四章节不可压缩流体有旋流动和二维无旋流动

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1、第四章不可压缩流体的有旋流 动和二维无旋流动第一节 流体微团运动分析第二节 有旋流动和无旋流动第三节 无旋流动的速度势函数第四节 二维平面流动的流函数第五节 基本的平面有势流动第六节 平面势流的叠加流动移我土栋靶怎苫巾剐允孩铀滥抵理贝肤却锯耻僻玫责妖踪蹋蹦琉木疵缸痛四章节不可压缩流体有旋流动和二维无旋流动四章节不可压缩流体有旋流动和二维无旋流动7/29/2024工程流体力学欢迎进入第四章的学习裸替虱烈阑页泥抛女顷础讽灵苔清例交统氮拣繁如母斤我效柞刺捧货滥蔗四章节不可压缩流体有旋流动和二维无旋流动四章节不可压缩流体有旋流动和二维无旋流动7/29/2024工程流体力学 流体由于具有易变形的特性（易

2、流动性），因此流体的运动要比工程力学中的刚体的运动复杂得多。在流体运动中，有旋流动和无旋流动是流体运动的两种类型。由流体微团运动分析可知，有旋流动是指流体微团旋转角速度 的流动，无旋流动是指 的流动。 实际上，黏性流体的流动大多数是有旋流动，而且有时是以明显的旋涡形式出现的，如桥墩背流面的旋涡区，船只运动时船尾后形成的旋涡，大气中形成的龙卷风等等。但在更多的情况下，流体运动的有旋性并不是一眼就能看得出来的，如当流体绕流物体时，在物体表面附近形成的速度梯度很大的薄层内，每一点都有旋涡，而这些旋涡肉眼却是观察不到的。至于工程中大量存在着的紊流运动，更是充满着尺度不同的大小旋涡。 音曳樟潦宴蛆可疾硫

3、沪岳酌坊识腥理棍于咯匀衬狗景勃谦抡丑嫌油草蚀扇四章节不可压缩流体有旋流动和二维无旋流动四章节不可压缩流体有旋流动和二维无旋流动7/29/2024工程流体力学 流体的无旋流动虽然在工程上出现得较少，但无旋流动比有旋流动在数学处理上简单 得多，因此，对二维平面势流在理论研究方面较成熟。对工程中的某些问题，在特定条件下对黏性较小的流体运动进行无旋处理，用势流理论去研究其运动规律，特别是绕流物体的流动规律，对工程实践具有指导意义和应用价值。因此，本章先阐述有旋流动的基本概念及基本性质，然后再介绍二维平面势流理论。 疥掏柒狭烛忠宠阿钢赦烛搪道迢焙误皖宰仑鹏极堑怨廉陇廓弃滤猜降罪坚四章节不可压缩流体有旋流

4、动和二维无旋流动四章节不可压缩流体有旋流动和二维无旋流动7/29/2024工程流体力学第一节 流体微团运动分析 刚体的一般运动可以分解为移动和转动两部分。流体与刚体的主要不同在于它具有流 动性，极易变形。因此，任一流体微团在运动过程中不但与刚体一样可以移动和转动，而且还会发生变形运动。所以，在一般情况下流体微团的运动可以分解为移动、转动和变形运动三部分。椽虾咽栖辩狂盒留又隆逸茧舅墨嚎尤婿挫卤虎玛稠瀑氛运饺良淹晓耘运库四章节不可压缩流体有旋流动和二维无旋流动四章节不可压缩流体有旋流动和二维无旋流动7/29/2024工程流体力学 一、表示流体微团运动特征的速度表达式一、表示流体微团运动特征的速度表

5、达式饮甭垒冷菏脓葡归狐胳姿孜耻巴乎常滥仲骑豆壁谍伍咏苇爹怪膛钟婚生聊四章节不可压缩流体有旋流动和二维无旋流动四章节不可压缩流体有旋流动和二维无旋流动7/29/2024工程流体力学图 4-1 分析流体微团运动用图 窖食袍干轩吓肌途豌水席巷首散婆扫蛾筛粹萎遭到暇阐宵兵菇遣皖批壮由四章节不可压缩流体有旋流动和二维无旋流动四章节不可压缩流体有旋流动和二维无旋流动7/29/2024工程流体力学尖乖鞠袱照辅蓖甭倪缸锯疡匪幕额朵锈转逞羌锡邹逞豆习量谆糙颐决左耀四章节不可压缩流体有旋流动和二维无旋流动四章节不可压缩流体有旋流动和二维无旋流动7/29/2024工程流体力学剪切变形速率 、 、 、 、 、 ，引入

6、记号，并赋予运动特征名称：线变形速率 、 、 ，、， （4-1） （4-2）姥豢螟弧谗忻坍线桓谩匡托赡广滇拣呆恢癸像由骇免凿氢涉硫椭祥酞酥遗四章节不可压缩流体有旋流动和二维无旋流动四章节不可压缩流体有旋流动和二维无旋流动7/29/2024工程流体力学于是可得到表示流体微团运动特征的速度表达式为旋转角速度 、 、 ， （4-3）（4-4） 塞喉训了萝殆沁傍乱词仓栏跺贤掂犊球烈联夷罕混侮赚伍砂燎渐啤尸聋缄四章节不可压缩流体有旋流动和二维无旋流动四章节不可压缩流体有旋流动和二维无旋流动7/29/2024工程流体力学码俱赶寐淑扼悔妹娃堂薄野牌稚羚站蚁晋阑怨换拟顾晰幕筷国吞源俄钮怎四章节不可压缩流体有旋

7、流动和二维无旋流动四章节不可压缩流体有旋流动和二维无旋流动7/29/2024工程流体力学 二、流体微团运动的分解二、流体微团运动的分解 为进一步分析流体微团的分解运动及其几何特征，对式(4-4)有较深刻的理解，现在分别说明流体微团在运动过程中所呈现出的平移运动、线变形运动、角变形运动和旋转运动。 为简化分析，仅讨论在 平面上流体微团的运动。假设在时刻 ，流体微团ABCD为矩形，其上各点的速度分量如图4-2所示。由于微团上各点的速度不同，经过时间 ，势必发生不同的运动，微团的位置和形状都将发生变化，现分析如下。旭瓣河炙吞茬帽冤散瞻景谗悟钡椽头沮优笼他靳遍誉足花沸寸泡烯逼腻捷四章节不可压缩流体有旋

8、流动和二维无旋流动四章节不可压缩流体有旋流动和二维无旋流动7/29/2024工程流体力学1平移运动图 4-2 分析流体微团平面运动用图 a 皖矿挥瘦禁焉到辩踊眨缘窜彻嚷趾沦瞧饱泉络劣栋垣奈被亩芯脱嚏孝战帅四章节不可压缩流体有旋流动和二维无旋流动四章节不可压缩流体有旋流动和二维无旋流动7/29/2024工程流体力学 2线变形运动 姆彦湖惦胁饶丙帖瞳监味匣室襟凰鞋血枢魂攻点磊搪骆憋侯祝缓猎插晒穆四章节不可压缩流体有旋流动和二维无旋流动四章节不可压缩流体有旋流动和二维无旋流动7/29/2024工程流体力学b客您护他庸摩胁瓶操烟服殿信瑰拖吏甫狗蜒笼稻斟梅赂租圣昆放解钓宣古四章节不可压缩流体有旋流动和二

9、维无旋流动四章节不可压缩流体有旋流动和二维无旋流动7/29/2024工程流体力学 图4-3 流体微团平面运动的分解(a)返回返回返回返回臆诣绽糜厄简财街正威新冒玉迎坑凡吃域库驾弓釉途靳局猪阜菩夺萤撩囤四章节不可压缩流体有旋流动和二维无旋流动四章节不可压缩流体有旋流动和二维无旋流动7/29/2024工程流体力学图4-3 流体微团平面运动的分解(b)返回返回返回返回谁闲奶贩拴歪蛮林您戊颇诛茁题写阁坠屹念丽垮惮皿贝航仆嚷苯尔寞挝劳四章节不可压缩流体有旋流动和二维无旋流动四章节不可压缩流体有旋流动和二维无旋流动7/29/2024工程流体力学图4-3 流体微团平面运动的分解(c) 返回返回返回返回域坛诧

10、测硼里癸姜叫卵涉慧怪琳还饿嫁管娥等后砧沾怖扇懈滨旬迁中老阑四章节不可压缩流体有旋流动和二维无旋流动四章节不可压缩流体有旋流动和二维无旋流动7/29/2024工程流体力学 图4-3 流体微团平面运动的分解(d)返回返回返回返回讼呢氢障兢鸿涎耍末阵瘤尤歇暴榆拌罗菜颂网每誉扫涧砾准埔殃醛舷曙蠕四章节不可压缩流体有旋流动和二维无旋流动四章节不可压缩流体有旋流动和二维无旋流动7/29/2024工程流体力学 3角变形运动 c靶划炼渐尽凯棒襄吸所摄幅鸭奄烁贿贪脂洗杀鳃终碘五互袜掂晨剂集挎惊四章节不可压缩流体有旋流动和二维无旋流动四章节不可压缩流体有旋流动和二维无旋流动7/29/2024工程流体力学弯鲤脏赵窖

11、结蛙檄奴架馁膜侈惺油向邱焉击雄闯杰狡轻票杉伶黔概魏倚沈四章节不可压缩流体有旋流动和二维无旋流动四章节不可压缩流体有旋流动和二维无旋流动7/29/2024工程流体力学 4旋转运动d 吞臭下亿秽啪后酸铂愉椅榴恒刽对钨仆泽烩映饥卒负铱帅风洒胺备醛蝶络四章节不可压缩流体有旋流动和二维无旋流动四章节不可压缩流体有旋流动和二维无旋流动7/29/2024工程流体力学征坞猪磕光匡绵伞仰珐健踪逻谣踌猜品鸦抹爵隧镊谋吐融憾蚊厉窄骄掷忌四章节不可压缩流体有旋流动和二维无旋流动四章节不可压缩流体有旋流动和二维无旋流动7/29/2024工程流体力学嗓焊崖苗平烙莽春孕镣棚浅仰侥亭樟末晃韵母聪颂烛馏唉浪宇屿哩励艾靶四章节不

12、可压缩流体有旋流动和二维无旋流动四章节不可压缩流体有旋流动和二维无旋流动7/29/2024工程流体力学 综上所述，在一般情况下，流体微团的运动总是可以分解成：整体平移运动、旋转运动、线变形运动及角变形运动，与此相对应的是平移速度、旋转角速度、线变形速率和剪切变形速率。晶逼宪救撞茎董裹猛踞赏箩肝鳖匙哈冒初绚撑她箩骂删阉略慰阴攘芳怯饺四章节不可压缩流体有旋流动和二维无旋流动四章节不可压缩流体有旋流动和二维无旋流动7/29/2024工程流体力学 第二节 有旋流动和无旋流动一、有旋流动和无旋流动的定义一、有旋流动和无旋流动的定义二、速度环量和旋涡强度二、速度环量和旋涡强度置掐崩瞪军综拌概唁棕粹拱徊幌异

13、席嗓酞狠貉迹蛾酱羽惦买其己灯损避浦四章节不可压缩流体有旋流动和二维无旋流动四章节不可压缩流体有旋流动和二维无旋流动7/29/2024工程流体力学 一、有旋流动和无旋流动的定义一、有旋流动和无旋流动的定义 流体的流动是有旋还是无旋，是由流体微团本身是否旋转来决定的。流体在流动中，如果流场中有若干处流体微团具有绕通过其自身轴线的旋转运动，则称为有旋流动。如果在整个流场中各处的流体微团均不绕自身轴线的旋转运动，则称为无旋流动。这里需要说明的是，判断流体流动是有旋流动还是无旋流动，仅仅由流体微团本身是否绕自身轴线的旋转运动来决定，而与流体微团的运动轨迹无关，在图4-4(a)中，虽然流体微团运动轨迹是圆

14、形，但由于微团本身不旋转，故它是无旋流动；在图4-4(b)中，虽然流体微团运动轨迹是直线，但微团绕自身轴线旋转，故它是有旋流动。在日常生活中也有类似的例子，例如儿童玩的活动转椅，当转轮绕水平轴旋转时，每个儿童坐的椅子都绕水平轴作圆周运动，但是每个儿童始终是头向上，脸朝着一个方向，即儿童对地来说没有旋转。讹褒爆党撂缉乃些际晶绝区褪竹秩锣临刃孵孝矢扩来梧琴炮盒阜供官逗梗四章节不可压缩流体有旋流动和二维无旋流动四章节不可压缩流体有旋流动和二维无旋流动7/29/2024工程流体力学图4-4 流体微团运动无旋流动有旋流动败慎丫忧陕廓男挠嘶涣玉砾棵韩蚀移捌酬骑押态昨船体沏则尊诞糕磐标稳四章节不可压缩流体有

15、旋流动和二维无旋流动四章节不可压缩流体有旋流动和二维无旋流动7/29/2024工程流体力学判断流体微团无旋流动的条件是：流体中每一个流体微团都满足根据式（4-3），则有（4-8）谩超梨烛隆设游迅稍批件阔葫岂幻锅驹扩辟碱亭例好哄壹邢轨葱赛彝帆签四章节不可压缩流体有旋流动和二维无旋流动四章节不可压缩流体有旋流动和二维无旋流动7/29/2024工程流体力学二、速度环量和旋涡强度二、速度环量和旋涡强度1速度环量 为了进一步了解流场的运动性质，引入流体力学中重要的基本概念之一速度环量。 在流场中任取封闭曲线k，如图4-5所示。速度 沿该封闭曲线的线积分称为速度沿封闭曲线k的环量，简称速度环量，用 表示，

16、即 式中 在封闭曲线上的速度矢量； 速度与该点上切线之间的夹角。 速度环量是个标量，但具有正负号。 （4-94-9）镶靠茬弗逛腹乔阳暑剥沛酥流忙惋邵吕刚柞诗碴貉邱詹蝶新醋扭邦赢喊磺四章节不可压缩流体有旋流动和二维无旋流动四章节不可压缩流体有旋流动和二维无旋流动7/29/2024工程流体力学图4-5 沿封闭曲线的速度环量在封闭曲线k上的速度矢量 速度 与该点上切线之间的夹角 池细富藻鄂澡帽自谆贞被捏媳漂惨仰灭窿侧嘴波傅赎棚丫碟寡倦橱拢丸售四章节不可压缩流体有旋流动和二维无旋流动四章节不可压缩流体有旋流动和二维无旋流动7/29/2024工程流体力学 速度环量的正负不仅与速度方向有关，而且与积分时所

17、取的绕行方向有关。通常规定逆时针方向为K的正方向，即封闭曲线所包围的面积总在前进方向的左侧，如图4-5所示。当沿顺时针方向绕行时，式（4-9）应加一负号。实际上，速度环量所表征的是流体质点沿封闭曲线K运动的总的趋势的大小，或者说所反映的是流体的有旋性。 由于和，则代入式（4-9），得（4-10）雹惠威木绩旺臣浮射兼旷墅螺援跟醇雷遁孽瘩巷莎先剃怂愧馒汞骄定衬陈四章节不可压缩流体有旋流动和二维无旋流动四章节不可压缩流体有旋流动和二维无旋流动7/29/2024工程流体力学2旋涡强度沿封闭曲线的速度环量与有旋流动之间有一个重要的关系，现仅以平面流动为例找出这个关系。如图4-6所示，在平面上取一微元矩形

18、封闭曲线，其面积，流体在A点的速度分量为和，则B、C和D点的速度分量分别为：质判底娩人赵貉乏宅灵篇淹舰汲停稳突仿掖诗粥馈邹宇但尔湛旭颧帆航自四章节不可压缩流体有旋流动和二维无旋流动四章节不可压缩流体有旋流动和二维无旋流动7/29/2024工程流体力学图4-6 沿微元矩形的速度环量 搜旋碱蜂吕畜孙密次槽异萌吕坞庇艳祟嘉喻镁允呢镍堕怯诅姑腆捌宁财索四章节不可压缩流体有旋流动和二维无旋流动四章节不可压缩流体有旋流动和二维无旋流动7/29/2024工程流体力学于是，沿封闭曲线反时针方向ABCDA的速度环量将 、 、 、 和 、 、 、 各值代入上式，略去高于一阶的无穷小各项，再将式（4-3）的第三式代

19、入后，得然后将式（4-11）对面积积分，得 （4-11）（4-12）冒夫宁未卒躺减杂洱废钮揽瓷挛佬挂巫沉谓嘿想衔驶偏命雪烦舅务通殴衔四章节不可压缩流体有旋流动和二维无旋流动四章节不可压缩流体有旋流动和二维无旋流动7/29/2024工程流体力学于是得到速度环量与旋转角速度之间关系的斯托克斯定理：沿封闭曲线的速度环量等于该封闭周线内所有的旋转角速度的面积积分的二倍，称之为旋涡强度I，即和式中 在微元面积 的外法线 上的分量。 （4-13） 谋隋姓像唾嚏瑚曙伊浊水秸篙酋瓢惨准治瑞鉴伏举蜜凤拂覆好忻耀陌煮徽四章节不可压缩流体有旋流动和二维无旋流动四章节不可压缩流体有旋流动和二维无旋流动7/29/202

20、4工程流体力学 由式（4-11）可导出另一个表示有旋流动的量，称为涡量，以 表示之。它定义为单位面积上的速度环量，是一个矢量。它在Z轴方向的分量为 对于流体的空间流动，同样可求得X和Y轴方向涡量的分量 和 。于是得即（4-14） （4-15） 疟矽植涪抱广襄藏羚梯阵很馁上江志熟簿腋誉说党氮乾冰痰掇绒袁谅棋琐四章节不可压缩流体有旋流动和二维无旋流动四章节不可压缩流体有旋流动和二维无旋流动7/29/2024工程流体力学 也就是说，在有旋流动中，流体运动速度 的旋度称为涡量。 由此可见，在流体流动中，如果涡量的三个分量中有一个不等于零，即为有旋流动。如果在一个流动区域内各处的涡量或它的分量都等于零，

21、也就是沿任何封闭曲线的速度环量都等于零，则在这个区域内的流动一定是无旋流动。 下面举两个简单的例子来说明速度环量和旋涡强度的物理意义，以及有旋流动和无旋流动的区别。戴饼疏坛忆斟艇钠靶僚犁盯啡梨杏聋哦车糙禄敢剿挑责趣溅患寐微蟹君纠四章节不可压缩流体有旋流动和二维无旋流动四章节不可压缩流体有旋流动和二维无旋流动7/29/2024工程流体力学【例例4-1】 一个以角速度 按反时针方向作像刚体一样的旋转的流动，如图4-7所示。试求在这个流场中沿封闭曲线的速度环量，并证明它是有旋流动 . (解)【例例4-2】 一个流体绕O点作同心圆的平面流动，流场中各点的圆周速度的大小与该 点半径成反比，即 ，其中C为

22、常数，如图4-8所示。试求在流场中沿封闭曲线的速度环量，并分析它的流动情况。(解)积秆旨狡卑遏棱技脑搓放硕湾力械斩丁跺似永贴艾蹿枝萄挽邑遏稽戏押琼四章节不可压缩流体有旋流动和二维无旋流动四章节不可压缩流体有旋流动和二维无旋流动7/29/2024工程流体力学【解解】 在流场中对应于任意两个半径 和 的圆周速度各为 和 ，沿图中画斜线扇形部分的周界ABCDA的速度环量 可见，在这个区域内是有旋流动。又由于扇形面积 于是 上式正是斯托克斯定理的一个例证。 以上结论可推广适用于圆内任意区域内。返回例题返回例题返回例题返回例题郭推抛谦孰撤局传吓炯矛菊一龄容蒙酱颖诱努咱胆啮佩疫绿越将前鸥扼盲四章节不可压缩

23、流体有旋流动和二维无旋流动四章节不可压缩流体有旋流动和二维无旋流动7/29/2024工程流体力学图4-7 有旋流动中速度环量的计算图4-8 无旋流动中速度环量的计算返回例题返回例题返回例题返回例题晦影锁沟逊抉缀产吴寅罚膜娱卿盎芝氮像懊谗练柔胀醇簇盟坝液雕祸叫氛四章节不可压缩流体有旋流动和二维无旋流动四章节不可压缩流体有旋流动和二维无旋流动7/29/2024工程流体力学 【解解】 沿扇形面积周界的速度环量 可见，在这区域内是无旋流动。这结论可推广适用于任何不包围圆心O的区域内，例如 。若包有圆心( )，该处速度等于无限大，应作例外来处理。现在求沿半径 的圆周封闭曲线的速度环量 上式说明，绕任何一

24、个圆周的流场中，速度环量都不等于零，并保持一个常数，所以是有 旋流动。但凡是绕不包括圆心在内的任何圆周的速度环量必等于零，故在圆心O点处必有旋涡存在，圆心是一个孤立涡点，称为奇点。返回例题返回例题返回例题返回例题嚎条某漳声镍李辞示壬涎辟剐摊钞区饱磊投霄诗效镑芽腕海蚤午滑省瞄恍四章节不可压缩流体有旋流动和二维无旋流动四章节不可压缩流体有旋流动和二维无旋流动7/29/2024工程流体力学第三节 无旋流动的速度势函数 如前所述，在流场中流体微团的旋转角速度 在任意时刻处处为零，即满足 的流动为无旋流动，无旋流动也称为有势流动。 一、速度势函数引入一、速度势函数引入 二二、速度势函数的性质、速度势函数

25、的性质矩幽老噬赔梧厅强誓来诱焙秽架脐荔薪倘蓖怨革么蔼笨爬将京入期冲叮溢四章节不可压缩流体有旋流动和二维无旋流动四章节不可压缩流体有旋流动和二维无旋流动7/29/2024工程流体力学 一、速度势函数引入一、速度势函数引入 由数学分析可知， 是 成为某一标量函数 全微分的充分必要条件。则函数 称为速度势函数。因此，也可以说，存在速度势函数 的流动为有势流动，简称势流。根据全微分理论，势函数 的全微分可写成 于是得（4-16） 呼仪喊怀炉抓差罕伞撤辆腻索胰静巢租斋观裁碑纱粗顽谨嘲遮见粳屠简谢四章节不可压缩流体有旋流动和二维无旋流动四章节不可压缩流体有旋流动和二维无旋流动7/29/2024工程流体力学

26、按矢量分析对于圆柱坐标系，则有于是 从以上分析可知，不论是可压缩流体还是不可压缩流体，也不论是定常流动还是非定常流动，只要满足无旋流动条件，必然存在速度势函数。 （4-17） （4-18） 搽晨盈闸斟芳式全帆乘橱郝咙同渝脖矫到闷冶拽勾愧户能党厦矾配喻理荡四章节不可压缩流体有旋流动和二维无旋流动四章节不可压缩流体有旋流动和二维无旋流动7/29/2024工程流体力学二、速度势函数的性质二、速度势函数的性质 （1）不可压缩流体的有势流动中，势函数 满足拉普拉斯方程，势函数 是调和函数。 将式（4-16）代入到不可压缩流体的连续性方程（3-28）中，则有 式中 为拉普拉斯算子，式（4-19）称为拉普拉

27、 斯方程，所以在不可压流体的有势流动中，速度势必定满足拉普拉斯方程，而凡是满足拉普拉斯方程的函数，在数学分析中称为调和函数，所以速度势函数是一个调和函数。(4-19)(4-19)盛纸毒入乎垄衰涨梳雀求窥服伍涅尾眨徘炳圆奥阵员孪衔瑰肤申娶窗硼痪四章节不可压缩流体有旋流动和二维无旋流动四章节不可压缩流体有旋流动和二维无旋流动7/29/2024工程流体力学 从上可见，在不可压流体的有势流动中，拉普拉斯方程实质是连续方程的一种特殊形 式，这样把求解无旋流动的问题，就变为求解满足一定边界条件下的拉普拉斯方程的问题。 岛尺靡距仙沟昭炳藕注胎抓块悉渔杀槽洼踌追粗骤是勋脂珊押醛护哄慰悉四章节不可压缩流体有旋流

28、动和二维无旋流动四章节不可压缩流体有旋流动和二维无旋流动7/29/2024工程流体力学 （2）任意曲线上的速度环量等于曲线两端点上速度势函数 值之差。而与曲线的形状无关。 根据速度环量的定义，沿任意曲线AB的线积分 这样，将求环量问题，变为求速度势函数值之差的问题。对于任意封闭曲线，若A点和B点重合，速度势函数是单值且连续的，则流场中沿任一条封闭曲线的速度环量等于零，即 。惜稻纹藻绘迎车奎赃茬疵检斑晶殴碾西重河局铬转客爪杉楔亥陨屠华诧福四章节不可压缩流体有旋流动和二维无旋流动四章节不可压缩流体有旋流动和二维无旋流动7/29/2024工程流体力学第四节 二维平面流动的流函数 一、流函数的引入一、

29、流函数的引入 对于流体的平面流动，其流线的微分方程为 ,将其改写成下列形式 （4-20） 在不可压缩流体的平面流动中，速度场必须满足不可压缩流体的连续性方程，即 或 （4-21） 由数学分析可知，式（4-21）是（ ）成为某函数全微分的充分必要条件，以 表示该函数，则有 （4-22）函数称为流场的流函数。由式（4-22）可得 （4-23）供颈红膛枷糯镜劣驶炼寥佩仔养垢呐他一搭酗侨伍你惨早灵傈穷戚蜂株掸四章节不可压缩流体有旋流动和二维无旋流动四章节不可压缩流体有旋流动和二维无旋流动7/29/2024工程流体力学 由式(4-22)，令 ，即 常数，可得流线微分方程式(4-20)。由此可见, 常数的

30、曲线即为流线，若给定一组常数值，就可得到流线簇。或者说，只要给定流场中某一固定点的坐标（ ）代入流函数 ，便可得到一条过该点的确定的流线。因此，借助流函数可以形象地描述不可压缩平面流场。 对于极坐标系，可写成 （4-24） （4-25） 在已知速度分布的情况下，流函数的求法与速度势函数一样，可由曲线积分得出。 至此可看到，在不可压缩平面流动中，只要求出了流函数 ，由式（4-23）或式（4-24）就可求出速度分布。反之，只要流动满足不可压缩流体的连续性方程，不论流场是否有旋，流动是否定常，流体是理想流体还是黏性流体，必然存在流函数 。 这里需说明，等流函数线与流线等同，仅在平面流动时成立。对于三

31、维流动，不存在流函数，也就不存在等流函数线，但流线还是存在的。 桩那疆琉仑桑疏讣驴跋戌揍骏掏嫂禹烩厦忿烽甲活颊鹅留管屋狗蛾敖利改四章节不可压缩流体有旋流动和二维无旋流动四章节不可压缩流体有旋流动和二维无旋流动7/29/2024工程流体力学 二、流函数的性质二、流函数的性质 （1）对于不可压缩流体的平面流动，流函数 永远 满足连续性方程。 将式（4-23）代入式（4-21）得 即流函数永远满足连续性方程。 （2）对于不可压缩流体的平面势流，流函数 满足拉普 拉斯方程，流函数也是调和函数。 对于平面无旋流动， ，则 将式（4-23）代入上式 因此，不可压缩流体平面无旋流动的流函数也满足拉普拉斯方程

32、，也是一个调和函数。 因此，在平面不可压缩流体的有势流场中的求解问题，可以转化为求解一个满足边界条件的 的拉普拉斯方程.宇矣宾稗程稚鸵端伪鄙嘛柳寇蹄腿元付绒蹈痔堕了锚坦栅晌疏笑盔肚附者四章节不可压缩流体有旋流动和二维无旋流动四章节不可压缩流体有旋流动和二维无旋流动7/29/2024工程流体力学 （3）平面流动中，通过两条流线间任一曲线单位厚度的体积流量等于两条流线的流函数之差。这就是流函数 的物理意义。 如图4-9所示，在两流线间任一曲线AB，则通过单位厚度的体积流量为 （4-26）由式（4-26）可知，平面流动中两条流线间通过的流量等于这两条流线上的流函数之差。图4-9 说明流函数物理意义用

33、图膨秆孕家刚横傈禄允吴紊撂琳捍痴候谚在哟绞态哗矛汕抿瞄欧荧梨陈公凛四章节不可压缩流体有旋流动和二维无旋流动四章节不可压缩流体有旋流动和二维无旋流动7/29/2024工程流体力学三、三、 和和 的关系的关系 （1）满足柯西-黎曼条件 如果是不可压缩流体的平面无旋流动，必然同时存在着速度势和流函数，比较式（4-16）和式（4-23），可得到速度势函数和流函数之间存在的如下关系 （4-27） （4-28） 这是一对非常重要的关系式，在高等数学中称作柯西-黎曼条件。因此， 和 互为共轭调和函数，这就有可能使我们利用复变函数这样一种有力的工具求解此类问题。 当势函数 和 流函数二者知其一时，另一个则可利

34、用式（4-27）的关系求出，而至多相差一任意常数。计演拆裤晨洲读纸择潭参稼异钒逮汾塑溪骸捷秒实悍吱侮僚看穷卜喂实仟四章节不可压缩流体有旋流动和二维无旋流动四章节不可压缩流体有旋流动和二维无旋流动7/29/2024工程流体力学（2）流线与等势线正交。 式（4-28）是等势线簇 常数和流线簇 常数互相正交的条件，若在同一流场中绘出相应的一系列流线和等势线，则它们必然构成正交网格，称为流网，如图4-10所示。 图4-10 流网德忠岂宾抹秃歇杰勋苛澎刮柄堡龚赘钢出蝗啮陀咏戮胞赢涝逊瓶赐泌瑶巳四章节不可压缩流体有旋流动和二维无旋流动四章节不可压缩流体有旋流动和二维无旋流动7/29/2024工程流体力学

35、【例例4-3】 有一不可压流体平面流动的速度分布为 。该平面流动是否存在流函数和速度势函数；若存在，试求出其表达式；若在流场中A（1m，1m）处的绝对压强为1.4105Pa，流体的密度1.2kg/m3，则B（2m，5m）处的绝对压强是多少？ 【解解】 （1）由不可压流体平面流动的连续性方程该流动满足连续性方程，流动是存在的，存在流函数。 由于是平面流动 该流动无旋，存在速度势函数。 惩卜吧救峭取憎版乍旦噬咙拌响睁崇彝羹龟胀晓致稍莱络疏邑瓦暴腹稍冕四章节不可压缩流体有旋流动和二维无旋流动四章节不可压缩流体有旋流动和二维无旋流动7/29/2024工程流体力学（2）由流函数的全微分得：积分 由速度势

36、函数的全微分得：积分 （3）由于 ，因此，A和B处的速度分别为 由伯努里方程可得狂凳蹋茂催歼莽教截境箍雍逃职漆逊暮株例蒙阂刹花符舞榨坊搂烛瘫部巧四章节不可压缩流体有旋流动和二维无旋流动四章节不可压缩流体有旋流动和二维无旋流动7/29/2024工程流体力学第五节 基本的平面有势流动 流体的平面有势流动是相当复杂的，很多复杂的平面有势流动可以由一些简单的有势 流动叠加而成。所以，我们首先介绍几种基本的平面有势流动，它包括均匀直线流动，点源和点汇、点涡等 学兜痴猜戴浙殊宗峻漓伍狈絮杏航绝盏酱拯页讨蘸芥亢缨效噪失宾莱鸵畴四章节不可压缩流体有旋流动和二维无旋流动四章节不可压缩流体有旋流动和二维无旋流动7

37、/29/2024工程流体力学 一、均匀直线流动一、均匀直线流动 流体作均匀直线流动时，流场中各点速度的大小相等，方向相同，即 和 。由 式（4-16）和式（4-23），得 于是速度势和流函数各为以上两式中的积分常数 和 可以任意选取，而不影响流体的流动图形（称为流谱）。 啤纤疥膛创巢验缨挠食媒爱呕发凄卤炉塘柱冤旧浙宋构袄顺阴几踪鸳肉兴四章节不可压缩流体有旋流动和二维无旋流动四章节不可压缩流体有旋流动和二维无旋流动7/29/2024工程流体力学若令 ，即得均匀直线流动的速度势和流函数各为 （4-29） （4-30） 由式（4-29）和式（4-30）可知，等势线簇（ 常数）和流线簇（ =常数）互相

38、垂直，如图4-11所示。各流线与轴的夹角等于 。由于流场中各点的速度都相等，根据伯努里方程（3-41），得 常数如果均匀直线流动在水平面上，或流体为气体，一般可以忽略重力的影响，于是 常数 即流场中压强处处相等。枉锑舱持戎薛窘娄摈胺赘贾烟纠瘪棉认珠握诽宫墙哺余否搬俗挛犬奄歌盆四章节不可压缩流体有旋流动和二维无旋流动四章节不可压缩流体有旋流动和二维无旋流动7/29/2024工程流体力学图4-11 均匀直线流的流谱巢硫洁幌驮榜塔呢凄栋央证蓖钝特和穷阁孝较埔之琴汹筛币悄曰概洋胚苇四章节不可压缩流体有旋流动和二维无旋流动四章节不可压缩流体有旋流动和二维无旋流动7/29/2024工程流体力学 二、平面点

39、源和点汇二、平面点源和点汇 如果在无限平面上流体不断从一点沿径向直线均匀地向各方流出，则这种流动称为点源，这个点称为源点（图4-12，a）；若流体不断沿径向直线均匀地从各方流入一点，则这种流动称为点汇，这个点称为汇点（图4-12，b）。显然，这两种流动的流线都是从原点 O发出的放射线，即从源点流出和向汇点流入都只有径向速度 。现将极坐标的原点作为源点或汇点，则灰获宪卧竭染秧氯视资棋哟赠噬诽瞩晤谣晋瑶梦辐钨燎杖庚私普失诛卓倔四章节不可压缩流体有旋流动和二维无旋流动四章节不可压缩流体有旋流动和二维无旋流动7/29/2024工程流体力学图4-12 点源和点汇的流谱点源点汇back算啤秩充塔专霹两酶溺

40、糊杆航抗住爱唇恭笔滦较秽嘉般赊藉眼摄锚洼帮题四章节不可压缩流体有旋流动和二维无旋流动四章节不可压缩流体有旋流动和二维无旋流动7/29/2024工程流体力学 根据流动的连续性条件，流体每秒通过任一半径为 的单位长度圆柱面上的流量 都应该相等，即 常数由此得 （4-31）式中 是点源或点汇在每秒内流出或流入的流量，称为点源强度或点汇强度。对于点源， 与 同向， 取正号；对于点汇， 与异向， 取负号，于是积分得 式中积分常数 是任意给定的，现令 。又由于 ，于是得速度势 （4-32）当 时，速度势 和 速度都变成无穷大，源点和汇点都是奇点。所以速度势 和速度 的表达式（4-31）和式（4-32）只有

41、在源点和汇点以外才能应用。纂指嗣亥晓黎擞甸坚闪驶嘉擞曲遂眯呜送蔫肮兰震夫谤贮嚼纺便盼瓢辖峻四章节不可压缩流体有旋流动和二维无旋流动四章节不可压缩流体有旋流动和二维无旋流动7/29/2024工程流体力学 现在求流函数，由式（4-25）积分得(令式中的积分常数为零) （4-33） 等势线簇（ 常数，即 常数）是同心圆簇（在图4-12中用虚线表示）与流线簇（ 常数，即 常数）成正交。而且除源点或汇点外，整个平面上都是有势流动。如果 平面是无限水平面，则根据伯努里方程（341）式中 为 在处的流体压强，该处的速度为零。 将式（4-31）代入上式，得 （4-34）由式（4-34）可知，压强 随着半径 的

42、减小而降低。当 时， 。图4-13表示当 时，点汇沿半径 的压强分布。 明砖堰河誓章教豁妮奏掳计琵眨否茅争交喻臣天暑菱晶歌森驾爬蓉乞头筋四章节不可压缩流体有旋流动和二维无旋流动四章节不可压缩流体有旋流动和二维无旋流动7/29/2024工程流体力学图4-13 点汇沿半径的压强分布羽狼础召柒稗奈竹沈猩噶匣愧始径仆嘛肇胡植靴勤沈循肉柜厉仍箔砖杰箍四章节不可压缩流体有旋流动和二维无旋流动四章节不可压缩流体有旋流动和二维无旋流动7/29/2024工程流体力学三、点涡三、点涡 设有一旋涡强度为 的无限长直线涡束，该涡束以等角速度 绕自身轴旋转，并带动涡束周围的流体绕其环流。由于直线涡束为无限长，所以可以认

43、为与涡束垂直的所有平面上的流动情况都一样。也就是说，这种绕无限长直线涡束的流动可以作为平面流动来处理。由涡束所诱导出的环流的流线是许多同心圆，如图4-14所示。根据斯托克斯定理可知，沿任一同心圆周流线的速度环量等于涡束的旋涡强度，即 常数于是 （4-35）因此涡束外的速度与半径成反比。若涡束的半径 ，则成为一条涡线，这样的流动称为点涡，又称为纯环流。但当 时， ，所以涡点是一个奇点。狄膏颇青攒前伟稍酚诉走灿改沫烛汛懈毛拾聘凑株妓硝盟皂终缴逻卤宜踏四章节不可压缩流体有旋流动和二维无旋流动四章节不可压缩流体有旋流动和二维无旋流动7/29/2024工程流体力学图4-14 点涡的流谱掀窖艘尧稚粕秃搁熔

44、尚证焊豫伞膛窟痒左垂耕酋岩蚌顺玲嵌械崇氮容域贾四章节不可压缩流体有旋流动和二维无旋流动四章节不可压缩流体有旋流动和二维无旋流动7/29/2024工程流体力学 现在求点涡的速度势和流函数。由于由 积分后得速度势 （4-36）又由于 由 积分后得流函数 （4-37）当 时，环流为反时针方向，如图4-14所示；当 时，环流为顺时针方向。 由式（4-36）和式（4-37）可知，点涡的等势线簇是经过涡点的放射线，而流线簇是同心圆。而且除涡点外，整个平面上都是有势流动。 滨穷唤柿类咋峰埂臼疲邪役迅稀收炽呛毛捡援岸挟唬迫屹凰换悟秉祝霓蓑四章节不可压缩流体有旋流动和二维无旋流动四章节不可压缩流体有旋流动和二维

45、无旋流动7/29/2024工程流体力学 设涡束的半径为 ，涡束边缘上的速度为 ，压强为 ； 时的速度显然为零，而压强为 。代入伯努里方程（3-41），得涡束外区域内的压强分布为 （4-38）由式（4-38）可知，在涡束外区域内的压强随着半径的减小而降低，涡束外缘上的压强为 或 （4-39）所以涡束外区域内从涡束边缘到无穷远处的压强降是一个常数。又由式（4-38）可知，在 处，压强 ，显然这是不可能的。所以在涡束内确实存在如同刚体一样以等角速度旋转的旋涡区域，称为涡核区。由式（4-39）可得涡核的半径堑瞒弓搜纳白俱巾嗣郸卉澜嫩擦阴让霹脓栖蜂蚤镇槐美杀蒋能躯邪磊怖邵四章节不可压缩流体有旋流动和二维

46、无旋流动四章节不可压缩流体有旋流动和二维无旋流动7/29/2024工程流体力学由于涡核内是有旋流动，故流体的压强可以根据欧拉运动微分方程求得。平面定常流动的欧拉运动微分方程为将涡核内任一点的速度 和 代入上两式，得以 和 分别乘以上两式，然后相加，得或积分得休比豆亥飞笛嗽袄靛提铺吟矩号怪首淳草掸赌曰吱莽焊掸美塞擦汐沧最汹四章节不可压缩流体有旋流动和二维无旋流动四章节不可压缩流体有旋流动和二维无旋流动7/29/2024工程流体力学在 处， ，代入上式，得最后得涡核区域内的压强分布为 （4-40）或 （4-40a）于是涡核中心的压强 而涡核边缘的压强 所以 可见，涡核内、外的压强降相等，都等于用涡

47、核边缘速度计算的动压头。涡核内、外的速度分布和压强分布如图4-15所示。 握磕媚乏评魏藐良饥汞尘职轰遥柏喀侣鉴缩舞由匣冯选岁蝴蛇奶嵌撮陌丙四章节不可压缩流体有旋流动和二维无旋流动四章节不可压缩流体有旋流动和二维无旋流动7/29/2024工程流体力学图5-14 涡流中涡核内、外的速度和压强分布浙协滦热和贿裴痔荫蕉饺领佯教牺广款轿奏疟讹坍狂征哼赃许梢弧慧樊晒四章节不可压缩流体有旋流动和二维无旋流动四章节不可压缩流体有旋流动和二维无旋流动7/29/2024工程流体力学第六节 平面势流的叠加流动 从上节可以看到，只有对一些简单的有势流动，才能求出它们流函数和势函数，但当流动较复杂时，根据流动直接求解流

48、函数和势函数往往十分困难。我们可以将一些简单有势流动进行叠加，得到较复杂的流动，这样一来，为求解流动复杂的流场提供了一个有力的工具。因此，本节先介绍势流的叠加原理，然后再介绍几种典型的有实际意义的叠加流动。棺汇疚炉急蚕袒例郧斧匙诱缝庚丽祝匪造频崎锋捷苇小蔷惕赵哆隋脑晃腿四章节不可压缩流体有旋流动和二维无旋流动四章节不可压缩流体有旋流动和二维无旋流动7/29/2024工程流体力学 一、势流叠加原理一、势流叠加原理 前面我们知道，速度势函数和流函数都满足拉普拉斯方程。凡是满足拉普拉斯方程的函数，在数学分析上都称为调和函数，所以速度势函数和流函数都是调和函数。根据调和函数的性质，即若干个调和函数的线

49、性组合仍然是调和函数，可将若干个速度势函数(或流函数)线性组合成一个代表某一有势流动的速度势函数(或流函数)。现将若干个速度势函数 、 、 、叠加，得 （4-41）而 （4-42）显然，叠加后新的速度势函数也满足拉普拉斯方程。同样，叠加后新的流函数也满足拉普拉斯方程，即 （4-43） 钉几沮棱疑粤狗夕壮咯贩齿桓答挞勉左洛阎牲寓匝身潦仗屁侈根洲脂弥纂四章节不可压缩流体有旋流动和二维无旋流动四章节不可压缩流体有旋流动和二维无旋流动7/29/2024工程流体力学 这个叠加原理方法简单，在实际应用上有很大意义，可以应用这个原理把上一节所讨论的几个简单的基本平面有势流动叠加成所需要的复杂有势流动。 将新

50、的速度势函数 分别对 、 和 取偏导数，就等于新的有势流动的速度分别在 、 和 轴方向上的分量： （4-44）或 （4-45）即 （4-46）粘揪围盖粕繁颊巴朽愿寥攘桃伪刃吕抱巧卢蜀汞倪陇绕上碱舒垦啤确讥效四章节不可压缩流体有旋流动和二维无旋流动四章节不可压缩流体有旋流动和二维无旋流动7/29/2024工程流体力学 由此可见，叠加后所得的复杂有势流动的速度为叠加前原来的有势流动速度的矢量和。 由此，可得出一个重要结论：叠加两个或多个不可压平面势流流动组成一个新的复合流动，只要把各原始流动的势函数或流函数简单地代数相加，就可得到该复合流动的势函数或流函数。该结论称为势流的叠加原理。 逐蹈自扳唉凹

51、喳疫阅奴忿思师姨娜懦绞疼勇捆泌匈瞳融爹进拟医恶趋淘纷四章节不可压缩流体有旋流动和二维无旋流动四章节不可压缩流体有旋流动和二维无旋流动7/29/2024工程流体力学 二、螺旋流二、螺旋流 螺旋流是点涡和点汇的叠加。将式（4-36）和式（4-32）相加以及将式（4-37）和式（4-33）相加即得新的有势流动的速度势和流函数 （4-47） （4-48）式中 取反时针方向为正。于是得等势线方程 常数或 （4-49）流线方程为 常数或 （4-50）显然，等势线簇和流线簇是两组互相正交的对数螺旋线簇（图4-16），称为螺旋流。流体从四周向中心流动。捻胀焊握治韶穴普赂贾弛宿破陇衔靳炼出董襟堕郑不漏迹绿岗敏导

52、则墟贤四章节不可压缩流体有旋流动和二维无旋流动四章节不可压缩流体有旋流动和二维无旋流动7/29/2024工程流体力学图4-16 螺旋流的流谱滇囤宗靠允揽蛇腔章顽膀添痛象肝橙滋幽打崔莎脐腐固僳帐埃潞至议倚橙四章节不可压缩流体有旋流动和二维无旋流动四章节不可压缩流体有旋流动和二维无旋流动7/29/2024工程流体力学 研究螺旋流在工程上有重要意义。例如旋流燃烧室、旋风除尘设备及多级离心泵反导叶中的旋转气流即可看成是这种螺旋流。螺旋流的速度分布为 （4-51） （4-52） （4-53）代入伯努里方程（3-41），得流场的压强分布 （4-54） 君蒋洗鼎龚瘩践蓉志焚跑傈摆狸袄犀伯蓝雪宋麦辐在郑突杏较

53、义泼蛋夏馋四章节不可压缩流体有旋流动和二维无旋流动四章节不可压缩流体有旋流动和二维无旋流动7/29/2024工程流体力学 三、偶极流三、偶极流 将流量各为 的点源和 的点汇相距2a距离放在X轴上，叠加后的流动图形如图4-17所示，它的速度势和流函数各为 （4-55） （4-56） 由流线方程（4-56） 常数，得 常数，所以流线是经过源点A和汇点B的圆簇，而且从源点流出的流量全部流入汇点。 箕邪呐误赦掂廖踩誓变殴险横侍盅栓屑述须牧镍攒境花讳娜嚼竣阜宇碳垣四章节不可压缩流体有旋流动和二维无旋流动四章节不可压缩流体有旋流动和二维无旋流动7/29/2024工程流体力学图4-17 点源和点汇的叠加 常

54、数哎耶邪锐意肛桨抚孔斗昂屯攒讨葬傻半删蒋涵催泡惦胜鳖廉掂村寄共陇詹四章节不可压缩流体有旋流动和二维无旋流动四章节不可压缩流体有旋流动和二维无旋流动7/29/2024工程流体力学 现在分析一种在点源和点汇无限接近的同时，流量无限增大（即 ），以至使 保持一个有限常数值 的极限情况。在这种极限情况下的流动称为偶极流， 称为偶极矩或偶极强度。偶极流是有方向的，一般规定由点源指向点汇的方向为正向。如图4-18所示，偶极流指向 轴方向，这时的偶极矩 取正值。 偶极流的速度势可由式（4-55）根据上述极限条件求得，将式（4-55）改写成昌圃鹏头激道酮浆诌浓何沉缩胞鸳失搪钳脯漠吵穴砰撞鲍闺尿兆佣臆予几四章节

55、不可压缩流体有旋流动和二维无旋流动四章节不可压缩流体有旋流动和二维无旋流动7/29/2024工程流体力学 常数 常数图4-18 偶极流的流谱 晶擅挪燥赌抓盛婿造侦洋起窿湖候嚎易烫弟署概森殷镇利台蜒老年沼憎羌四章节不可压缩流体有旋流动和二维无旋流动四章节不可压缩流体有旋流动和二维无旋流动7/29/2024工程流体力学 从图4-19中可知，当A点和B点向原点O无限接近时， ，而且当 ， 时 ， ， ，又由于当 为无穷小时，可以略去高阶项，得 。因此，偶极流的速度势或 （4-57）催法剂位胆人股衷财羌当妹兜置谁约欣按损痞肥骤扎供信靡交爹讽冤科恰四章节不可压缩流体有旋流动和二维无旋流动四章节不可压缩流

56、体有旋流动和二维无旋流动7/29/2024工程流体力学 图4-19 推导偶极流用图 毒肾篱训幸淬瑰碌烛萍逝忠阀斌瘴熟寅蓉祭胜殴添肥趟踞从鸭借粳塘望毫四章节不可压缩流体有旋流动和二维无旋流动四章节不可压缩流体有旋流动和二维无旋流动7/29/2024工程流体力学 在图4-19中，BC为从B点向AP所作的垂线，则又当 ， ， ，所以 ，代入式（4-56）得偶极流的流函数或 （4-58）令式（4-58）等于常数 ，于是得流线方程 （4-59）即流线簇是半径为 、圆心为（0， ），且与轴在原点相切的圆簇，如图4-18中实线所示。 又令式（4-57）等于常数，得等势线方程 （4-60）即等势线簇是半径为

57、、圆心为（ ，0）且与轴在原点相切的圆簇，如图4-18中虚线所示。医鸦瘩咱费团水界街母粳终蕊共瓤蛔琢阵鞘叫蜗骄批车宵鞍立足郊嘶儒膀四章节不可压缩流体有旋流动和二维无旋流动四章节不可压缩流体有旋流动和二维无旋流动7/29/2024工程流体力学 四、绕圆柱体无环量流动四、绕圆柱体无环量流动 将均匀直线流与偶极流叠加，可以得到绕圆柱体无环量流动。设有一在无穷远处速度 为 、平行于X轴、由左向右流的均匀直线流，与在坐标原点O上偶极矩为M、方向与X轴相反的偶极流叠加，如图4-20所示，组合流动的流函数为 （4-61）流线方程 （4-62）选取不同的常数值 ，可得到如图4-20所示的流动图形。对 的所谓零

58、流线的方程为或 ， 副揽杆饿耿抿屋拜微寇棘迭砍沤违婴猛衬歧袄血帐奴肘护馁侥弄鄙铡责党四章节不可压缩流体有旋流动和二维无旋流动四章节不可压缩流体有旋流动和二维无旋流动7/29/2024工程流体力学图4-20 均匀流绕圆柱体无环量流动凳考跑尝哀械封凉桂卞幕酞政浆小例皱吉袜盾招呛强恿纵惜星蜀突驹见浮四章节不可压缩流体有旋流动和二维无旋流动四章节不可压缩流体有旋流动和二维无旋流动7/29/2024工程流体力学由此可知，零流线是一个以坐标原点为圆心、半径 的圆周与正负X轴 和 所构成的图形。该流线到A点处分为两段，沿上、下两个半圆周流到B点，又重新汇合。这个平面组合流动的流函数为 (4-63)同样，也可

59、得到它的速度势 (4-64)以上两式中， ，这是因为 的圆柱体内的流动没有实际意义。 暑禾坷耪似息耸馁除惮沽吩菜舅假近钾辱采诌刀咳绒都舞驴穴辖射励吱供四章节不可压缩流体有旋流动和二维无旋流动四章节不可压缩流体有旋流动和二维无旋流动7/29/2024工程流体力学 流场中任一点的速度分量为 (4-65)在 ， 处， ， 。这表示，在离开圆柱体无穷远处是速度为 的均匀直线流动。在图4-20中的A点（ ，0）和B点( ，0)处， ，A点为前驻点，B点为后驻点。 用极坐标表示的速度分量为 （4-66） 岔酞虚胚巴帧骤云户擞耽档芯戳埃帅缀卷乍摸龟济撮紧稀甚裤榨氏恍什绳四章节不可压缩流体有旋流动和二维无旋流

60、动四章节不可压缩流体有旋流动和二维无旋流动7/29/2024工程流体力学沿包围圆柱体圆周的速度环量为所以，均匀直线流绕圆柱体的平面流动是没有速度环量的。因此，一个速度为 的均匀直线流绕半径为 的圆柱体无环量的平面流动，可以用由这个均匀直线流与偶极矩 的偶极流叠加而成的平面组合流动来代替。 当 ，在圆柱面上 （4-67）这说明，流体在圆柱面上各点的速度都是沿切线方向的，也就是说理想流体绕圆柱体无环量的平面流动不会与圆柱面发生分离。霄贬阔碌氢济剃搐椎脾侩撕浇凳宵饯稻谴洼绵粕坚孔紧扛纳绍三硅姜住邻四章节不可压缩流体有旋流动和二维无旋流动四章节不可压缩流体有旋流动和二维无旋流动7/29/2024工程流

61、体力学 由式（4-67）可知，在圆柱面上的速度是按照正弦曲线规律分布的，如图4-21所示。在（图4-20中的B点）和（图4-20中的A点）处，；在处，达到最大值，与圆柱体的半径无关，而等于无穷远处速度的两倍。由伯努里方程（3-41）可求得不可压缩理想流体的圆柱面上压强分布的公式，即将式（4-67）代入上式，得 (4-68)在工程上常用无量纲的压强系数来表示流体的压强分布，它定义为 (4-69)将式（4-68）代入上式，得 (4-70)无穷远处流体的压强 竞蛊孵焕腕满谬予指惨迈佬素铸荒淘邹棘均讼植绥哆姆迂靛嘱锻忆藤战蹦四章节不可压缩流体有旋流动和二维无旋流动四章节不可压缩流体有旋流动和二维无旋流

62、动7/29/2024工程流体力学图4-21 均直流绕圆柱体无环量流动中圆柱面上的速度分布遵傣畅矫饵默胁洼铅怪泼骂睹责络扇尖渴狭醇疆钡孝喇蒂干诺榆良弯段忧四章节不可压缩流体有旋流动和二维无旋流动四章节不可压缩流体有旋流动和二维无旋流动7/29/2024工程流体力学 根据式（4-70）计算出理论无量纲压强系数曲线如图4-22中实线所示。注意:在计算时， 角是从前驻点A（ ）起沿顺时针方向增加。在前驻点A（ ）上，速度等于零，压强达到最大值， ；垂直于来流方向的最大截面( )上，速度增加到最大值，压强降到最小值， ；在后驻点B（ ）上，速度又降到零，压强又回升到最大值, 。这种流动在圆柱面上的压强分

63、布上下、前后都是对称的，因此流体作用在圆柱面上的压强合力等于零。由于流体作用在圆柱面上的压强合力可分为与来流方向垂直的升力和与来流方向平行的阻力。因此，无黏性的理想流体绕圆柱体无环量流动时，圆柱体上既不承受升力，也不承受阻力。不承受升力与实际情况是相符合的，但是不承受阻力则与实际情况大不相符,这就是著名的达朗伯（JRdAlembert）疑题拂株淑溃普乒皋饯虫淬裹签硼很供妻毒聘啼骗帆镀紧捍窟某防荡津诡瞄贤四章节不可压缩流体有旋流动和二维无旋流动四章节不可压缩流体有旋流动和二维无旋流动7/29/2024工程流体力学事实上，有黏性的实际流体绕圆柱体无环量流动时，在圆柱面上流动方向的压强分布是不对称的

64、。这是由于实际流体存在着黏性，当流体绕流圆柱体时，从前驻点开始在圆柱面上逐渐形成一层边界层（在第五章中讲述）。流体在圆柱体的前半部的流动是降压增速，边界层处于较稳定状态。到圆柱体的后半部变为升压减速流动，容易发生边界层分离，在圆柱体后面形成尾涡区，压强下降。破坏了圆柱体面上前后压强分布的对称性，使圆柱体前后产生压强差，形成压差阻力。图4-22中所示的实验所得的亚临界雷诺数下（层流）的压强分布曲线（虚线）比超临界雷诺数下（紊流）的压强分布曲线（点划线）更远离理论曲线。根据实验所得，在亚临界雷诺数下层流边界层的分离和超临界雷诺数下紊流边界层的分离分别发生在大约 和附近。僵溪辖腋怔谷椒隘珠舔诺荧需滋惹雕痕愉讣筋忘米资淮蛔推危蝇羔唬寄梢四章节不可压缩流体有旋流动和二维无旋流动四章节不可压缩流体有旋流动和二维无旋流动7/29/2024工程流体力学图4-22 压强系数沿圆柱面的分布理论线 超临界 亚临界 忻朵交锗刘嫡叹蠢玛筏叔扯烷囊捉穆禁乌恢摇骚烛涌眶汽埔汾药葫自稳诗四章节不可压缩流体有旋流动和二维无旋流动四章节不可压缩流体有旋流动和二维无旋流动7/29/2024工程流体力学