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1、三角函数的诱导公式三角函数的诱导公式射阳县盘湾中学射阳县盘湾中学 徐华徐华1.3 1.3 三角函数的诱导公式三角函数的诱导公式第一课时第一课时问题提出问题提出1.1.任意角任意角的正弦、余弦、正切是怎样的正弦、余弦、正切是怎样定义的？定义的？的终边的终边P(xP(x，y)y)O Ox xy y2. 2k2. 2k（kZkZ）与）与的三角函数的三角函数之间的关系是什么？之间的关系是什么？公式一：公式一： （ )3.3.你能求你能求sin750sin750和和sin930sin930的值吗？的值吗？4.4.利用公式一，可将任意角的三角函数利用公式一，可将任意角的三角函数值，转化为值，转化为0 00
2、 03603600 0范围内的三角函数范围内的三角函数值值. .其中锐角的三角函数可以查表计算，其中锐角的三角函数可以查表计算，而对于而对于90900 03603600 0范围内的三角函数值，范围内的三角函数值，如何转化为锐角的三角函数值，是我们如何转化为锐角的三角函数值，是我们需要研究和解决的问题需要研究和解决的问题. .知识探究（一）：知识探究（一）：的诱导公式的诱导公式 思考思考1 1：210210角与角与3030角有何内在联系角有何内在联系？思考思考2 2：若若为锐角，则为锐角，则（180180，270270）范围内的角可以怎样）范围内的角可以怎样表示？表示？210=180+30210
3、=180+30180+180+的终边的终边xy yo o+的终边的终边思考思考3 3：对于任意给定的一个角对于任意给定的一个角，角，角的终边与角的终边与角的终边有什么关系的终边有什么关系？思考思考4 4：设角设角的终边与单位圆交于点的终边与单位圆交于点P P（x x，y y），则角），则角的终边与单位圆的终边与单位圆的交点坐标如何？的交点坐标如何？的终边的终边xy yo o+的终边的终边P(xP(x，y)y)Q(-xQ(-x，-y)-y)思考思考5 5：根据三角函数定义，根据三角函数定义，sinsin（） 、coscos（）、）、tantan（）的值分别是什么？）的值分别是什么？的终边的终边x
4、y yo o+的终边的终边P(xP(x，y)y)Q(-xQ(-x，-y)-y)sin(sin()=-y)=-ycos(cos()=-x)=-xtan(tan()=)=思考思考6 6：对比对比sinsin，coscos，tantan的值，的值，的三角函数与的三角函数与的三角函数有什的三角函数有什么关系？么关系？思考思考7 7：该公式有什么特点，如何记忆？该公式有什么特点，如何记忆？ 公式二：公式二： 知识探究（二）：知识探究（二）：-，-的诱导公式：的诱导公式： 思考思考1 1：对于任意给定的一个角对于任意给定的一个角，的终边与的终边与的终边有什么关系？的终边有什么关系？ y y的终边的终边xo
5、 o-的终边的终边思考思考2 2：设角设角的终边与单位圆交于点的终边与单位圆交于点 P P（x x，y y），则），则的终边与单位圆的交的终边与单位圆的交点坐标如何？点坐标如何？y y的终边的终边xo o-的终边的终边P(x,y)P(x,y)P(x,-P(x,-y)y) 公式三：公式三： 思考思考3 3：根据三角函数定义，根据三角函数定义，的三角的三角函数与函数与的三角函数有什么关系？的三角函数有什么关系？y y的终边的终边xo o-的终边的终边P(x,y)P(x,y)P(x,-P(x,-y)y)思考思考4 4：利用利用( ()，结，结合公式二、三，你能得到什么结论？合公式二、三，你能得到什么
6、结论？ 公式四：公式四： 思考思考5 5：如何根据三角函数定义推导公式如何根据三角函数定义推导公式四？四？-的终边的终边y y的终边的终边xo oP(x,y)P(x,y)P(-x,y)P(-x,y)-的终边的终边思考思考6 6：公式三、四有什么特点，如何记公式三、四有什么特点，如何记忆？忆？ 公式三：公式三： 公式四：公式四： 2k 2k（kZkZ），），的三角函数值，等于的三角函数值，等于的同名函数的同名函数值，再放上原函数的象限符号值，再放上原函数的象限符号. .简记为简记为“函数名不变，符号看象限函数名不变，符号看象限” 思考思考7 7：公式一四都叫做诱导公式，他公式一四都叫做诱导公式，
7、他们分别反映了们分别反映了2k2k（kZkZ），），的三角函数与的三角函数与的三角的三角函数之间的关系，你能概括一下这四组函数之间的关系，你能概括一下这四组公式的共同特点和规律吗？公式的共同特点和规律吗？ 例例1、求值：、求值：（1）sin （2）cos （3）tan(1560)理论迁移理论迁移例例2、判断下列函数的奇偶性：、判断下列函数的奇偶性：（1）f(x)=1-cosx （2）g(x)=xsinx练习练习1 1、已知、已知cos(cos(x x) ) ，求下，求下列各式的值：列各式的值：（1 1）cos(2cos(2x x) )；（；（2 2）cos(cos(x x).). 练习练习2、
8、化简：、化简：（1 1） ；（2 2） .2.2.以诱导公式一四为基础，还可以以诱导公式一四为基础，还可以产生一些派生公式，产生一些派生公式，如如sinsin（22）= =sinsin， sin sin（33）=sin=sin等等. .小结作业小结作业1.1.诱导公式都是恒等式，即在等式有意诱导公式都是恒等式，即在等式有意义时恒成立义时恒成立. .3.3.利用诱导公式一四，可以求任意利用诱导公式一四，可以求任意角的三角函数，其基本思路是：角的三角函数，其基本思路是：这是一种化归与转化的数学思想这是一种化归与转化的数学思想. .任意负角的任意负角的三角函数三角函数任意正角的任意正角的三角函数三角
9、函数0 022的角的角的三角函数的三角函数锐角的三角锐角的三角函数函数 作业布置：作业布置：1.3 1.3 三角函数的诱导公式三角函数的诱导公式第二课时第二课时问题提出问题提出1.1.诱导公式一、二、三、四分别反映了诱导公式一、二、三、四分别反映了2k+2k+（kZkZ）、）、 与与的三角函数之间的关系，这的三角函数之间的关系，这四组公式的共同特点是什么？四组公式的共同特点是什么？函数同名，象限定号函数同名，象限定号. . 2.2.对形如对形如、的角的三角函的角的三角函数可以转化为数可以转化为角的三角函数，对形如角的三角函数，对形如 、 的角的三角函数与的角的三角函数与角角的三角函数，是否也存
10、在着某种关系，的三角函数，是否也存在着某种关系，需要我们作进一步的探究需要我们作进一步的探究. .思考思考1 1：sinsin（90906060）与）与sin60sin60的值相等吗？相反吗？的值相等吗？相反吗？思考思考2 2：sinsin（909060)60)与与cos60cos60，coscos（90906060）与）与sin60sin60的值分别的值分别有什么关系？据此，你有什么猜想？有什么关系？据此，你有什么猜想？知识探究（一）：知识探究（一）： 的诱导公式的诱导公式 思考思考3 3：如果如果为锐角，你有什么办法证为锐角，你有什么办法证明明 ， ？a ab bc c思考思考5 5：点点
11、P P1 1（x x，y y）关于直线）关于直线y=xy=x对称对称的点的点P P2 2的坐标如何？的坐标如何？思考思考4 4：若若为一个任意给定的角，那么为一个任意给定的角，那么 的终边与角的终边与角的终边有什么对称关的终边有什么对称关系？系？的终边的终边Oxy的终边的终边思考思考6 6：设角设角的终边与单位圆的交点的终边与单位圆的交点为为P P1 1（x x，y y），则），则 的终边与单的终边与单位圆的交点为位圆的交点为P P2 2（y y，x x），根据三角函），根据三角函数的定义，你能获得哪些结论？数的定义，你能获得哪些结论？的终边的终边P P1 1(x(x，y)y)Oxy的终边的终
12、边P P2 2(y(y，x)x) 公式五：公式五： 思考思考1 1：sinsin（90906060）与）与cos60cos60，coscos（90906060）与）与sin60sin60的值分别的值分别有什么关系？据此，你有什么猜想？有什么关系？据此，你有什么猜想？知识探究（二）：知识探究（二）： 的诱导公式的诱导公式 思考思考3 3：根据相关诱导公式推导，根据相关诱导公式推导， ， 分别等于什么？分别等于什么？ 公式六：公式六： 思考思考2 2： 与与 有什么内在联系？有什么内在联系？思考思考4 4： 与与 有什么关系？有什么关系？思考思考5 5：根据相关诱导公式推导，根据相关诱导公式推导，
13、分别等于什么？分别等于什么？思考思考6 6：正弦函数与余弦函数互称为余函正弦函数与余弦函数互称为余函数，你能概括一下公式五、六的共同特数，你能概括一下公式五、六的共同特点和规律吗？点和规律吗？ 公式六：公式六： 公式五：公式五： 思考思考7 7：诱导公式可统一为诱导公式可统一为的三角函数与的三角函数与的三角函数之间的关系，的三角函数之间的关系，你有什么办法记住这些公式？你有什么办法记住这些公式？奇变偶不变，符号看象限奇变偶不变，符号看象限.例例1、求证：、求证：sin( )=- cos , cos( )=sin 理论迁移理论迁移例例2、已知、已知cos(75+ )= ，且，且-180 -90，
14、求，求cos(15- )的的值。值。练习练习1 1、 化简：化简：练习练习2 2、已知、已知 ，求，求 的值的值2.2.诱导公式是三角变换的基本公式，其诱导公式是三角变换的基本公式，其中角中角可以是一个单角，也可以是一个可以是一个单角，也可以是一个复角，应用时要注意整体把握、灵活变复角，应用时要注意整体把握、灵活变通通. .小结作业1.1.诱导公式反映了各种不同形式的角的三诱导公式反映了各种不同形式的角的三角函数之间的相互关系，并具有一定的规角函数之间的相互关系，并具有一定的规律性，律性，“奇变偶不变，符号看象限奇变偶不变，符号看象限”，是，是记住这些公式的有效方法记住这些公式的有效方法. .作业布置作业布置: :
