《4.2平面向量的数量积及应用一.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《4.2平面向量的数量积及应用一.ppt（44页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、4.24.2平面向量的数平面向量的数量积及其应用量积及其应用（一）（一）12.2.平面向量的数量积平面向量的数量积（1 1）平面向量数量积的定义）平面向量数量积的定义已知两个向量已知两个向量a和和b, ,它们的夹角为它们的夹角为,把把_叫叫作作a与与b的数量积（或内积），记作的数量积（或内积），记作_._.(2)(2)数量积的几何意义数量积的几何意义a与与b的数量积等于的数量积等于a的长度的长度| |a| |与与b在在a方向上射影方向上射影| |b|cos |cos 的乘积，或的乘积，或b的长度的长度| |b| |与与a在在b方向上射影方向上射影| |a|cos |cos 的的乘积乘积. .
2、| |a|b|cos |cos ab21.1.两个向量的夹角两个向量的夹角定义定义范围范围已知两个已知两个_向量向量a, ,b，作，作 AOB=AOB=叫作向量叫作向量a与与b的夹角（如图）的夹角（如图）. .向量夹角向量夹角的范围是的范围是_,_,当当= _= _时，时，两向量共线；两向量共线；当当= _= _时，两向量时，两向量垂直，记作垂直，记作ab（规定零（规定零向量可与任一向量垂直）向量可与任一向量垂直） 非零非零0180018000或或180180909033.3.平面向量数量积的性质平面向量数量积的性质设设a，b都是非零向量，都是非零向量，e是单位向量，是单位向量，为为a与与b(
3、 (或或e) )的的夹角则夹角则(1)(1)ea= =ae=|=|a|cos .|cos .(2)(2)ab_. .(3)(3)当当a与与b同向时，同向时，ab=|=|a|b|.|.当当a与与b反向时，反向时，ab=-|=-|a|b|,|,特别地，特别地，aa_或者或者| |a| |_._.(4)cos =_.(4)cos =_.(5)(5)ab_. _. ab=0=0| |a| |2 2| |a|b| |44 4数量积的运算律数量积的运算律（1 1）交换律：）交换律：ab= =ba. .（2 2）数乘结合律：）数乘结合律：(a)b= _= _.= _= _.（3 3）分配律：）分配律：a(b
4、+ +c)= _)= _ . .(ab) )a(b) )ab+ +ac55 5平面向量数量积的坐标表示平面向量数量积的坐标表示设向量设向量a(x(x1 1，y y1 1) )，b(x(x2 2，y y2 2) )，向量，向量a与与b的夹角为的夹角为，则，则数量积数量积ab_模模|a| |_若若A(xA(x1 1，y y1 1) )，B(xB(x2 2，y y2 2) )，则则夹角夹角cos cos _x x1 1x x2 2y y1 1y y2 26向量垂直的向量垂直的充要条件充要条件abab=0=0_| |ab| |与与| |a|b| |的的关系关系| |ab|a|b| |（当且仅当（当且仅
5、当ab时等号成立）时等号成立）|x|x1 1x x2 2+y+y1 1y y2 2|x x1 1x x2 2+y+y1 1y y2 2=0=07考点考点 1 1 平面向量数量积的概念及运算平面向量数量积的概念及运算【例【例1 1】（1 1）已知）已知a(1(1，sinsin2 2x)x)，b(2(2，sin sin 2x)2x)，其中，其中x(0x(0，).).若若| |ab| | |a|b| |，则，则tan xtan x的值等于的值等于( )( )（A A）1 1 （B B）-1 -1 （C C） （D D）8(2)(2012(2)(2012天天津津高高考考) )已已知知ABCABC为为等
6、等边边三三角角形形，AB=2AB=2，设设点点P P，Q Q满满足足 RR，若若 则则=( )=( )(A) (B) (C) (D)(A) (B) (C) (D)（3 3）（20122012北北京京高高考考）已已知知正正方方形形ABCDABCD的的边边长长为为1 1，点，点E E是是B B边上的动点边上的动点. .则则 的值为的值为_， 的最大值为的最大值为_._.9【规范解答】【规范解答】（1 1）选）选A.A.由由| |ab| | |a|b| |知，知，ab. .所以所以sin 2xsin 2x2sin2sin2 2x,x,即即2sinxcosx2sinxcosx2sin2sin2 2x
7、x，而，而x(0x(0，)，所以所以sin xsin xcos xcos x，即，即 故故tan xtan x1.1.10(2)(2)选选A.A.由题意得，由题意得，又又 且且 设设 与与 的夹角为的夹角为,则则=60,=60,即即即即| | |2 2+(+(2 2-1) +(1-)| |-1) +(1-)| |2 2 ，所以所以4+2(4+2(2 2-1)+4(1-) -1)+4(1-) ，解得解得 11（3 3）方法一：如图所示，以）方法一：如图所示，以ABAB，ADAD所在的直线分别为所在的直线分别为x,yx,y轴建轴建立直角坐标系，设立直角坐标系，设E E（t t，0 0），），0t1
8、0t1，则，则D D（0,10,1），），B B（1 1，0 0），），C C（1 1，1 1），）， 又又12方法二：选取方法二：选取 作为基底，设作为基底，设 则则答案：答案：1 11 11314151617(4).(4).设集合设集合D=D=平面向量平面向量 ，定义在，定义在D D上的映射上的映射f f满足对任满足对任意意xDD，均有，均有f(f(x) =) =x(R(R且且0).0).若若| |a|=|=|b| |且且a, ,b不共线，则不共线，则(f(f(a)-f()-f(b)()(a+ +b)=)=_；若若A(1,2),B(3,6)A(1,2),B(3,6)，C(4,8),C(4,
9、8),且且 则则=_.=_.18【解析】【解析】 | |a|=|=|b| |且且a, ,b不共线，不共线，(f(f(a)-f()-f(b)()(a+ +b)=()=(a-b)()(a+ +b) )=(|=(|a| |2 2-|-|b| |2 2)=0.)=0.又又f( )=(1,2)f( )=(1,2)，(1,2)=(2,4),(1,2)=(2,4),=2.=2.答案：答案：0 20 219考点考点 2 2 平面向量的垂直与夹角平面向量的垂直与夹角例例2.2.（1 1）已知）已知a与与b为两个不共线的单位向量，为两个不共线的单位向量，k k为为实数，若向量实数，若向量a+ +b与向量与向量k
10、ka- -b垂直，则垂直，则k=_.k=_.（2 2）设两个向量）设两个向量a, ,b，满足，满足| |a| |2 2，| |b| |1 1，a与与b的夹角为的夹角为 若向量若向量2t2ta7 7b与与at tb的夹角为钝的夹角为钝角，求实数角，求实数t t的范围的范围20【规范解答】【规范解答】（1 1）（a+ +b）（k ka- -b），），（a+ +b）（k ka- -b）=0=0，即即k ka2 2+ +（k-1k-1）ab- -b2 2=0.=0.（* *）又又a, ,b为两个不共线的单位向量，为两个不共线的单位向量，（* *）式可化为）式可化为k-1=k-1=（1-k1-k）ab，
11、若若1-k01-k0，则，则ab=-1=-1，这与，这与a，b不共线矛盾；不共线矛盾；若若1-k=01-k=0，则，则k-1=k-1=（1-k1-k）ab恒成立恒成立. .综上可知，综上可知，k=1k=1时符合题意时符合题意. .答案：答案：1 121（2 2）由向量）由向量2t2ta7 7b与与at tb的夹角为钝角，得的夹角为钝角，得即即(2t(2ta7 7b)()(at tb)0)0，化简得化简得2t2t2 215t15t7070，解得解得7t7t ，当夹角为当夹角为时，也有时，也有(2t(2ta7 7b)()(at tb)0)0，但此时夹角不是钝角，但此时夹角不是钝角，22设设2t2t
12、a7 7b(at tb) )，00，可求得可求得 所求实数所求实数t t的范围是的范围是23【互动探究】【互动探究】本例（本例（2 2）中若条件）中若条件“向量向量2t2ta+7+7b与与a+t+tb的夹角的夹角为钝角为钝角”换为换为“向量向量2t2ta+7+7b与与a+t+tb的夹角为锐角的夹角为锐角”，其他条件，其他条件不变，其结论又如何呢？不变，其结论又如何呢？【解析】【解析】向量向量2t2ta+7+7b与与a+t+tb的夹角为锐角，的夹角为锐角，(2t(2ta+7+7b)()(a+t+tb) )0,0,即即2t2t2 2+15t+7+15t+70,0,当夹角为当夹角为0 0时，即时，即
13、2t2ta+7+7b=(=(a+t+tb)()(0),0),24则则 所求实数所求实数t t的范围是的范围是2526 答案答案 (1)B(1)B(2)C(2)C27考点考点 3 3 平面向量的模及应用平面向量的模及应用例例3 3（1 1）已知向量）已知向量a(cos (cos ，sin )sin )，向量，向量 则则|2|2a- -b| |的最大值、最小值分别是的最大值、最小值分别是( )( )（A A） （B B） (C (C）16,0 16,0 （D D）4,04,0（2 2）已知向量）已知向量a, ,b满足满足ab=0, |=0, |a|=1,|=1,| |b|=2|=2，则，则|2|2
14、a- -b|=_.|=_.28（3 3）在平面直角坐标系）在平面直角坐标系xOyxOy中，已知点中，已知点A(A(1,1,2)2)，B(2,3)B(2,3)，C(C(2,2,1).1).求以线段求以线段ABAB，ACAC为邻边的平行四边形两条对角为邻边的平行四边形两条对角线的长；线的长；设实数设实数t t满足满足 求求t t的值的值. .29【规范解答】【规范解答】（1 1）选）选D.D.由于由于|2|2a- -b| |2 2=4=4a2 2+ +b2 2-4-4ab易知易知故故|2|2a- -b| |的最大值和最小值分别为的最大值和最小值分别为4 4和和0.0.（2 2）|2|2a- -b|
15、 |2 2=4=4a2 2-4-4ab+ +b2 2=4|=4|a| |2 2+|+|b| |2 2=8,=8,答案：答案：30（3 3）方法一：由题设知方法一：由题设知 则则（2,62,6）, , 所以所以故所求的两条对角线的长分别为故所求的两条对角线的长分别为方法二：设该平行四边形的第四个顶点为方法二：设该平行四边形的第四个顶点为D D，两条对角线的交，两条对角线的交点为点为E E，则，则E E为为BCBC的中点，的中点，E E（0 0，1 1）. .又又E E（0 0，1 1）为）为ADAD的中点，所以的中点，所以D D（1 1，4 4）. .故所求的两条对角线的长分别为故所求的两条对角
16、线的长分别为31由题设知：由题设知：由由 得：得：（3+2t,5+t3+2t,5+t）（-2,-1-2,-1）=0=0，从而从而5t=-11,5t=-11,所以所以32【拓展提升】【拓展提升】解决向量模问题的方法解决向量模问题的方法(1)(1)几何法：利用向量的几何意义，即利用向量的加减法的平几何法：利用向量的几何意义，即利用向量的加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解求解. .(2)(2)代数法：即利用公式代数法：即利用公式 或或| |a| |2 2= =aa把长度问题转化把长度问题转化为数量积的运算来解决为
17、数量积的运算来解决. .33练习练习（1 1）若）若a, ,b, ,c均为单位向量，且均为单位向量，且ab=0,=0,（a- -c）（b- -c）00，则，则| |a+ +b- -c| |的最大值为的最大值为( )( )（A A） （B B）1 1（C C） （D D）2 234【解析】【解析】选选B.B.由向量由向量a, ,b, ,c都是单位向量，可得都是单位向量，可得a2 2=1=1，b2 2=1=1，c2 2=1=1，由，由ab=0=0及（及（a- -c）（b- -c）00，可知（，可知（a+ +b）cc2 2=1=1，因，因为为| |a+ +b- -c| |2 2= =a2 2+ +b
18、2 2+ +c2 2+ +2 2ab-2-2ac-2-2bc，所以有所以有| |a+ +b- -c| |2 2=3-2=3-2（ac+ +bc）=3-2=3-2（a+ +b）c，故故| |a+ +b- -c|1.|1.35（2 2）设在平面上有两个向量）设在平面上有两个向量a(cos (cos ，sin ) sin ) (0360)(0360)，求证：向量求证：向量ab与与ab垂直；垂直；当向量当向量 ab与与a b的模相等时，求的模相等时，求的大小的大小【解析】【解析】因为因为( (ab)()(a- -b) )| |a| |2 2| |b| |2 2故故ab与与a- -b垂直垂直36由由 两边平方得两边平方得所以所以 而而| |a| | |b| |，所以所以ab0 0，则，则即即cos(-120)cos(-120)0 0，-120-120k180k1809090，kZkZ，即即k180k180210210，kZkZ，又又03600360，则，则3030或或210.210.3738答案答案53940答案D414243Thank you!44
