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1、04-05高等数学第高等数学第1学期学期期末试卷期末试卷(参考答案参考答案)一、填空题（本题一、填空题（本题2020分）分）1.设设则则解：解：对数求导法对数求导法则则取对数取对数2. 解：解：正确区分常量与变量正确区分常量与变量3. 解：解： 注意：定积分的几何意义注意：定积分的几何意义4. 解：解： 找导函数满足的条件找导函数满足的条件若函数若函数f(x)对任意的对任意的x,y满足满足f(x+y)= f(x) f(y)，且且f(0)=1 ， f(0)=1, 则则f(x)=_由由f(0)=1 ，得到，得到c=15.已知空间向量已知空间向量 与与x轴、轴、y轴的夹角分别是轴的夹角分别是 ，且且
2、 则则解：解： 注意，注意，二、选择题（本题二、选择题（本题2020分）分）1. 设设f(x)在在(- , )内有定义，内有定义，x0 0是是f(x)的一个的一个极大值点，则极大值点，则_(A) x0必是必是-f(x)的最小值点的最小值点 (B) x0必是必是f(-x)的最小值点的最小值点(C) x0必是必是f(x)的驻点的驻点 (D) 对于一切对于一切x都有都有f(x) f(x0)答案答案(A)正确正确解：解： 2已知已知 则则_注意：奇偶函数在对称区间上积分性质注意：奇偶函数在对称区间上积分性质解：解： 令令 则，则， 所以所以f(x)在在a,b内有唯一的零点，即方程有唯一的实根内有唯一的
3、零点，即方程有唯一的实根 零点定理及单调性零点定理及单调性 4下列广义积分中，收敛的为下列广义积分中，收敛的为 _(A) (B) (C) (D) . 解：解： 注意，注意， q1收敛，收敛， p 1发散发散 发散发散收敛收敛发散发散发散发散 5直线直线与与(A)(A)平行平行 (B) (B)相交相交 (C) (C)垂直不相垂直不相 (D) (D)不垂直不相交不垂直不相交的关系是的关系是_解：解： 方向向量：方向向量： 直线不平行也不垂直直线不平行也不垂直代入代入有有无解无解不垂直不相交不垂直不相交1. 解：解： 变形，洛必达法则，等价无穷小代换变形，洛必达法则，等价无穷小代换三、（本题三、（本
4、题1212分）分）2. 解：解： 变形，洛必达法则，等价无穷小代换变形，洛必达法则，等价无穷小代换1. 解：解： 四、（本题四、（本题1818分）分）2. 求定求定积分分积分换元法积分换元法解：解： 令令 3. 解：解： 积分：积分：即，即，设设求求五、（本题五、（本题8 8分）分）单增区间单减区间凸区间凹区间拐点的横坐标极小值渐近线解：解： 定义域定义域: (- , )偶函数偶函数 水平渐近线：水平渐近线： 列表列表xy-+y-+-y拐点拐点极极小小拐点拐点极小值极小值单增区间单减区间凸区间凹区间拐点横坐标极小值渐近线水平渐近线：水平渐近线： 0,+ ) (- ,0 六、（本题六、（本题8
5、8分）分）过点过点(1,0)作作曲线曲线的切线，该切线与上述曲线的切线，该切线与上述曲线及及x轴围成的平面图形轴围成的平面图形A ，求，求A绕绕x轴旋转一周所成旋转轴旋转一周所成旋转体的体积体的体积解：解： 设切点为设切点为M(x0,y0), 则则切线斜率：切线斜率：切线方程：切线方程：又切线又切线过点过点(1,0)，得到，得到故切点为故切点为M(3,1), A绕绕x轴旋转一周所成旋转体的体积：轴旋转一周所成旋转体的体积：切线方程：切线方程：七、（本题七、（本题8 8分）分）解：解： l2的的方向方向 l1的方向的方向 （注意验证叉积）（注意验证叉积）平面平面 的法向量的法向量求过直线求过直线且平行于直线且平行于直线的平面方程的平面方程（注意验证叉积）（注意验证叉积）已知点已知点M0(1,-3,-2)平面平面方程：方程：八、（本题八、（本题6 6分）分）解：解： 由于由于 不妨设不妨设 1.若若f(a)=f(b), 则由则由Rolle定理知，结论显然成立。定理知，结论显然成立。 2.若若f(a) f(b), 则不妨设则不妨设 f(a)f(b), 如图所示，如图所示，所以，存在所以，存在x2 b使得使得在由介值定理，存在在由介值定理，存在x1 (a,x2)使得使得f(x1)=f(b)在区间在区间x1,b 上用上用Rolle定理，定理，
