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1、空间解析几何湖南大学数学与计量经济学院 几何学是从丈量土地,测量容积和制造器皿的生产实践活动中产生和总结出来的. -恩格斯 历史上，几何学在很长的一段时间里面是一门高度历史上，几何学在很长的一段时间里面是一门高度理论化的学科理论化的学科, 在若干世纪里在若干世纪里,欧几里德几何控制着欧几里德几何控制着数学的舞台数学的舞台.后来，到了文艺复兴时期，代数学从阿后来，到了文艺复兴时期，代数学从阿拉伯传到欧洲以后，数学家笛卡尔和费尔玛受代数拉伯传到欧洲以后，数学家笛卡尔和费尔玛受代数学的启发，有了学的启发，有了用代数的方法来研究几何的思想用代数的方法来研究几何的思想，从而产生了解析几何从而产生了解析几
2、何.借助坐标系，把空间的几何结构，几何对象代数化。借助坐标系，把空间的几何结构，几何对象代数化。解析几何的基本目的解析几何的基本目的：把代数运算引入到几何研究中来，从而把把代数运算引入到几何研究中来，从而把几何学的研究从原先的定性的层面推广到几何学的研究从原先的定性的层面推广到可以进行定量研究的层面可以进行定量研究的层面. .怎么样做到这一点：怎么样做到这一点：什么叫几何结构什么叫几何结构,几何对象代数化几何对象代数化：把空间中的点和有序数组之间建立对应关系，把空间把空间中的点和有序数组之间建立对应关系，把空间中几何图形，如直线，平面等和方程以及方程组建立中几何图形，如直线，平面等和方程以及方
3、程组建立对应关系。这就叫做几何结构，几何对象的代数化。对应关系。这就叫做几何结构，几何对象的代数化。 定义：定义： 既有大小又有方向的量叫做既有大小又有方向的量叫做向量（矢量）向量（矢量）.向量的几何表示：向量的几何表示：1.11.1 失量及其线性运算失量及其线性运算数量数量(标量标量):只有大小的量只有大小的量.有向线段有向线段有向线段的方向表示有向线段的方向表示向量向量的方向的方向.有向线段的长度表示有向线段的长度表示向量向量的大小的大小,或或向量的大小向量的大小. .| |向量的模向量的模 （长（长 度）：度）：或或单位向（失）量：长度为1的向量单位（向）矢量单位（向）矢量：和一个向量：
4、和一个向量 同方向的长度同方向的长度 为为1 1的向量，记作的向量，记作 定义定义3 3 两个大小相等，方向相反的向量两个大小相等，方向相反的向量叫做互为叫做互为反向量反向量. .的反向量记为的反向量记为aa- -平行移动不改变向量平行移动不改变向量向量和的三角形法则：向量和的三角形法则：给定空间中的两个向量给定空间中的两个向量 在空在空间中任意取一点间中任意取一点 ，作，作 则以则以 为起点，为起点，为终点的向量为终点的向量 叫做叫做 与与 的和的和 ，记做，记做 向量加法向量加法向量和的平行四边形法则向量和的平行四边形法则：设设以以 ， 为邻边的平行四边形的对角线向量为邻边的平行四边形的对
5、角线向量 叫做向量叫做向量 与与 的和，记做的和，记做 多个向量多个向量 相加，可以从某点相加，可以从某点 出发逐一出发逐一作出向量作出向量 ，于是以，于是以所得折线所得折线 的起点的起点 为起点为起点, , 终点终点 为为终点的向量终点的向量 ，就是向量，就是向量 的和的和. . 零向量：零向量：大小为零，方向大小为零，方向不定的向量不定的向量. .多个向量相加的多边形法则多个向量相加的多边形法则A1A2A3A4An-1对于任意的向量向量加法可以像实数加法那样演算.向量加法的运算规律向量的差向量的差：两个向量两个向量 的差规定为的差规定为显然，显然， 是向量方程是向量方程 的唯一解的唯一解.
6、注意：注意：向量不是数，不能比较大小向量不是数，不能比较大小. 向量的长度是可以比较大小向量的长度是可以比较大小. 定义定义2 2 平行于同一平面的一组向量叫做平行于同一平面的一组向量叫做共面向量共面向量. .数乘失量数乘失量零向量与任何共线的向量组共线零向量与任何共线的向量组共线. . 定义定义1 1 平行于同一直线的一组向量叫做平行于同一直线的一组向量叫做共线向量共线向量. .零向量与任何共面的向量组共面零向量与任何共面的向量组共面. .共线的两个向量也叫平行的，记做共线的两个向量也叫平行的，记做实数实数 与向量与向量 的乘积的乘积 仍然是一个仍然是一个向量，它的长度是向量，它的长度是当当
7、 时，时， 的方向与的方向与 的方向相同，的方向相同，当当 时，时， 的方向与的方向与 的方向相反。的方向相反。当当 之一为零时，规定之一为零时，规定数乘向量：直观上看，直观上看， 时，时， 就是沿就是沿 的方向的方向“伸缩伸缩”了了 倍；倍； 时，时， 就是就是沿就是就是沿 的反方向的反方向“伸缩伸缩”了了 倍。倍。数乘向量的运算规律：对于任意实数对于任意实数 ， 及向量及向量 ， 有有(1)(2)(3)(4)(5) 上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是一个与原向量同方向的单位向量一个与原向量同方向的单位向量. 单位向量和方向是一一对应的，因此常常
8、可单位向量和方向是一一对应的，因此常常可以用单位向量来表示方向以用单位向量来表示方向.按照向量与数的乘积的规定，按照向量与数的乘积的规定，同方向的单位向量，同方向的单位向量，表示与非零向量表示与非零向量设设aeaaeaa| = =.|aeaa= =例例1 1设设AM是三角形是三角形ABC的中线，求证的中线，求证:证证 如图如图 因为因为 所以所以 但但 因而因而 即即 ABCM(图1.11)例例2 2 用向量方法证明：联结三角形两边中点用向量方法证明：联结三角形两边中点的线段平行于第三边且等于第三边的一半的线段平行于第三边且等于第三边的一半.证证设设ABC两边两边AB，AC之中点分别为之中点分别为M，N，那么那么所以所以且且例例3 3 试用向量方法证明：对角线互相平分的试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形必是平行四边形四边形必是平行四边形.证证与与 平行且相等平行且相等, 结论得证结论得证.总结：总结：1 1：向量是既有大小，又有方向的量：向量是既有大小，又有方向的量. .2 2：两个向量的和仍然是一个向量，根据平：两个向量的和仍然是一个向量，根据平 行四边形法则或三角形法则确定两个向量行四边形法则或三角形法则确定两个向量的和的和. .3: 3: 数乘向量仍然是一个向量，所得到的向数乘向量仍然是一个向量，所得到的向量和原来的向量是共线的量和原来的向量是共线的. .
