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1、定积分定积分-4-4-应用应用南开大学 高等数学 (信息类) 主讲人: 王秀玲一、定积分的元素法一、定积分的元素法( (微元法微元法) )回顾回顾: 曲边梯形求面积的问题曲边梯形求面积的问题abxyo 曲边梯形由连续曲线y=f(x)(f(x)0) 、 x轴与两条直线x=a x=b 所围成.面积表示为定积分的步骤如下:1)把区间a,b分成n个长度为的小区间,相应的曲边梯形被分为n个小窄曲边梯形,第i个小窄 曲边梯形的面积为y=f(x)南开大学 高等数学 (信息类) 主讲人: 王秀玲南开大学 高等数学 (信息类) 主讲人: 王秀玲南开大学 高等数学 (信息类) 主讲人: 王秀玲南开大学 高等数学
2、(信息类) 主讲人: 王秀玲南开大学 高等数学 (信息类) 主讲人: 王秀玲南开大学 高等数学 (信息类) 主讲人: 王秀玲南开大学 高等数学 (信息类) 主讲人: 王秀玲例例1. 求由曲线所围成的平面图形的面积(P-232-例4.1) . 解解: 以面积元素在0,2上作定积分南开大学 高等数学 (信息类) 主讲人: 王秀玲2。0y x例例2.2.444解方程组解方程组:得交点:得交点:(8, 4)(8, 4), (2,2) (2,2)问题:选谁为积分变量?问题:选谁为积分变量?选y为积分变量面积元素y选择积分变量的原则:积分容易计算; 尽量少分割区域.南开大学 高等数学 (信息类) 主讲人:
3、 王秀玲例例3. 求椭圆解解: 利用对称性 , 所围图形的面积 . (P-234例4.4)有利用椭圆的参数方程应用定积分换元法得当 a = b 时得圆面积公式南开大学 高等数学 (信息类) 主讲人: 王秀玲一般地 , 当曲边梯形的曲边由参数方程 给出时,则曲边梯形面积南开大学 高等数学 (信息类) 主讲人: 王秀玲练习:练习:求由摆线的一拱与 x 轴所围平面图形的面积 .解解:Oyx南开大学 高等数学 (信息类) 主讲人: 王秀玲 ( )d o +d r =r( )元素法元素法1 取极角取极角 为积分变量,为积分变量, 其变化区间为其变化区间为 , 以圆扇形面积近似小曲边扇形面积,得到面积元素:. 曲边扇形的面积曲边扇形的面积dAA3 作定积分作定积分.r 极坐标系情形极坐标系情形南开大学 高等数学 (信息类) 主讲人: 王秀玲例例4. 求如图所示区域D的面积,解解:圆弧ABCO 的极坐标方程:南开大学 高等数学 (信息类) 主讲人: 王秀玲例例5. 解解: 图形与y轴对称,只需求右半部分,解方程组 南开大学 高等数学 (信息类) 主讲人: 王秀玲练习练习. . 计算心形线所围图形的面积 . 解解: :(利用对称性)2a南开大学 高等数学 (信息类) 主讲人: 王秀玲练习练习. 计算心形线与圆所围图形的面积 . 解解: 利用对称性 , 所求面积