间线段的裁剪n编码法：扩展Cohen-Sutherland算法采用6位外码：第1位点在视见体的上面y1第2位点在视见体的下面y1第4
32、位点在视见体的左面x-1第5位点在视见体的后面z07/29/202478投影变换Interactive Computer Graphics-交互式计算机图形学续：分别记线段端点P1，P2的编码为code1，code2n当code1=000000且code2=000000，接受直线P1P2;n当code1&code2！=000000，拒绝P1P2；n否则进行线段分割，最多进行6次分割：例：平面y=1与P1P2相交：由于采用了编码方法，参数t的取值范围无需进行测试7/29/202479投影变换Interactive Computer Graphics-交互式计算机图形学续nLiang-Barsky
33、算法的扩展7/29/202480投影变换Interactive Computer Graphics-交互式计算机图形学 续：7/29/202481投影变换Interactive Computer Graphics-交互式计算机图形学在齐次坐标系中裁剪n平行投影规范视见体下的裁剪坐标系：OXYZW W=1三维规范化视见体的坐标表示：在齐次坐标系下的裁剪与原坐标系的裁剪结果一致7/29/202482投影变换Interactive Computer Graphics-交互式计算机图形学续：n透视投影情况下的裁剪n透视投影规范视见体经过透视变换变换为平行投影规范视见体坐标系：OXYZW 区别：W0 W
34、0n规范视见体对应的表面方程随w取值不同而不同n裁剪必须在齐次坐标系下完成，以保证结果的正确性。7/29/202483投影变换Interactive Computer Graphics-交互式计算机图形学续：n例：结论：在区域A和区域B内的裁剪都是必要的。X=WX=-W7/29/202484投影变换Interactive Computer Graphics-交互式计算机图形学续：n裁剪效率的提高：n分别对区域A和区域B进行两次裁剪代价高n方案1：对区域B中的点乘以-1在区域A中进行裁剪n方案2：。7/29/202485投影变换Interactive Computer Graphics-交互式计
35、算机图形学正平行投影变换n经上述变换过程，指定投影变换等价于在规范化投影空间下的正平行投影效果。7/29/202486投影变换Interactive Computer Graphics-交互式计算机图形学投影变换实现过程n指定投影方向（平行投影）或投影中心（透视投影）n定义投影空间（视见体）n投影空间（视见体）的规范化n正规投影空间（视见体）下的三维裁剪n正平行投影7/29/202487投影变换Interactive Computer Graphics-交互式计算机图形学小结：三维显示流程7/29/202488投影变换Interactive Computer Graphics-交互式计算机图形学本章小结n二维几何变换n二维显示流程n三维几何变换n投影变换n三维观察流程7/29/202489投影变换
