《2019届高考数学二轮复习 第二篇 专题通关攻略 专题8 函数与导数 2.8.5 导数与不等式及参数范围问题课件.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019届高考数学二轮复习 第二篇 专题通关攻略 专题8 函数与导数 2.8.5 导数与不等式及参数范围问题课件.ppt（107页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第5课时导数与不等式及参数范围问题热点考向一利用导数研究函数的零点热点考向一利用导数研究函数的零点考向剖析考向剖析: :本考向考题的形式以解答题为主本考向考题的形式以解答题为主, ,主要考查主要考查利用导数确定某些高次式、指数式、对数式及绝对值利用导数确定某些高次式、指数式、对数式及绝对值式结构的函数的零点或方程根的个数式结构的函数的零点或方程根的个数, ,或者依据它们的或者依据它们的零点或方程根的存在情况求参数的值零点或方程根的存在情况求参数的值( (或取值范围或取值范围) )等等问题问题, ,以解答题为主以解答题为主. .处理这类问题的方法灵活处理这类问题的方法灵活, ,对考生对考生的数学
2、运算、逻辑推理等核心素养要求较高的数学运算、逻辑推理等核心素养要求较高, ,选拔功能选拔功能突出突出,2019,2019年考查热度或将延续年考查热度或将延续. .【典例典例1 1】设函数设函数f(x)=xf(x)=x2 2-a(ln x+1)(a0).-a(ln x+1)(a0).(1)(1)证明证明: :当当a a 时时,f(x)0.,f(x)0.(2)(2)判断函数判断函数f(x)f(x)有几个不同的零点有几个不同的零点, ,并说明理由并说明理由. .【审题导引审题导引】(1)(1)要证明要证明f(x)0,f(x)0,只需证明只需证明_,_,根据函数单调性求出根据函数单调性求出_,_,证明
3、其在证明其在0a 0a 时恒时恒大于等于大于等于0 0即可即可. .(2)(2)要判断函数要判断函数f(x)f(x)的零点的个数的零点的个数, ,结合结合(1)(1)需分需分_,_,三种情况进行分类讨论三种情况进行分类讨论. .f(x)f(x)minmin00f(x)f(x)minmina= ,0aa= ,0a【解析解析】(1)(1)函数的定义域为函数的定义域为(0,+),(0,+),令令f(x)=2x- = =0,f(x)=2x- = =0,则则x= ,x= ,所以当所以当x x 时时,f(x)0,f(x)0,f(x)0,所以所以f(x)f(x)的最小值为的最小值为 当当0a 0a 时时,l
4、n +1ln +1=0,ln +1ln +1=0,所以所以 所以所以f(x)0f(x)0成立成立. .(2)(2)当当a= a= 时时, ,由由(1)(1)得得,f(x)=x,f(x)=x2 2- (ln x+1)- (ln x+1)的最的最小值为小值为f =0,f =0,即即f(x)=xf(x)=x2 2- (ln x+1)- (ln x+1)有唯一的零点有唯一的零点x= ;x= ;当当0a 0a0,0,即即f(x)=xf(x)=x2 2-a(ln x+1)-a(ln x+1)不存在不存在零点零点; ;当当a a 时时,f(x),f(x)的最小值的最小值 0,0,0,所以函数所以函数f(x)
5、f(x)在在 上有唯一上有唯一的零点的零点, ,又当又当a a 时时,a ,f(a)=a,a ,f(a)=a2 2-a(ln a+1)=a(a-ln a-1),-a(ln a+1)=a(a-ln a-1),令令g(a)=a-ln a-1,g(a)=1- = ,g(a)=a-ln a-1,g(a)=1- = ,g(a)=0,g(a)=0,得得a=1,a=1,可知可知g(a)g(a)在在 上递减上递减, ,在在(1,+)(1,+)上递增上递增, ,所以所以g(a)g(1)=0,g(a)g(1)=0,所以所以f(a)0,f(a)0,所以函数所以函数f(x)f(x)在在 上有唯一的零点上有唯一的零点,
6、 ,所以所以, ,当当a a 时时,f(x),f(x)有有2 2个不同的零点个不同的零点, ,综上所述综上所述,当当a= a= 时时, ,有唯一的零点有唯一的零点;当当0a 0a a 时时, ,有有2 2个不同的零点个不同的零点. .【名师点睛名师点睛】(1)(1)对于函数零点的个数的相关问题对于函数零点的个数的相关问题, ,利用导数和数形利用导数和数形结合的数学思想来求解结合的数学思想来求解, ,这类问题求解的通法是这类问题求解的通法是: :构造函数构造函数, ,这是解决此类问题的关键点和难点这是解决此类问题的关键点和难点, ,并求并求其定义域其定义域;求导数求导数, ,得单调区间和极值点得
7、单调区间和极值点;画出函数画出函数草图草图;数形结合数形结合, ,挖掘隐含条件挖掘隐含条件, ,确定函数图象与确定函数图象与x x轴轴的交点情况的交点情况, ,进而求解进而求解. .(2)(2)研究方程的根的情况研究方程的根的情况, ,可以通过导数研究函数的单可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等调性、最大值、最小值、变化趋势等, ,并借助函数的大并借助函数的大致图象判断方程的根的情况致图象判断方程的根的情况, ,这是导数这一工具在研究这是导数这一工具在研究方程中的重要应用方程中的重要应用. .【考向精练考向精练】1.1.已知函数已知函数f(x)=ef(x)=ex x-2,-
8、2,其中其中e2.718 28e2.718 28是自然对数是自然对数的底数的底数. .(1)(1)证明证明: :当当x0x0时时,f(x)x-1ln x.,f(x)x-1ln x.(2)(2)设设m m为整数为整数, ,函数函数g(x)=f(x)-ln x-mg(x)=f(x)-ln x-m有两个零点有两个零点, ,求求m m的最小值的最小值. .【解析解析】(1)(1)设设h(x)=eh(x)=ex x-x-1,-x-1,则则h(x)=eh(x)=ex x-1,-1,令令h(x)=0,h(x)=0,得得x=0,x=0,当当x(-,0)x(-,0)时时,h(x)0,h(x),h(x)0,h(x
9、),h(x)0,h(x)单调递增单调递增, ,所以所以h(x)h(0)=0,h(x)h(0)=0,当且仅当当且仅当x=0x=0时取等号时取等号, ,所以对任意所以对任意xR,exR,ex xx+1,x+1,所以当所以当x0x0时时,f(x)x-1,f(x)x-1,所以当所以当x-1x-1时时,xln(x+1),xln(x+1),所以当所以当x0x0时时,f(x)x-1ln x.,f(x)x-1ln x.(2)(2)函数函数g(x)g(x)的定义域为的定义域为(0,+),(0,+),当当m0m0时时, ,由由(1)(1)知知,g(x)=e,g(x)=ex x-ln x-2-m-m0,-ln x-
10、2-m-m0,故故g(x)g(x)无零点无零点; ;当当m=1m=1时时,g(x)=e,g(x)=ex x-ln x-3,g(x)=e-ln x-3,g(x)=ex x- ,- ,因为因为g(1)=e-10,g = -20,g = -20,且且g(x)g(x)为为(0,+)(0,+)上的增函数上的增函数, ,所以所以g(x)g(x)有唯一的零点有唯一的零点x x0 0 , ,当当x(0,xx(0,x0 0) )时时,g(x)0,g(x),g(x)0,g(x),g(x)0,g(x)单调递增单调递增, ,所以所以g(x)g(x)的最小值为的最小值为g(xg(x0 0)= -ln x)= -ln x
11、0 0-3,-3,由由x x0 0为为g(x)g(x)的零点知的零点知, - =0, - =0,于是于是 = ,x= ,x0 0= =-ln x-ln x0 0, ,所以所以g(x)g(x)的最小值的最小值g(xg(x0 0)=x)=x0 0+ -3.+ -3.由由x x0 0 知知,x,x0 0+ -30,+ -30,即即g(xg(x0 0)0,)0,g = +2ln 3-30,-ln 2-30,g = +2ln 3-30,所以所以g(x)g(x)在在 上有一个零点上有一个零点, ,在在(x(x0 0,2),2)上有一个零点上有一个零点, ,所以所以g(x)g(x)有两个零点有两个零点, ,
12、综上所述综上所述,m,m的最小值为的最小值为1.1.2.(20182.(2018佛山一模佛山一模) )已知函数已知函数f(x)=(xf(x)=(x2 2-ax)ln x+-ax)ln x+ x x2 2( (其中其中aR),aR),世纪金榜导学号世纪金榜导学号(1)(1)若若a0,a0,讨论函数讨论函数f(x)f(x)的单调性的单调性. .(2)(2)若若a0,a0,求证求证: :函数函数f(x)f(x)有唯一的零点有唯一的零点. .【解析解析】(1)f(x)(1)f(x)的定义域为的定义域为(0,+),f(x)=(2x-(0,+),f(x)=(2x-a)ln x+(xa)ln x+(x2 2
13、-ax) +x=(2x-a)ln x+2x-a=(2x-a)(1+-ax) +x=(2x-a)ln x+2x-a=(2x-a)(1+ln x),ln x),令令f(x)=0,f(x)=0,即即(2x-a)(1+ln x)=0(2x-a)(1+ln x)=0x x1 1= ,x= ,x2 2= ,= ,当当x x1 1=x=x2 2, ,即即 = ,a= = ,a= 时时,f(x)0,f(x),f(x)0,f(x)是是(0,+)(0,+)上的增函数上的增函数; ;当当x x1 1xx2 2, ,即即 ,0a ,0a0,f(x),f(x)0,f(x)单调递增单调递增, ,当当x x 时时,f(x)
14、0,f(x),f(x)0,f(x),f(x)0,f(x)单调递增单调递增; ;当当x x2 2x0,f(x)0,f(x)f(x)单调递增单调递增; ;当当x x 时时,f(x)0,f(x),f(x)0,f(x),f(x)0,f(x)单调递增单调递增; ;综上所述综上所述, ,当当0a 0a a 时时,f(x),f(x)在在 单调递增单调递增, ,在在 单调递减单调递减. .(2)(2)若若a0,a0,令令f(x)=0,f(x)=0,即即(2x-a)(1+ln x)=0,(2x-a)(1+ln x)=0,得得x= ,x= ,当当x x 时时,f(x)0,f(x),f(x)0,f(x),f(x)0
15、,f(x)单调递增单调递增, ,故当故当x= x= 时时,f(x),f(x)取得极小值取得极小值以下证明以下证明: :在区间在区间 上上,f(x)0,f(x)1,x= ,t1,则则x ,x ,f(x)=f = ,f(x)0f(x)=f = ,f(x)0f 0f 0 (-t)+ 0 (-t)+ 0ateatet t-t+ 0-t+ 0ateatet tt- ,t- ,因为因为a1,a1,不等式不等式ateatet tt- t- 显然成立显然成立, ,故在区间故在区间 上上,f(x)0,f(x)0,f(1)= 0,即即f(1)f 0,f(1)f 0,故当故当a0a0(x)+af(x)0只有两个整数
16、解只有两个整数解, ,则实数则实数a a的取值范围是的取值范围是( () )【解析解析】选选C.f(x)= C.f(x)= 所以所以f(x)f(x)在在 上单调递增上单调递增, ,在在 上单调递减上单调递减, ,所以所以f(x)f(x)maxmax= = 又因为又因为f =0,1 2,f =0,1 0(x)+af(x)0只有两个整数解只有两个整数解, ,所以所以 即实数即实数a a的取值范围是的取值范围是 热点考向二利用导数研究实际生活中的最优化问题热点考向二利用导数研究实际生活中的最优化问题考向剖析考向剖析: :本考向以解答题为主本考向以解答题为主, ,主要考查学生分析问主要考查学生分析问题
17、、解决问题以及建模的能力题、解决问题以及建模的能力, ,常与函数关系的求法常与函数关系的求法, ,函数的性质、不等式、解析几何、立体几何等知识交函数的性质、不等式、解析几何、立体几何等知识交汇命题汇命题, ,最后利用导数求极值最后利用导数求极值( (最值最值).).【典例典例2 2】某山区外围有两条相互垂直的直线型公路某山区外围有两条相互垂直的直线型公路, ,为进一步改善山区的交通现状为进一步改善山区的交通现状, ,计划修建一条连接两条计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路公路和山区边界的直线型公路. .记两条相互垂直的公路记两条相互垂直的公路为为l1 1, ,l2 2, ,山区边界曲
18、线为山区边界曲线为C,C,计划修建的公路为计划修建的公路为l. .如图如图所示所示,M,N,M,N为为C C的两个端点的两个端点, ,测得点测得点M M到到l1 1, ,l2 2的距离分别的距离分别为为5 5千米和千米和4040千米千米, ,点点N N到到l1 1, ,l2 2的距离分别为的距离分别为2020千米和千米和2.52.5千米千米, ,以以l2 2, ,l1 1所在的直线分别为所在的直线分别为x,yx,y轴轴, ,建立平面直建立平面直角坐标系角坐标系xOy.xOy.假设曲线假设曲线C C符合函数符合函数y= (y= (其中其中a,ba,b为常数为常数) )模型模型. .(1)(1)求
19、求a,ba,b的值的值. .(2)(2)设公路设公路l与曲线与曲线C C相切于相切于P P点点,P,P的横坐标为的横坐标为t.t.请写出公路请写出公路l长度的函数解析式长度的函数解析式f(t),f(t),并写出其定义并写出其定义域域; ;当当t t为何值时为何值时, ,公路公路l的长度最短的长度最短? ?求出最短长度求出最短长度. .【审题导引审题导引】(1)(1)要求要求a,ba,b的值只要求出的值只要求出M,NM,N两点的坐标两点的坐标. .(2)(2)要求要求l的最短长度需要根据导数先求切线方程的最短长度需要根据导数先求切线方程, ,再求再求_,_,最后利用导数求最值最后利用导数求最值.
20、 .f(t)f(t)【解析解析】(1)(1)由题意知由题意知, ,点点M,NM,N的坐标分别为的坐标分别为(5,40),(20,2.5).(5,40),(20,2.5).将其分别代入将其分别代入y= ,y= ,得得 解得解得 (2)(2)由由(1)(1)知知, ,曲线曲线C C的方程为的方程为y= (5x20),y= (5x20),则则点点P P的坐标为的坐标为 , ,设在点设在点P P处的切线处的切线l交交x,yx,y轴分别于轴分别于A,BA,B两点两点,y=- ,y=- ,则则l的方程为的方程为y- (x-t),y- (x-t),由此得由此得 故故f(t)= ,t5,20.f(t)= ,t
21、5,20.设设g(t)=tg(t)=t2 2+ ,+ ,则则g(t)=2t- .g(t)=2t- .令令g(t)=0,g(t)=0,解得解得t=10 .t=10 .当当t(5,10 )t(5,10 )时时,g(t)0,g(t),g(t)0,g(t),g(t)0,g(t)是增函数是增函数. .从而从而, ,当当t=10 t=10 时时, ,函数函数g(t)g(t)有极小值有极小值, ,也是最小值也是最小值. .所以所以g(t)g(t)minmin=300,=300,此时此时f(t)f(t)minmin=15 .=15 .当当t=10 t=10 时时, ,公路公路l的长度最短的长度最短, ,最短长
22、度为最短长度为15 15 千米千米. .【名师点睛名师点睛】利用导数解决生活中的优化问题的一般利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤步骤(1)(1)建模建模: :分析实际问题中各量之间的关系分析实际问题中各量之间的关系, ,列出实际问列出实际问题的数学模型题的数学模型, ,写出实际问题中变量之间的函数关系式写出实际问题中变量之间的函数关系式y=f(x).y=f(x).(2)(2)求导求导: :求函数的导数求函数的导数f(x),f(x),解方程解方程f(x)=0.f(x)=0.(3)(3)求最值求最值: :比较函数在区间端点和使比较函数在区间端点和使f(x)=0f(x)=0的点的的点的函数值的大
23、小函数值的大小, ,最大最大( (小小) )者是最大者是最大( (小小) )值值. .(4)(4)作答作答: :回归实际问题作答回归实际问题作答. .【考向精练考向精练】1.1.某工厂要围建一个面积为某工厂要围建一个面积为512512平方米的矩形堆料场平方米的矩形堆料场, ,一边可以利用原有的墙壁一边可以利用原有的墙壁, ,其他三边需要砌新的墙壁其他三边需要砌新的墙壁, ,当砌新的墙壁所用的材料最省时当砌新的墙壁所用的材料最省时, ,堆料场的长和宽分别堆料场的长和宽分别为为( () )A.32A.32米米,16,16米米B.30B.30米米,15,15米米C.40C.40米米,20,20米米D
24、.36D.36米米,18,18米米【解析解析】选选A.A.要求材料最省要求材料最省, ,则要求新砌的墙壁总长最则要求新砌的墙壁总长最短短, ,设堆料厂的宽为设堆料厂的宽为x x米米, ,则长为则长为 米米, ,因此新墙总长因此新墙总长为为L=2x+ (x0),L=2x+ (x0),则则L=2- ,L=2- ,令令L=0,L=0,得得x=16.x=16.又又x0,x0,所以所以x=16.x=16.则当则当x=16x=16时时,L,L取得极小值取得极小值, ,也是最小也是最小值值, ,即用料最省即用料最省, ,此时长为此时长为 =32(=32(米米).).2.2.某商场从生产厂家以每件某商场从生产
25、厂家以每件2020元的价格购进一批商品元的价格购进一批商品, ,若该商品零售价为若该商品零售价为p p元元, ,销量销量Q(Q(单位单位: :件件) )与零售价与零售价p(p(单单位位: :元元) )有如下关系有如下关系:Q=8 300-170p-p:Q=8 300-170p-p2 2, ,则该商品零售价则该商品零售价定为定为_元时利润最大元时利润最大, ,利润的最大值为利润的最大值为_元元. . 世纪金榜导学号世纪金榜导学号【解析解析】设商场销售该商品所获利润为设商场销售该商品所获利润为y y元元, ,则则y=(p-y=(p-20)(8 300-170p-p20)(8 300-170p-p2
26、 2)=-p)=-p3 3-150p-150p2 2+11 700p-166 000(p+11 700p-166 000(p20),20),则则y=-3py=-3p2 2-300p+11 700.-300p+11 700.令令y=0y=0得得p p2 2+100p-+100p-3 900=0,3 900=0,解得解得p=30p=30或或p=-130(p=-130(舍去舍去).).则则p,y,yp,y,y变化关系如下表变化关系如下表: :故当故当p=30p=30时时,y,y取极大值取极大值23 000.23 000.p p(20,30)(20,30)3030(30,+)(30,+)yy+ +0
27、0- -y y极大值极大值又又y=-py=-p3 3-150p-150p2 2+11 700p-166 000+11 700p-166 000在在20,+)20,+)上只有一上只有一个极值个极值, ,故也是最值故也是最值. .所以该商品零售价定为每件所以该商品零售价定为每件3030元元时时, ,所获利润最大为所获利润最大为23 00023 000元元. .答案答案: :303023 00023 000【加练备选加练备选】统计表明统计表明, ,某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量量y(y(升升) )关于行驶速度关于行驶速度x(x(千米千米/ /小时小时)
28、 )的函数解析式可以的函数解析式可以表示为表示为y= +8(0x120).y= +8(0x120).已知甲、乙两已知甲、乙两地相距地相距100100千米千米. .(1)(1)当汽车以当汽车以4040千米千米/ /小时的速度匀速行驶时小时的速度匀速行驶时, ,从甲地到从甲地到乙地要耗油多少升乙地要耗油多少升? ?(2)(2)当汽车以多大的速度匀速行驶时当汽车以多大的速度匀速行驶时, ,从甲地到乙地耗从甲地到乙地耗油最少油最少? ?最少为多少升最少为多少升? ?【解析解析】(1)(1)当当x=40x=40时时, ,汽车从甲地到乙地行驶了汽车从甲地到乙地行驶了 小小时时, ,共耗油共耗油 =17.5
29、(=17.5(升升).).因此因此, ,当汽车以当汽车以4040千米千米/ /小时的速度匀速行驶时小时的速度匀速行驶时, ,从甲地从甲地到乙地要耗油到乙地要耗油17.517.5升升. .(2)(2)当速度为当速度为x x千米千米/ /小时时小时时, ,汽车从甲地到乙地行驶了汽车从甲地到乙地行驶了 小时小时, ,设耗油量为设耗油量为h(x)h(x)升升, ,依题意得依题意得h(x)= h(x)= (0x120),h(x)= (0x120).(0x120),h(x)= (0x120).令令h(x)=0,h(x)=0,得得x=80.x=80.当当x(0,80)x(0,80)时时,h(x)0,h(x)
30、,h(x)0,h(x),h(x)0,h(x)是增函数是增函数, ,所以当所以当x=80x=80时时,h(x),h(x)取得极小值取得极小值h(80)=11.25.h(80)=11.25.易知易知h(80)h(80)是是h(x)h(x)在在(0,120(0,120上的最小值上的最小值. .故当汽车以故当汽车以8080千米千米/ /小时的速度匀速行驶时小时的速度匀速行驶时, ,从甲地到从甲地到乙地耗油最少乙地耗油最少, ,为为11.2511.25升升. .热点考向三利用导数研究不等式问题热点考向三利用导数研究不等式问题高频考向高频考向考情考情分析分析 20162016201720172018201
31、8 T21T21 T21T21T21T21 T21T21 T21T21 T21T21T21T21考向考向解读解读 导数与不等式证明问题是近几年高考命题的导数与不等式证明问题是近几年高考命题的高频题型之一高频题型之一, ,常考的类型常考的类型: :一是单变量的不一是单变量的不等式证明等式证明; ;二是双变量的不等式证明二是双变量的不等式证明, ,此类问此类问题一般位于解答题的压轴题的第题一般位于解答题的压轴题的第(2)(2)问或第问或第(3)(3)问的位置问的位置, ,难度一般为中档题难度一般为中档题. .类型一利用导数证明不等式问题类型一利用导数证明不等式问题【典例典例3 3】(2018(20
32、18茂名一模茂名一模) )已知函数已知函数g(x)=ln x+2x+g(x)=ln x+2x+ (aR). (aR).(1)(1)讨论讨论g(x)g(x)的单调性的单调性. .(2)(2)若若f(x)= .f(x)= .证明证明: :当当x0,x0,且且x1x1时时,f(x) .,f(x) .【大题小做大题小做】难点难点拆解拆解第第(2)(2)问问求求f(x)f(x)的解析式的解析式, ,得到得到f(x)- =f(x)- = 构造函数构造函数h(x)=2ln x- ;h(x)=2ln x- ;判断判断h(x)h(x)的单调性及最值的单调性及最值, ,结合结合 的正负证明不等式的正负证明不等式.
33、 .【解析解析】(1)(1)由条件得函数由条件得函数g(x)g(x)的定义域为的定义域为(0, +),(0, +),因为因为g(x)=ln x+2x+ ,g(x)=ln x+2x+ ,所以所以g(x)= +2- =g(x)= +2- = 其中方程其中方程2x2x2 2+x-a=0+x-a=0的判别式的判别式=1+8a.=1+8a.当当0,0,即即a- a- 时时,g(x)0,g(x),g(x)0,g(x)在在(0, +)(0, +)上单调递增上单调递增; ;当当0,0,即即a- a- 时时, ,方程方程2x2x2 2+x-a=0+x-a=0有两根为有两根为若若- a0, - a0, 则则x x
34、1 1x0,g(x)g(x)0,g(x)在在(0, +)(0, +)上为增函数上为增函数; ;若若a0,a0,则则x x1 10x00a0时时,g(x),g(x)在在 上单调递减上单调递减, ,在在 上单调递增上单调递增. .(2)(2)由题意知由题意知f(x)= f(x)= 所以所以f(x)- f(x)- 令令h(x)=2ln x- (x0),h(x)=2ln x- (x0),则则h(x)= h(x)= 所以所以x1x1时时,h(x)0,h(x)0, 0,h(x)0, 0,所以所以f(x) ;f(x) ;当当x(1,+)x(1,+)时时,h(x)0, 0,h(x)0, .f(x) .综上可得
35、当综上可得当x0,x0,且且x1x1时时,f(x) .,f(x) .【易错警示易错警示】本题中将本题中将 的正负的正负, ,转化转化为为 和和2ln x- 2ln x- 的正负问题的正负问题, ,简化运算易得结果简化运算易得结果. .【探究追问探究追问】若若f(x)=ef(x)=ex xln x+ eln x+ ex-1x-1, ,证明证明:f(x)1.:f(x)1.【证明证明】f(x)1f(x)1等价于等价于xln xxexln xxe-x-x- .- .设函数设函数g(x)=xln x,g(x)=xln x,则则g(x)=ln x+1.g(x)=ln x+1.所以当所以当x x 时时,g(
36、x)0;,g(x)0.,g(x)0.故故g(x)g(x)在在 上单调递减上单调递减, ,在在 上单调递增上单调递增, ,所以所以g(x)g(x)在在(0,+)(0,+)上的最小值为上的最小值为 设函数设函数h(x)=xeh(x)=xe-x-x- ,- ,则则h(x)=eh(x)=e-x-x(1-x).(1-x).当当x(0,1)x(0,1)时时,h(x)0;,h(x)0;当当x(1,+)x(1,+)时时,h(x)0.,h(x)0x0时时,g(x)h(x),g(x)h(x),即即f(x)1.f(x)1.【易错警示易错警示】特别地特别地, ,当作差或变形构造的新函数不能当作差或变形构造的新函数不能
37、利用导数求解时利用导数求解时, ,一般转化为求左、右两端两个函数的一般转化为求左、右两端两个函数的最值问题最值问题. .类型二利用导数研究不等式恒成立、存在性问题类型二利用导数研究不等式恒成立、存在性问题【典例典例4 4】已知函数已知函数f(x)=x-(a+1)ln x- (aR),f(x)=x-(a+1)ln x- (aR),g(x)= xg(x)= x2 2+e+ex x-xe-xex x. .(1)(1)当当x1,ex1,e时时, ,求求f(x)f(x)的最小值的最小值. .(2)(2)当当a1a1时时, ,若存在若存在x x1 1e,ee,e2 2,使得对任意的使得对任意的x x2 2
38、-2,0,f(x-2,0,f(x1 1)g(x)g(x2 2) )恒成立恒成立, ,求求a a的取值范围的取值范围. .【审题导引审题导引】(1)(1)要求要求f(x)f(x)的最小值的最小值, ,先判断先判断f(x)f(x)的单的单调性调性, ,分分_,_,_,_,_三种情况分别求解三种情况分别求解. .(2)(2)将所给不等式等价转化为将所给不等式等价转化为_,_,求出两求出两函数对应的最值函数对应的最值, ,即可得到即可得到a a的取值范围的取值范围. .a1a11ae1aeaeaef(xf(x1 1) )minming(xg(x2 2) )minmin【解析解析】(1)f(x)(1)f
39、(x)的定义域为的定义域为(0,+),f(x)=(0,+),f(x)=当当a1a1时时,x1,e,f(x)0,x1,e,f(x)0,f(x)f(x)为增函数为增函数,f(x),f(x)minmin=f(1)=1-a.=f(1)=1-a.当当1ae1ae时时,x1,a,x1,a时时,f(x)0,f(x),f(x)0,f(x)为减函数为减函数;xa,e;xa,e时时,f(x)0,f(x),f(x)0,f(x)为增函数为增函数. .所以所以f(x)f(x)minmin=f(a)=a-(a+1)ln a-1.=f(a)=a-(a+1)ln a-1.当当aeae时时,x1,e,x1,e时时,f(x)0,
40、f(x),f(x)0,f(x)在在1,e1,e上为上为减函数减函数.f(x).f(x)minmin=f(e)=e-(a+1)- .=f(e)=e-(a+1)- .综上综上, ,当当a1a1时时,f(x),f(x)minmin=1-a;=1-a;当当1ae1ae时时,f(x),f(x)minmin=a-(a+1)ln a-1;=a-(a+1)ln a-1;当当aeae时时,f(x),f(x)minmin=e-(a+1)- .=e-(a+1)- .(2)(2)由题意知由题意知f(x)(xe,ef(x)(xe,e2 2)的最小值小于的最小值小于g(x)(x-2,0)g(x)(x-2,0)的最小值的最
41、小值. .由由(1)(1)知当知当a1a1时时,f(x),f(x)在在e,ee,e2 2 上单调递增上单调递增,f(x),f(x)minmin=f(e)=e-(a+1)- .g(x)=(1-e=f(e)=e-(a+1)- .g(x)=(1-ex x)x.)x.当当x-2,0x-2,0时时,g(x)0,g(x),g(x)0,g(x)为减函数为减函数,g(x),g(x)minmin= =g(0)=1,g(0)=1,所以所以e-(a+1)- 1,e-(a+1)- ,a ,所以所以a a的取值范围为的取值范围为 【名师点睛名师点睛】利用导数证明不等式的基本步骤利用导数证明不等式的基本步骤(1)(1)作
42、差或变形作差或变形. .(2)(2)构造新函数构造新函数h(x).h(x).(3)(3)利用导数研究函数利用导数研究函数h(x)h(x)的单调性或最值的单调性或最值. .(4)(4)根据单调性及最值得到所证不等式根据单调性及最值得到所证不等式. .“恒成立恒成立”与与“存在性存在性”问题的求解是问题的求解是“互补互补”关系关系, ,即即f(x)g(a)f(x)g(a)对于对于xDxD恒成立恒成立, ,应求应求f(x)f(x)的最小值的最小值; ;若若存在存在xD,xD,使得使得f(x)g(a)f(x)g(a)成立成立, ,应求应求f(x)f(x)的最大值的最大值. .在在具体问题中究竟是求最大
43、值还是最小值具体问题中究竟是求最大值还是最小值, ,可以先联想可以先联想“恒成立恒成立”是求最大值还是最小值是求最大值还是最小值, ,这样也就可以解决这样也就可以解决相应的相应的“存在性存在性”问题是求最大值还是最小值问题是求最大值还是最小值. .特别需特别需要关注等号是否成立问题要关注等号是否成立问题, ,以免细节出错以免细节出错. .【考向精练考向精练】1.1.已知函数已知函数f(x)=xf(x)=x2 2-(a-2)x-aln x(aR).-(a-2)x-aln x(aR).(1)(1)求函数求函数y=f(x)y=f(x)的单调区间的单调区间. .(2)(2)当当a=1a=1时时, ,证
44、明证明: :对任意的对任意的x0,f(x)+ex0,f(x)+ex xxx2 2+x+2.+x+2.【解析解析】(1)(1)函数函数f(x)f(x)的定义域是的定义域是(0,+),(0,+),f(x)=2x-(a-2)- f(x)=2x-(a-2)- 当当a0a0时时,f(x)0,f(x)0对任意对任意x(0,+)x(0,+)恒成立恒成立, ,所以所以, ,函数函数f(x)f(x)在区间在区间(0,+)(0,+)单调递增单调递增; ;当当a0a0时时, ,由由f(x)0f(x)0得得x ,x ,由由f(x)0,f(x)0,得得0x ,0xxx2 2+x+2,+x+2,只需证明只需证明e ex
45、x-ln x-20,-ln x-20,设设g(x)=eg(x)=ex x-ln x-2,-ln x-2,则问题转化为证明对任意的则问题转化为证明对任意的x0,g(x)0,x0,g(x)0,令令g(x)=eg(x)=ex x- =0,- =0,得得e ex x= ,= ,容易知道该方程有唯一解容易知道该方程有唯一解, ,不妨设为不妨设为x x0 0, ,则则x x0 0满足满足 当当x x变化时变化时,g(x),g(x)和和g(x)g(x)变化情况如下表变化情况如下表x x(0,x(0,x0 0) )x x0 0(x(x0 0,+),+)g(x)g(x)- -0 0+ +g(x)g(x)递减递减
46、递增递增g(x)g(x)minmin=g(x=g(x0 0)= -ln x)= -ln x0 0-2= +x-2= +x0 0-2,-2,因为因为x x0 00,0,且且x x0 01,1,所以所以g(x)g(x)minmin2 -2=0,2 -2=0,因此不等式得证因此不等式得证. .2.2.已知函数已知函数f(x)=xln x-x+1,g(x)=ef(x)=xln x-x+1,g(x)=ex x-ax,aR.-ax,aR.世纪金榜导学号世纪金榜导学号(1)(1)求求f(x)f(x)的最小值的最小值. .(2)(2)若若g(x)1g(x)1在在R R上恒成立上恒成立, ,求求a a的值的值.
47、 .(3)(3)求证求证: : 对一切大于对一切大于2 2的正整数的正整数n n都成立都成立. .【解析解析】(1)(1)因为函数因为函数f(x)=xln x-x+1,x(0,+),f(x)=xln x-x+1,x(0,+),所以所以f(x)=ln x.f(x)=ln x.所以当所以当x(0,1)x(0,1)时时,f(x)0;,f(x)0.f(x)0.所以函数所以函数f(x)f(x)在在(0,1)(0,1)上单调递减上单调递减, ,在在(1,+)(1,+)上单调递上单调递增增. .所以当所以当x=1x=1时时,f(x),f(x)取得最小值取得最小值f(1)=0.f(1)=0.(2)(2)设设h
48、(x)=g(x)-1=eh(x)=g(x)-1=ex x-ax-1,-ax-1,所以所以h(x)=eh(x)=ex x-a.-a.当当a0a0时时,h(x)0,h(x)0恒成立恒成立, ,函数函数h(x)h(x)在在R R上是增函数上是增函数, ,且且h(0)=0,h(0)=0,所以当所以当x0x0时时,h(x)0,h(x)0a0时时, ,令令h(x)0,h(x)0,即即e ex x-a0,-a0,解得解得xln a;xln a;令令h(x)0,h(x)0,即即e ex x-a0,-a0,解得解得xln a.x0a0时时,aln a-a+10,aln a-a+10,所以所以a-aln a-10
49、.a-aln a-10.所以所以a-aln a-1=0.a-aln a-1=0.所以所以a=1.a=1.(3)(3)由由(2)(2)可知可知e ex x-x-10-x-10恒成立恒成立, ,即即1+xe1+xex x. .对任意的正整数对任意的正整数n,n,令令x=- ,i=1,2,x=- ,i=1,2,n-1,n-1,则则1- ,i=1,2,1- ,i=1,2,n-1.,n-1.所以所以 e e-i-i, ,即即 e e-i-i , i=1,2, , i=1,2,n-1.,n-1.所以所以 + + e+ e-1-1+e+e-2-2+ +e+e-(n-1)-(n-1)= = 所以所以 【加练备
50、选加练备选】( (新题预测新题预测) )已知函数已知函数f(x)=ax-1-ln x(aR).f(x)=ax-1-ln x(aR).(1)(1)讨论讨论f(x)f(x)的单调性的单调性; ;若存在若存在xe,exe,e2 2,使得使得f(x)+(a+1)ln x+(1-a)x+2-f(x)+(a+1)ln x+(1-a)x+2-e0e0成立成立, ,求求a a的取值范围的取值范围(e(e为自然对数的底数为自然对数的底数).).(2)(2)求证求证:ln(2:ln(22 2+1)+ln(3+1)+ln(32 2+1)+ln(4+1)+ln(42 2+1)+ln(n+1)+ln(n2 2+1)+1
51、)0).(1)f(x)=a- (x0).当当a0a0时时,ax-10,ax-10,从而从而f(x)0,f(x)0a0时时, ,若若0x ,0x ,则则ax-10,ax-10,从而从而f(x)0,f(x) ,x ,则则ax-10,ax-10,从而从而f(x)0,f(x)0,函数函数f(x)f(x)在在 上单调递减上单调递减, ,在在 上单调递增上单调递增. .当当f(x)+(a+1)ln x+(1-a)x+2-e0f(x)+(a+1)ln x+(1-a)x+2-e0对任意对任意xe,exe,e2 2 恒成立时恒成立时, ,令令F(x)=f(x)+(a+1)ln x+(1-a)x+2-e=aln
52、x+x+1-e,F(x)=f(x)+(a+1)ln x+(1-a)x+2-e=aln x+x+1-e,F(x)= .F(x)= .11若若-ae,-ae,即即a-e,a-e,则则F(x)F(x)在在xe,exe,e2 2 上是增函数上是增函数, ,F(x)F(x)maxmax=F(e=F(e2 2)=2a+e)=2a+e2 2-e+10,-e+10,解得解得a ,a ,无解无解. .22若若e-aee-ae2 2, ,即即-e-e2 2a-e,a-e,则则F(x)F(x)在在xe,-axe,-a上是上是减函数减函数; ;在在x-a,ex-a,e2 2 上是增函数上是增函数, ,F(e)=a+1
53、0,a-1,F(eF(e)=a+10,a-1,F(e2 2)=2a+e)=2a+e2 2-e+10,a ,-e+10,a ,因为因为 -e,e-ae2 2, ,即即a-ea-e2 2, ,则则F(x)F(x)在在xe,exe,e2 2 上是减函数上是减函数, ,F(x)F(x)maxmax=F(e)=a+10,a-1,=F(e)=a+10,a-1,所以所以a-ea0f(x)+(a+1)ln x+(1-a)x+2-e0在在xe,exe,e2 2 能成能成立时立时, ,需需a ,a ,即即a a的取值范围是的取值范围是 (2)(2)令令a=1,a=1,此时此时f(x)=-ln x+x-1,f(x)
54、=-ln x+x-1,所以所以f(1)=0.f(1)=0.由由(1)(1)知知f(x)f(x)在在(0,1)(0,1)上单调递减上单调递减, ,在在(1,+)(1,+)上单调递上单调递增增, ,所以当所以当x(1,+)x(1,+)时时,f(x)f(1),f(x)f(1),所以所以ln xx-1ln xx-1对对一切一切x(1,+)x(1,+)成立成立. .因为因为n2,nNn2,nN* *, ,所以所以 要证要证ln(2ln(22 2+1)+ln(3+1)+ln(32 2+1)+ln(4+1)+ln(42 2+1)+1)+ln(n+ln(n2 2+1)+1)1+2ln(n!)(n2,nN1+2ln(n!)(n2,nN* *),),只需证只需证 (n2,nN(n2,nN* *),),所以原不等式成立所以原不等式成立. .
