《全程复习方略高中数学1.7.3正切函数的诱导公式课件北师大版必修4》由会员分享，可在线阅读，更多相关《全程复习方略高中数学1.7.3正切函数的诱导公式课件北师大版必修4（38页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、7.3正切函数的诱导公式问题引航引航1.1.正切函数的诱导公式是什么？正切函数的诱导公式是什么？2.2.如何利用正切函数的诱导公式求值、化简与如何利用正切函数的诱导公式求值、化简与证明？证明？正切函数的诱导公式正切函数的诱导公式角角函数函数 2+ 2+ 2- 2- - - - - + + y=tanx y=tanx _ _ _tan tan _ _ tantan-tan-tan-tan-tan-tan-tan-cot-cotcotcot1 1判一判判一判 ( (正确的打正确的打“”“”，错误的打，错误的打“”)“”)(1)tan(1)tan(1)=tan 1.( )1)=tan 1.( )(2
2、)tan(3(2)tan(32)=tan 2.( )2)=tan 2.( )(3)tan(4+3)=tan 3.( )(3)tan(4+3)=tan 3.( )2 2做一做做一做( (请把正确的答案写在横线上请把正确的答案写在横线上) )(1)(1)计算：计算：tan 945=_.tan 945=_.(2)(2)计算：计算：tan =_.tan =_.(3)(3)化简：化简：sin(sin()cos(+)tan()cos(+)tan()=_.)=_.【解析】【解析】1.(1)1.(1)错误错误. tan(. tan(1)=1)=tan 1.tan 1.(2)(2)错误错误.tan(3.tan(
3、32)=tan(2)=tan(2)=2)=tan 2.tan 2.(3)(3)正确正确. .答案：答案：(1) (2) (3)(1) (2) (3)2.(1)tan 945=tan(2360+225)=tan 2252.(1)tan 945=tan(2360+225)=tan 225=tan(180+45)=tan 45=1.=tan(180+45)=tan 45=1.答案：答案：1 1(2)(2)=-tan =-1.=-tan =-1.答案：答案：-1-1(3)(3)原式原式= =sin (sin (cos )(cos )(tan )tan )= =sin cos =sin cos =sin
4、sin2 2.答案：答案：sinsin2 2【要点探究要点探究】知识点知识点 正切函数的诱导公式正切函数的诱导公式对正切函数诱导公式的说明对正切函数诱导公式的说明(1)(1)正切函数的诱导公式在记忆时可简单记为正切函数的诱导公式在记忆时可简单记为“奇变偶不变，奇变偶不变，符号看象限符号看象限”，即，即k k 中，如果中，如果k k为奇数，则正切变余为奇数，则正切变余切，至于符号取决于角切，至于符号取决于角k k 所在的象限所在的象限. .(2)(2)在对三角式进行化简、求值、证明中，要遵循诱导公式先在对三角式进行化简、求值、证明中，要遵循诱导公式先行的原则行的原则. .【微思考微思考】(1)(
5、1)诱导公式中的角诱导公式中的角是锐角吗？是锐角吗？提示：提示：不一定，公式中的角不一定，公式中的角可以是定义域内任意大小的角可以是定义域内任意大小的角. .(2)(2)诱导公式中的角可以是任意角吗？诱导公式中的角可以是任意角吗？提示：提示：不是任意角，其中的不是任意角，其中的,2,-,2,-， 均不能等于均不能等于k+ (kZ).k+ (kZ).【即时练即时练】若若tan( tan( )=2)=2，则，则tan =_.tan =_.【解析解析】因为因为tan( tan( )=cot =2)=cot =2，所以，所以tan =tan =答案：答案：【题型示范题型示范】类型一类型一 利用诱导公式
6、求值利用诱导公式求值【典例典例1 1】(1)(2014(1)(2014宁波高一检测宁波高一检测) )计算：计算： =_.=_.(2)(2)若若tan(-)= tan(-)= ，借助三角函数定义求角，借助三角函数定义求角的正弦函数的正弦函数值和余弦函数值及值和余弦函数值及 的值的值. .【解题探究解题探究】1.1.题题(1)(1)中如何分解中如何分解 和和 ？2.2.题题(2)(2)中由已知条件能否得到中由已知条件能否得到tan tan 的值？的值？【探究提示探究提示】1.1.2.2.能能. .因为因为tan(tan()=)=所以所以tan =tan =【自主解答自主解答】(1)(1)答案：答案
7、：(2)(2)因为因为tan(-)= ,tan(-)= ,所以所以tan = 0,tan = 0,所以所以是第一或第三象限角是第一或第三象限角. .若若是第一象限角，则由是第一象限角，则由tan = tan = 可知，角可知，角的终边上的终边上必有一点必有一点P(12P(12，5)5)，所以，所以x=12,y=5.x=12,y=5.又又r=|OP|= =13,r=|OP|= =13,所以所以若若为第三象限角，则由为第三象限角，则由tan = tan = 知，角知，角的终边上必的终边上必有一点有一点P(-12P(-12，-5)-5)，所以，所以x=-12x=-12，y=-5y=-5，r=|OP|
8、=r=|OP|=所以所以所以所以【延伸探究延伸探究】若题若题(2)(2)的条件不变，将问题改为的条件不变，将问题改为“求求 ” ”，则结果如何？，则结果如何？【解题指南解题指南】将所求式子转化为只含有将所求式子转化为只含有tan tan 的代数式求解的代数式求解. .【解析解析】【方法技巧方法技巧】1.1.诱导公式的两个作用诱导公式的两个作用(1)(1)变角：将负角化为正角，将大角化为小角变角：将负角化为正角，将大角化为小角( (大化小、负化正大化小、负化正).).(2)(2)变名：正弦与余弦、正切与余切之间的互化变名：正弦与余弦、正切与余切之间的互化. .2.2.用正切函数诱导公式解题的两个
9、基本策略用正切函数诱导公式解题的两个基本策略(1)(1)巧用奇偶性：正弦、正切函数为奇函数，余弦函数为偶巧用奇偶性：正弦、正切函数为奇函数，余弦函数为偶函数，即函数，即sin(-)=-sin ,tan(-)=-tan ,cos(-)=sin(-)=-sin ,tan(-)=-tan ,cos(-)=cos .cos .(2)(2)巧用周期性：把角巧用周期性：把角改写成改写成+k,kZ+k,kZ后，可利用正切后，可利用正切函数的周期为函数的周期为得到得到tan =tan .tan =tan .3.3.用正切函数诱导公式解题的一般步骤用正切函数诱导公式解题的一般步骤与正弦、余弦函数的最小正周期为与
10、正弦、余弦函数的最小正周期为22不同，正切函数的最小不同，正切函数的最小正周期为正周期为，因此其解题的一般步骤为：，因此其解题的一般步骤为：【变式训练变式训练】已知已知cos(cos(100)=k100)=k，则，则tan 80=_.tan 80=_.【解析解析】由由cos(cos(100)=k100)=k得得cos 100=kcos 100=k，所以所以cos 80=kcos 80=k，即即cos 80=cos 80=k k0 0，所以，所以k k0,0,所以所以sin 80=sin 80=所以所以tan 80=tan 80=答案：答案：【误区警示误区警示】此题容易忽略此题容易忽略k k的符
11、号导致结果错误的符号导致结果错误. .【补偿训练补偿训练】已知已知则则a,b,ca,b,c的大小关系是的大小关系是_._.【解析解析】所以所以c ca ab.b.答案：答案：c ca ab b类型二类型二 利用诱导公式化简、求值、证明问题利用诱导公式化简、求值、证明问题【典例典例2 2】(1)(2014(1)(2014梅州高一检测梅州高一检测)n)n为整数，化简为整数，化简所得结果是所得结果是( )( )A.tan n B.A.tan n B.tan n C.tan D.tan n C.tan D.tan tan (2)(2)已知已知sin sin 是方程是方程5x5x2 2-7x-6=0-7
12、x-6=0的根，的根，是第三象限角，是第三象限角，则则 的值为的值为_._.(3)(3)证明：证明：【解题探究解题探究】1.tan(n+)1.tan(n+)等于什么？等于什么？2.2.题题(2)(2)中方程的根是多少？中方程的根是多少？sin sin 的值为多少？的值为多少？3.3.题题(3)(3)中的中的tan(2-)tan(2-)与与tan(-)tan(-)需要切化弦吗？需要切化弦吗？【探究提示探究提示】1.tan(n+)=tan .1.tan(n+)=tan .2.2.方程的根为方程的根为x x1 1=- =- 或或x x2 2=2=2，由，由|sin |1|sin |1知知sin =-
13、 .sin =- .3.3.不需要不需要. .直接用正切函数的诱导公式直接用正切函数的诱导公式. .【自主解答自主解答】(1)(1)选选C. C. (2)(2)方程方程5x5x2 2-7x-6=0-7x-6=0的两根为的两根为x x1 1=- ,x=- ,x2 2=2,=2,由由是第三象限角，是第三象限角，所以所以sin sin - ,cos =- ,- ,cos =- ,所以所以答案：答案：【方法技巧方法技巧】1.1.三角函数式化简的常用方法三角函数式化简的常用方法(1)(1)依据所给式子合理选用诱导公式将所给角的三角函数转化依据所给式子合理选用诱导公式将所给角的三角函数转化为角为角的三角函
14、数的三角函数. .(2)(2)切化弦：一般需将表达式中的切函数转化为弦函数切化弦：一般需将表达式中的切函数转化为弦函数. .2.2.三角恒等式的证明策略三角恒等式的证明策略(1)(1)遵循的原则遵循的原则: :在证明时一般从左边到右边，或从右边到左边，在证明时一般从左边到右边，或从右边到左边，或左右归一，总之，应遵循化繁为简的原则或左右归一，总之，应遵循化繁为简的原则. .(2)(2)常用的方法：定义法常用的方法：定义法, ,化弦法化弦法, ,拆项拆角法拆项拆角法, ,公式变形法公式变形法. .【变式训练】【变式训练】1.1.化简化简 =_. =_.【解析解析】原式原式= =答案：答案：-1-
15、12.2.已知已知tan tan 为方程为方程x x2 2-2x-8=0-2x-8=0的根，求的根，求 的值的值. .【解题指南解题指南】先求出先求出tan tan 的值，然后化简代数式求值的值，然后化简代数式求值. .【解析】【解析】因为因为tan tan 为方程的根，为方程的根，所以所以tan =4tan =4或或tan =-2.tan =-2.原式原式当当tan =4tan =4时，原式时，原式=tan=tan2 2=4=42 2=16,=16,当当tan =-2tan =-2时，原式时，原式=tan=tan2 2=(-2)=(-2)2 2=4.=4.【补偿训练】【补偿训练】1.1.求证
16、：求证：【证明证明】左侧左侧 右侧，右侧，所以原式成立所以原式成立. .2.2.已知已知求求 的值的值. .【解析解析】因为因为所以所以3tan -3=2tan +1,3tan -3=2tan +1,所以所以tan =4,tan =4,所以所以【易错误区易错误区】利用诱导公式时忽视符号问题致误利用诱导公式时忽视符号问题致误【典例典例】(2014(2014上饶高一检测上饶高一检测) )已知已知tan(tan()+3cos( +)+3cos( +)=0=0，tan(+)+6sin(+)=3tan(+)+6sin(+)=3，则，则tan =_.tan =_.【解析】【解析】因为因为tan(tan()
17、+3cos( +)=0)+3cos( +)=0，所以所以tan tan 3sin =03sin =0，又又tan(+)+6sin(+)=3tan(+)+6sin(+)=3，所以所以tan tan 6sin =36sin =3，所以所以 解得解得tan =1.tan =1.答案：答案：1 1【常见误区常见误区】错解错解错因剖析错因剖析-1-1诱导公式记忆不清，在诱导公式记忆不清，在处符号出现问题，导致处符号出现问题，导致结果错误结果错误【防范措施防范措施】常用诱导公式的利用常用诱导公式的利用 一些诱导公式在化简求值时常常起到关键性的作用，如本一些诱导公式在化简求值时常常起到关键性的作用，如本例中的例中的tan(tan()=)=tan tan ，而不是，而不是tan tan 等等. .对常见的诱对常见的诱导公式要熟练掌握并能正确应用导公式要熟练掌握并能正确应用. .【类题试解类题试解】已知已知tan(-tan(-) ) = = 且且| | | ，则，则sin sin =_.=_.【解析解析】由由tan(-tan(-)= )= 得得-tan -tan = = ，故，故tantan =- ,=- ,又又| | | ，故，故=- ,sin =- ,sin =- .=- .答案：答案：- -
