《2019届高考数学二轮复习 专题三 立体几何 1.3.2 点、直线、平面之间的位置关系课件 文.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019届高考数学二轮复习 专题三 立体几何 1.3.2 点、直线、平面之间的位置关系课件 文.ppt（90页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第二讲点、直线、平面之间的位置关系热点题型热点题型1 1点、线、面之间的位置关系的判断点、线、面之间的位置关系的判断【感悟经典感悟经典】【典例典例】1.(20171.(2017全国卷全国卷)如图如图, ,在下列四个正方在下列四个正方体中体中,A,B,A,B为正方体的两个顶点为正方体的两个顶点,M,N,Q,M,N,Q为所在棱的中为所在棱的中点点, ,则在这四个正方体中则在这四个正方体中, ,直线直线ABAB与平面与平面MNQMNQ不平行的不平行的是是( () )2.,2.,是两个平面是两个平面,m,n,m,n是两条直线是两条直线, ,有下列四个命题有下列四个命题: :如果如果mn,m,n,mn,
2、m,n,那么那么,如果如果m,n,m,n,那么那么mn;mn;如果如果,m,m,那么那么m;m;如果如果mn,mn,那么那么m m与与所成的角和所成的角和n n与与所成所成的角相等的角相等. .其中正确的命题有其中正确的命题有_.(_.(填写所有正确命填写所有正确命题的编号题的编号)【联想解题联想解题】1.1.看到直线与平面平行看到直线与平面平行, ,想到直线与平面想到直线与平面平行的判定方法平行的判定方法. .2.2.看到线面的平行、垂直看到线面的平行、垂直, ,想到线、面位置关系的判定想到线、面位置关系的判定与性质与性质. .【规范解答规范解答】1.1.选选A.A.由由B,ABMQ,B,A
3、BMQ,则直线则直线ABAB平面平面MNQ;MNQ;由由C,ABMQ,C,ABMQ,则直线则直线ABAB平面平面MNQ;MNQ;由由D,ABNQ,D,ABNQ,则直线则直线ABAB平面平面MNQ.AMNQ.A不满足不满足. .2.2.对于对于,AA(m),AA(m)平面平面ABCD(),AA(m) ABCD(),AA(m) AD(n),AD(n)AD(n),AD(n)平面平面ABCD(),ABCD(),显然平面显然平面ABCD()ABCD()平面平面ABCD(),ABCD(),故故错误错误; ;对于对于,n,n,由线面平行的性质定理由线面平行的性质定理, ,可知可知n n与与内的内的一条直线一
4、条直线l平行平行, ,因为因为m,m,所以所以mml, ,所以所以mn,mn,故故正确正确; ;对于对于, ,设过设过m m的平面的平面交交于直线于直线l, ,因为因为, , m m ,由面面平行的性质定理可知由面面平行的性质定理可知mml, ,由线面平行的由线面平行的判定定理判定定理, ,可知可知m,m,故故正确正确; ;对于对于, ,若若m,nm,n分别与平面分别与平面,平行平行( (或垂直或垂直),),结论显结论显然成立然成立, ,若若m,nm,n分别与平面分别与平面,不平行不平行, ,也不垂直也不垂直, ,可以可以分别作出分别作出m,nm,n在平面在平面,内的射影内的射影, ,由等角定
5、理由等角定理, ,可知可知结论也成立结论也成立, ,故故正确正确. . 答案答案: :【规律方法规律方法】线、面之间的位置关系判定的两种方法线、面之间的位置关系判定的两种方法(1)(1)定理法定理法: :借助空间线面位置关系的判定定理和性质借助空间线面位置关系的判定定理和性质定理逐项判断来解决问题定理逐项判断来解决问题. .(2)(2)模型法模型法: :借助空间几何模型借助空间几何模型, ,如长方体、四面体等模如长方体、四面体等模型来直观观察线面位置关系型来直观观察线面位置关系, ,再结合有关定理作出选择再结合有关定理作出选择. .【对点训练对点训练】1.1.在直三棱柱在直三棱柱ABCABC-
6、 -A A1 1B B1 1C C1 1中中, ,平面平面与棱与棱AB,AC, AB,AC, A A1 1C C1 1,A,A1 1B B1 1分别交于点分别交于点E,F,G,H,E,F,G,H,且直线且直线AAAA1 1平面平面.有下有下列三个命题列三个命题: :四边形四边形EFGHEFGH是平行四边形是平行四边形; ;平面平面平面平面BCCBCC1 1B B1 1; ;平面平面平面平面BCFE.BCFE.其中正确的命题有其中正确的命题有( () )A.A.B.B.C.C.D.D.【解析解析】选选C.C.由题意画出草图如图所示由题意画出草图如图所示, ,因为因为AAAA1 1平平面面, ,平
7、面平面平面平面AAAA1 1B B1 1B=EH,B=EH,所以所以AAAA1 1EH.EH.同理同理AAAA1 1GF,GF,所以所以EHGF.EHGF.又又ABCABC- -A A1 1B B1 1C C1 1是直三棱柱是直三棱柱, ,易知易知EH=GF=AAEH=GF=AA1 1, ,所以四边形所以四边形EFGHEFGH是平行四边形是平行四边形, ,故故正确正确; ;若平面若平面平面平面BBBB1 1C C1 1C,C,由平面由平面平面平面A A1 1B B1 1C C1 1=GH,=GH,平面平面BCCBCC1 1B B1 1平面平面A A1 1B B1 1C C1 1=B=B1 1C
8、 C1 1, ,知知GHBGHB1 1C C1 1, ,而而GHBGHB1 1C C1 1不不一定成立一定成立, ,故故错误错误; ;由由AAAA1 1平面平面BCFE,BCFE,结合结合AAAA1 1EHEH知知EHEH平面平面BCFE,BCFE,又又EHEH平面平面, ,所以平面所以平面平面平面BCFE,BCFE,故故正确正确. .2.2.若四面体若四面体ABCDABCD的三组对棱分别相等的三组对棱分别相等, ,即即AB=CD, AB=CD, AC=BD,AD=BC,AC=BD,AD=BC,给出下列结论给出下列结论: :四面体四面体ABCDABCD每组对棱相互垂直每组对棱相互垂直; ;四面
9、体四面体ABCDABCD每个面的面积相等每个面的面积相等; ;从四面体从四面体ABCDABCD每个顶点出发的三条棱两两夹角之和每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于大于9090且小于且小于180;180;连接四面体连接四面体ABCDABCD每组对棱中点的线段相互垂直平分每组对棱中点的线段相互垂直平分; ;从四面体从四面体ABCDABCD每个顶点出发的三条棱的长可作为一每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长个三角形的三边长. .其中正确结论的序号是其中正确结论的序号是_._.【解析解析】对于对于, ,如图如图(1),AE,CF(1),AE,CF分别为分别为BDBD边上的高边上的高, ,由
10、由AD=BC,AB=CD,BD=DBAD=BC,AB=CD,BD=DB可知可知ABDCDB,ABDCDB,所以所以AE=CF, AE=CF, DE=BF,DE=BF,当且仅当当且仅当AD=AB,CD=BCAD=AB,CD=BC时时,E,F,E,F重合重合, ,此时此时ACBD,ACBD,所以当四面体所以当四面体ABCDABCD为正四面体时为正四面体时, ,每组对棱才相互垂直每组对棱才相互垂直, ,故故错误错误; ;对于对于, ,由题设可知四面体的四个面全等由题设可知四面体的四个面全等, ,所以四面体所以四面体ABCDABCD每个面的面积相等每个面的面积相等, ,故故正确正确; ;对于对于, ,
11、当四面体为正四面体时当四面体为正四面体时, ,同一个顶点出发的任意两条棱同一个顶点出发的任意两条棱的夹角均为的夹角均为6060, ,此时四面体此时四面体ABCDABCD每个顶点出发的三条每个顶点出发的三条棱两两夹角之和等于棱两两夹角之和等于180180, ,故故错误错误; ;对于对于, ,如图如图(2),G,H,I,J(2),G,H,I,J为各边中点为各边中点, ,因为因为AC=BD,AC=BD,所以四边形所以四边形GHIJGHIJ为菱形为菱形, ,所以所以GI,HJGI,HJ相互垂直平分相互垂直平分, ,其他同理可得其他同理可得, ,所以所以连接四面体连接四面体ABCDABCD每组对棱中点的
12、线段相互垂直平分每组对棱中点的线段相互垂直平分, ,故故正确正确; ;对于对于, ,从从A A点出发的三条棱为点出发的三条棱为AB,AC,AD,AB,AC,AD,因为因为AC=BD,AC=BD,所以所以AB,AC,ADAB,AC,AD可以构成三角形可以构成三角形, ,其他同理可得其他同理可得, ,所以从四面体所以从四面体ABCDABCD每个顶点出发的三条棱的长可作为每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长一个三角形的三边长, ,故故正确正确. .综上所述综上所述, ,正确的结论正确的结论为为. .答案答案: :【提分备选提分备选】如图如图, ,若若是长方体是长方体ABCD-AABCD-
13、A1 1B B1 1C C1 1D D1 1被平面被平面EFGHEFGH截去几截去几何体何体B B1 1EFEF- -C C1 1HGHG后得到的几何体后得到的几何体, ,其中其中E E为线段为线段A A1 1B B1 1上异于上异于B B1 1的点的点,F,F为线段为线段BBBB1 1上异于上异于B B1 1的的点点, ,且且EHAEHA1 1D D1 1, ,则下列结论中不正确的是则下列结论中不正确的是 ( () )A.EHFGA.EHFGB.B.四边形四边形EFGHEFGH是矩形是矩形C.C.是棱柱是棱柱D.D.是棱台是棱台【解析解析】选选D.D.因为因为EHAEHA1 1D D1 1,
14、A,A1 1D D1 1BB1 1C C1 1, ,所以所以EHBEHB1 1C C1 1, ,又又EHEH 平面平面BCCBCC1 1B B1 1, ,所以所以EHEH平面平面BCCBCC1 1B B1 1, ,又又EHEH 平面平面EFGH,EFGH,平面平面EFGHEFGH平面平面BCCBCC1 1B B1 1=FG,=FG,所以所以EHFG,EHFG,故故EHFGBEHFGB1 1C C1 1, ,所以选项所以选项A A、C C正确正确; ;因为因为A A1 1D D1 1平面平面ABBABB1 1A A1 1, ,EHAEHA1 1D D1 1, ,所以所以EHEH平面平面ABBAB
15、B1 1A A1 1, ,又又EFEF 平面平面ABBABB1 1A A1 1, ,故故EHEF,EHEF,所以选项所以选项B B也正确也正确. .热点题型热点题型2 2点、线、面之间的位置关系的证明点、线、面之间的位置关系的证明【感悟经典感悟经典】【典例典例】(2017(2017山东高考山东高考) )由四棱柱由四棱柱ABCDABCD- -A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1截截去三棱锥去三棱锥C C1 1- -B B1 1CDCD1 1后得到的几何体如图所示后得到的几何体如图所示, ,四边形四边形ABCDABCD为正方形为正方形,O,O为为ACAC与与BDBD的交点的交点,E,E
16、为为ADAD的中点的中点,A,A1 1EE平面平面ABCD,ABCD,(1)(1)证明证明:A:A1 1OO平面平面B B1 1CDCD1 1. .(2)(2)设设M M是是ODOD的中点的中点, ,证明证明: :平面平面A A1 1EMEM平面平面B B1 1CDCD1 1. . 【解题指南解题指南】本题考查空间中线、面平行与垂直的判本题考查空间中线、面平行与垂直的判定与性质定与性质, ,意在考查考生的空间想象能力意在考查考生的空间想象能力, ,转化与化归转化与化归能力能力. .【规范解答规范解答】(1)(1)取取B B1 1D D1 1的中点的中点O O1 1, ,连接连接COCO1 1,
17、A,A1 1O O1 1, ,由于由于ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1是四棱柱是四棱柱, ,所以所以A A1 1O O1 1OC,AOC,A1 1O O1 1=OC,=OC,因此四边形因此四边形A A1 1OCOOCO1 1为平行四边形为平行四边形, ,所以所以A A1 1OOOO1 1C,C,又又O O1 1C C 平面平面B B1 1CDCD1 1,A,A1 1O O 平面平面B B1 1CDCD1 1, ,所以所以A A1 1OO平面平面B B1 1CDCD1 1. .(2)(2)因为因为ACBD,E,MACBD,E,M分别为分别为ADAD和和ODOD的
18、中点的中点, ,所以所以EMBD,EMBD,又又A A1 1EE平面平面ABCD,BDABCD,BD 平面平面ABCD,ABCD,所以所以A A1 1EBD,EBD,因为因为B B1 1D D1 1BD,BD,所以所以EMBEMB1 1D D1 1,A,A1 1EBEB1 1D D1 1, , 又又A A1 1E,EME,EM 平面平面A A1 1EM,AEM,A1 1EEM=E,EEM=E,所以所以B B1 1D D1 1平面平面A A1 1EM,EM,又又B B1 1D D1 1 平面平面B B1 1CDCD1 1, ,所以平面所以平面A A1 1EMEM平面平面B B1 1CDCD1 1
19、. .【规律方法规律方法】1.1.证明面面平行的方法证明面面平行的方法证明面面平行依据判定定理证明面面平行依据判定定理, ,只要找到一个面内两条相只要找到一个面内两条相交直线与另一个平面平行即可交直线与另一个平面平行即可, ,从而将证明面面平行转从而将证明面面平行转化为证明线面平行化为证明线面平行, ,再转化为证明线线平行再转化为证明线线平行. .2.2.证明面面垂直的方法证明面面垂直的方法证明面面垂直常用面面垂直的判定定理证明面面垂直常用面面垂直的判定定理, ,即证明一个面即证明一个面过另一个面的一条垂线过另一个面的一条垂线, ,将证明面面垂直转化为证明线将证明面面垂直转化为证明线面垂直面垂
20、直, ,一般在现有直线中寻找一般在现有直线中寻找, ,若图中不存在这样的若图中不存在这样的直线直线, ,则借助中线、高线或添加辅助线解决则借助中线、高线或添加辅助线解决. .【对点训练对点训练】如图如图, ,四棱柱四棱柱ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1的底面的底面ABCDABCD是正方形是正方形, ,点点O O是是底面中心底面中心,A,A1 1OO底面底面ABCD,AB=AAABCD,AB=AA1 1= = . .(1)(1)证明证明: :平面平面A A1 1BDBD平面平面CDCD1 1B B1 1. .(2)(2)求三棱柱求三棱柱ABD-AABD-A1 1
21、B B1 1D D1 1的体积的体积. .【解析解析】(1)(1)由题设知由题设知,BB,BB1 1 DD DD1 1, ,所以四边形所以四边形BBBB1 1D D1 1D D是平行四边形是平行四边形, ,所以所以BDBBDB1 1D D1 1, ,又因为又因为BDBD 平面平面CDCD1 1B B1 1, ,B B1 1D D1 1 平面平面CDCD1 1B B1 1, ,所以所以BDBD平面平面CDCD1 1B B1 1. .因为因为A A1 1D D1 1 B B1 1C C1 1 BC, BC,所以四边形所以四边形A A1 1BCDBCD1 1是平行四边形是平行四边形, ,所以所以A
22、A1 1BDBD1 1C,C,又因为又因为A A1 1B B 平面平面CDCD1 1B B1 1, ,D D1 1C C 平面平面CDCD1 1B B1 1, ,所以所以A A1 1BB平面平面CDCD1 1B B1 1, ,又因为又因为BDABDA1 1B=B,B=B,所以平面所以平面A A1 1BDBD平面平面CDCD1 1B B1 1. .(2)(2)因为因为A A1 1OO平面平面ABCD,ABCD,所以所以A A1 1O O是三棱柱是三棱柱ABD-AABD-A1 1B B1 1D D1 1的高的高. .又因为又因为AO= AC=1,AAAO= AC=1,AA1 1= ,= ,所以所以
23、A A1 1O= O= 又因为又因为S SABDABD= = 所以所以 =S=SABDABDA A1 1O=1.O=1.热点题型热点题型3 3空间几何中的空间几何中的“翻折翻折”问题问题【感悟经典感悟经典】【典例典例】1.(20181.(2018南宁联考南宁联考) )如图如图, ,在正方形在正方形ABCDABCD中中,E,F,E,F分别是分别是BC,CDBC,CD的中点的中点,G,G是是EFEF的中点的中点. .现在沿现在沿AE,AFAE,AF及及EFEF把这个正方形折成一个空间图形把这个正方形折成一个空间图形, ,使使B,C,DB,C,D三点重合三点重合, ,重合后的点记为重合后的点记为H.
24、H.下列说法错误的是下列说法错误的是_(_(将符合题将符合题意的选项序号填到横线上意的选项序号填到横线上).).AGEFHAGEFH所在平面所在平面;AHEFH;AHEFH所在平面所在平面;HFAEF;HFAEF所在平面所在平面;HGAEF;HGAEF所在平面所在平面. .2.(20182.(2018衡水一模衡水一模) )如图如图, ,在直角梯形在直角梯形ABCDABCD中中,AB ,AB BC,ADBC,AB=BC=BC,ADBC,AB=BC= AD=1,AD=1,点点E E是线段是线段CDCD上异于点上异于点C,DC,D的的动点动点,EFAD,EFAD于点于点F,F,将将DEFDEF沿沿E
25、FEF折起到折起到PEFPEF的位置的位置, ,并使并使PFAF,PFAF,则五棱锥则五棱锥P P- -ABCEFABCEF的体积的取值范围为的体积的取值范围为_._.【规范解答规范解答】1.1.折之前折之前AGEF,CGEF,AGEF,CGEF,折之后也垂直折之后也垂直, ,所以所以EFEF面面AHG,AHG,折之前折之前B,D,CB,D,C均为直角均为直角, ,折之后折之后三点重合三点重合, ,所以折之后所以折之后AH,EH,FHAH,EH,FH三条直线两两垂直三条直线两两垂直, ,所以所以AHEFHAHEFH所在平面所在平面, ,对对, ,同时可知同时可知AHHG,AHHG,又又HFAE
26、HHFAEH所在平面所在平面, ,过过AEAE不可能做两个平面与直线不可能做两个平面与直线HFHF垂直垂直, ,错错, ,如果如果HGAEF,HGAEF,则有则有HGAG,HGAG,与与中中AHHGAHHG矛盾矛盾, ,所以所以错错. .若若AGEFHAGEFH所在平面所在平面, ,则则AGHGAGHG与与中中AHHGAHHG矛盾矛盾, ,所以所以也错也错. .选选. .答案答案: :2.2.因为因为PFEF,PFAF,EFAF=F,PFEF,PFAF,EFAF=F,所以所以PFPF平面平面ABCEF,ABCEF,设设DF=x(0x1),DF=x(0x1),则则EF=x,FA=2-x,EF=x
27、,FA=2-x,所以所以S SABCEFABCEF=S=SABCDABCD- -S SDEFDEF= (1+2)1- x= (1+2)1- x2 2= (3-x= (3-x2 2),),所以五棱锥所以五棱锥P-ABCEFP-ABCEF的体积的体积V(x)= (3-xV(x)= (3-x2 2) )x= (3x-xx= (3x-x3 3),V(x)=),V(x)= (1-x (1-x2 2)=0,)=0,得得x=1x=1或或x=-1(x=-1(舍去舍去),),当当0x10x0,V(x)0,V(x)单调递增单调递增, ,故故V(0)V(x)V(1),V(0)V(x)V(1),即即V(x)V(x)的
28、取值范的取值范围是围是 答案答案: : 【规律方法规律方法】解决折叠问题的一般思路解决折叠问题的一般思路(1)(1)要明确折叠前后的变化量和不变量要明确折叠前后的变化量和不变量. .一般情况下一般情况下, ,线线段的长度是不变量段的长度是不变量, ,而位置关系往往会发生变化而位置关系往往会发生变化, ,抓住抓住不变量是解决问题的关键不变量是解决问题的关键. .(2)(2)在解决问题时在解决问题时, ,要比较折叠前后的图形要比较折叠前后的图形, ,既要分析折既要分析折叠后的图形叠后的图形, ,也要分析折叠前的图形也要分析折叠前的图形, ,找准折叠前后的找准折叠前后的变化量和不变量变化量和不变量.
29、 .【对点训练对点训练】1.(20161.(2016浙江高考浙江高考) )如图如图, ,已知平面四已知平面四边形边形ABCD,AB=BC=3,CD=1,AD=ABCD,AB=BC=3,CD=1,AD= , ,ADC=90.ADC=90.沿直线沿直线ACAC将将ACDACD翻折翻折成成ACD,ACD,直线直线ACAC与与BDBD所成角的余弦的最大值是所成角的余弦的最大值是_._.【解析解析】借助余弦定理及三角函数的有界性解答借助余弦定理及三角函数的有界性解答. .作作DFACDFAC于点于点F,F,作作BEACBEAC于点于点E,E,作作FMFM垂直于过点垂直于过点B B平平行于行于ACAC的直
30、线的直线, ,垂足为垂足为M,M,则则DBMDBM是是ACAC与与BDBD所成的所成的角角( (或其补角或其补角).).在在ADCADC中中,DC=1,AD= , ,DC=1,AD= , ADC=90,ADC=90,所以所以AC= AC= 在在BACBAC中中,BC=BA=3,BC=BA=3, 而而AE= ,AE= ,所以所以EF= EF= 因为因为MF=BE= ,MF=BE= ,所以所以DM= DM= 因为因为BM=EF= ,BM=EF= ,所以所以BD= BD= 所以所以 所以直线所以直线ACAC与与BDBD所成角的余弦的最大值是所成角的余弦的最大值是 . .答案答案: : 2.2.如图如
31、图1,1,在直角梯形在直角梯形ABEFABEF中中( (图中数字表示线段的长度图中数字表示线段的长度),),将直角梯形将直角梯形DCEFDCEF沿沿CDCD折起折起, ,使平面使平面DCEFDCEF平面平面ABCD,ABCD,连接部分线段后围成一个空间几何体连接部分线段后围成一个空间几何体, ,如图如图2.2.图图1 1图图2 2(1)(1)求证求证:BE:BE平面平面ADF.ADF.(2)(2)求三棱锥求三棱锥F-BCEF-BCE的体积的体积. .【解析解析】(1)(1)证法一证法一: :取取DFDF中点为中点为G,G,连接连接AG,EG,AG,EG,因为因为CE= DF,CE= DF,所以
32、所以EGCDEGCD且且EG=CD,EG=CD,又因为又因为ABCDABCD且且AB=CD,AB=CD,所以所以EGABEGAB且且EG=AB,EG=AB,四边形四边形ABEGABEG为平行四边形为平行四边形, ,所以所以BEAG.BEAG.因为因为BEBE 平面平面ADF,AGADF,AG 平面平面ADF,ADF,所以所以BEBE平面平面ADF.ADF.证法二证法二: :由题图由题图1 1可知可知BCAD,CEDF,BCAD,CEDF,折叠之后平行关系不变折叠之后平行关系不变. .因为因为BCBC 平面平面ADF,ADADF,AD 平面平面ADF,ADF,所以所以BCBC平面平面ADF.AD
33、F.同理同理CECE平面平面ADF.ADF.因为因为BCCE=C,BC,CEBCCE=C,BC,CE 平面平面BCE,BCE,所以平面所以平面BCEBCE平面平面ADF.ADF.因为因为BEBE 平面平面BCE,BCE,所以所以BEBE平面平面ADF.ADF.(2)(2)方法一方法一: :因为因为V VF-BCEF-BCE=V=VB-CEFB-CEF, ,由题图由题图1 1可知可知BCCD,BCCD,因为平面因为平面DCEFDCEF平面平面ABCD,ABCD,平面平面DCEFDCEF平面平面ABCD=CD,BCABCD=CD,BC 平面平面ABCD,ABCD,所以所以BCBC平面平面DCEF,
34、DCEF,由题图由题图1 1可知可知DC=CE=1,SDC=CE=1,SCEFCEF= CEDC= ,= CEDC= ,所以所以V VF-BCEF-BCE=V=VB-CEFB-CEF= BCS= BCSCEFCEF= .= .方法二方法二: :由题图由题图1 1可知可知CDBC,CDCE.CDBC,CDCE.因为因为BCCE=C,BCCE=C,所以所以CDCD平面平面BCE,BCE,因为因为DFEC,DFEC,所以点所以点F F到平面到平面BCEBCE的距离等于点的距离等于点D D到平面到平面BCEBCE的距离为的距离为1,1,由题图由题图1 1可知可知BC=CE=1,SBC=CE=1,SBC
35、EBCE= BCCE= ,= BCCE= ,所以所以V VF-BCEF-BCE= CDS= CDSBCEBCE= .= .【提分备选提分备选】如图如图1 1所示所示, ,在在RtABCRtABC中中,AC=6,BC=3, ,AC=6,BC=3, ABC=90,CDABC=90,CD为为ACBACB的平分线的平分线, ,点点E E在线段在线段ACAC上上, ,CE=4,CE=4,如图如图2 2所示所示, ,将将BCDBCD沿沿CDCD折起折起, ,使得平面使得平面BCDBCD平面平面ACD,ACD,连接连接AB,AB,设点设点F F是是ABAB的中点的中点. .(1)(1)求证求证:DE:DE平
36、面平面BCD.BCD.(2)(2)若若EFEF平面平面BDG,BDG,其中其中G G为直线为直线ACAC与平面与平面BDGBDG的交点的交点, ,求三棱锥求三棱锥B-DEGB-DEG的体积的体积. .【解析解析】(1)(1)取取ACAC的中点的中点P,P,连接连接DP,DP,因为在因为在RtABCRtABC中中,AC=6,BC=3,ABC=90,CD,AC=6,BC=3,ABC=90,CD为为ACBACB的平分线的平分线, ,所以所以A=30,ADCA=30,ADC是等腰三角形是等腰三角形, ,所以所以DPAC,DP= ,DPAC,DP= ,DCP=30,PDC=60,DCP=30,PDC=6
37、0,又点又点E E在线段在线段ACAC上上,CE=4,CE=4,所以所以AE=2,EP=1,AE=2,EP=1,所以所以EDP=EDP=30,30,所以所以EDC=90,EDC=90,所以所以EDDC;EDDC;因为将因为将BCDBCD沿沿CDCD折起折起, ,使得平面使得平面BCDBCD平面平面ACD,ACD,平面平面BDCBDC平面平面EDC=DC,EDC=DC,所以所以DEDE平面平面BCD.BCD.(2)(2)若若EFEF平面平面BDG,BDG,其中其中G G为直线为直线ACAC与平面与平面BDGBDG的交点的交点,G,G为为ECEC的中点的中点, ,此时此时AE=EG=GC=2,AE
38、=EG=GC=2,因为在因为在RtABCRtABC中中,AC=6,BC=3,ABC=90,CD,AC=6,BC=3,ABC=90,CD为为ACBACB的平分线的平分线, ,所以所以BD= ,DC= ,BD= ,DC= ,所以所以B B到到DCDC的距离的距离h= h= 因为平面因为平面BCDBCD平面平面ACD,ACD,平面平面BDCBDC平面平面EDC=DC,EDC=DC,所以所以B B到到DCDC的距离的距离h h就是三棱锥就是三棱锥B-DEGB-DEG的高的高. .三棱锥三棱锥B-DEGB-DEG的体积的体积:V=:V=直观想象直观想象立体几何中的等积转化问题中的数学素立体几何中的等积转
39、化问题中的数学素养养【相关链接相关链接】在立体几何中在立体几何中, ,常考到点到平面的距离和体积等问题常考到点到平面的距离和体积等问题. .通常情况下通常情况下, ,所给几何体的体积不能直接套用公式或所给几何体的体积不能直接套用公式或涉及的一些量涉及的一些量( (如如: :底面积、高底面积、高) )不易求解时不易求解时, ,可利用可利用“等积转化等积转化”, ,灵活转化几何体中有关元素的相对位置灵活转化几何体中有关元素的相对位置, ,这样就可避难就易这样就可避难就易, ,使计算简便使计算简便. .【典例典例】如图如图, ,已知已知ABC-AABC-A1 1B B1 1C C1 1是正三棱柱是正
40、三棱柱, ,它的底面它的底面边长和侧棱长都是边长和侧棱长都是2,D2,D为侧棱为侧棱CCCC1 1的中点的中点,E,E为为A A1 1B B1 1的中的中点点. .(1)(1)求证求证:ABDE.:ABDE.(2)(2)求三棱锥求三棱锥A A1 1- -DABDAB的体积的体积. .【规范解答规范解答】(1)(1)连接连接C C1 1E,E,则则C C1 1EAEA1 1B B1 1, ,又因为又因为A A1 1B B1 1CC1 1C,C,所以所以A A1 1B B1 1平面平面EDCEDC1 1, ,所以所以A A1 1B B1 1DE,DE,而而A A1 1B B1 1AB,AB,所以所
41、以ABDE.ABDE.(2)(2)因为因为A A1 1B B1 1AB,AB,可知可知A A1 1B B1 1平面平面DAB,DAB,连接连接A A1 1B,AB,A1 1D.D.因为因为 又因为又因为 所以所以 【通关题组通关题组】1.1.如图如图, ,在三棱锥在三棱锥A-BCDA-BCD中中,AB,AB平面平面BCD,CDBD.BCD,CDBD.(1)(1)求证求证:CD:CD平面平面ABD.ABD.(2)(2)若若AB=BD=CD=1,MAB=BD=CD=1,M为为ADAD中点中点, ,求三棱锥求三棱锥A-MBCA-MBC的体积的体积. .【解析解析】方法一方法一:(1):(1)因为因为
42、ABAB平面平面BCD,CDBCD,CD 平面平面BCD,BCD,所以所以ABCD.ABCD.又因为又因为CDBD,ABBD=B,CDBD,ABBD=B,ABAB 平面平面ABD,BDABD,BD 平面平面ABD,ABD,所以所以CDCD平面平面ABD.ABD.(2)(2)由由ABAB平面平面BCD,BDBCD,BD 平面平面BCD,BCD,得得ABBD,ABBD,因为因为AB=BD=1,AB=BD=1,所以所以S SABDABD= .= .因为因为M M是是ADAD的中点的中点, ,所以所以S SABMABM= S= SABDABD= .= .由由(1)(1)知知,CD,CD平面平面ABD,
43、ABD,所以三棱锥所以三棱锥C-ABMC-ABM的高的高h=CD=1,h=CD=1,因此三棱锥因此三棱锥A-MBCA-MBC的体积的体积V VA-MBCA-MBC=V=VC-ABMC-ABM= S= SABMABMh= . h= . 方法二方法二:(1):(1)同方法一同方法一. .(2)(2)由由ABAB平面平面BCDBCD且且ABAB 平面平面ABDABD知知, ,平面平面ABDABD平面平面BCD,BCD,又平面又平面ABDABD平面平面BCD=BD,BCD=BD,如图如图, ,过点过点M M作作MNBDMNBD交交BDBD于点于点N,N,则则MNMN平面平面BCD,BCD,且且MN=
44、AB= ,MN= AB= ,又又CDBD,BD=CD=1,CDBD,BD=CD=1,所以所以S SBCDBCD= .= .所以三棱锥所以三棱锥A-MBCA-MBC的体积的体积V VA-MBCA-MBC=V=VA-BCDA-BCD-V-VM-BCDM-BCD= AB= ABS SBCDBCD- MN- MNS SBCDBCD= .= .2.2.如图如图, ,已知在四棱锥已知在四棱锥P-ABCDP-ABCD中中, ,底面底面ABCDABCD是边长为是边长为4 4的的正方形正方形,PAD,PAD是正三角形是正三角形, ,平面平面PADPAD平面平面ABCD,E,F,GABCD,E,F,G分别是分别是
45、PD,PC,BCPD,PC,BC的中点的中点. .(1)(1)求证求证: :平面平面EFGEFG平面平面PAD.PAD.(2)(2)若若M M是线段是线段CDCD上一点上一点, ,求三棱锥求三棱锥M-EFGM-EFG的体积的体积. .【解析解析】(1)(1)因为平面因为平面PADPAD平面平面ABCD,ABCD,平面平面PADPAD平面平面ABCD=AD,CDABCD=AD,CD 平面平面ABCD,CDAD,ABCD,CDAD,所以所以CDCD平面平面PAD.PAD.又因为又因为PCDPCD中中,E,F,E,F分别是分别是PD,PCPD,PC的中点的中点, ,所以所以EFCD,EFCD,所以所
46、以EFEF平面平面PAD,PAD,因为因为EFEF 平面平面EFG,EFG,所以平面所以平面EFGEFG平面平面PAD.PAD.(2)(2)因为因为EFCD,EFEFCD,EF 平面平面EFG,CDEFG,CD 平面平面EFG,EFG,所以所以CDCD平面平面EFG,EFG,因此因此CDCD上的点上的点M M到平面到平面EFGEFG的距离等的距离等于点于点D D到平面到平面EFGEFG的距离的距离, ,所以所以V VM-EFGM-EFG= =V VD-EFGD-EFG, ,取取ADAD的中点的中点H,H,连接连接GH,EH,GH,EH,则则EFGH, EFGH, 因为因为EFEF平面平面PAD,EHPAD,EH 平面平面PAD,PAD,所以所以EFEH,EFEH,于是于是S SEFHEFH= EFEH=2=S= EFEH=2=SEFGEFG, ,因为平面因为平面EFGEFG平面平面PAD,PAD,平面平面EFGEFG平面平面PAD=EH,EHDPAD=EH,EHD是正三角形是正三角形, ,所以点所以点D D到平面到平面EFGEFG的距离等于正的距离等于正EHDEHD的高的高, ,即为即为 . .因此因此, ,三棱锥三棱锥M-EFGM-EFG的体积的体积V VM-EFGM-EFG=V=VD-EFGD-EFG= S= SEFGEFG = . = .
