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1、专题四开放探索问题1.1.主要类型主要类型: :(1)(1)条件开放探索问题条件开放探索问题(2)(2)结论开放探索问题结论开放探索问题(3)(3)条件和结论双重探索问题条件和结论双重探索问题2.2.规律方法规律方法(1)(1)开放探索性问题是指试题的命题中缺少一定的条件开放探索性问题是指试题的命题中缺少一定的条件或无明确的结论或无明确的结论, ,需要经过推断需要经过推断, ,补充并加以证明的题补充并加以证明的题型型, ,既是中考的热点题型既是中考的热点题型, ,也是中考命题中具有挑战性也是中考命题中具有挑战性试题试题. .(2)(2)问题一般没有明确的条件或结论问题一般没有明确的条件或结论,
2、 ,没有固定的形式没有固定的形式和方法和方法, ,需要自己通过观察、分析、比较、概括、推理、需要自己通过观察、分析、比较、概括、推理、判断等探索活动来确定所需求的结论、条件或方法判断等探索活动来确定所需求的结论、条件或方法. .这这类题主要考查学生分析问题、解决问题的能力和创新类题主要考查学生分析问题、解决问题的能力和创新意识意识. .3.3.渗透的思想渗透的思想: :数形结合、转化思想、分类讨论等数形结合、转化思想、分类讨论等. .类型一条件开放探索类型一条件开放探索【考点解读考点解读】1.1.考查范畴考查范畴: :条件开放探索问题包括补充条件型、探索条件开放探索问题包括补充条件型、探索条件
3、型和条件变化型条件型和条件变化型. .2.2.考查角度考查角度: :已知题目的结论已知题目的结论, ,但是缺少确定的条件但是缺少确定的条件, ,而而满足结论的条件往往不是唯一的满足结论的条件往往不是唯一的. .【典例探究典例探究】【典例典例1 1】(2019(2019周口二模周口二模) )如图如图, ,在在RtABCRtABC中中, ,B=90,AB=6,CDB=90,AB=6,CD平分平分ACBACB交交ABAB于点于点D,D,点点O O在在ACAC上上, ,以以COCO为半径的圆经过点为半径的圆经过点D,AED,AE切切O O于点于点E.E.(1)(1)求证求证:AD=AE.:AD=AE.
4、(2)(2)填空填空: :当当ACB=_ACB=_时时, ,四边形四边形ADOEADOE是正方形是正方形;当当BC=_BC=_时时, ,四边形四边形ADCEADCE是菱形是菱形.【思路点拨思路点拨】(1)(1)由由CDCD是角平分线得出是角平分线得出ACD=DCB,ACD=DCB,根根据据OC=ODOC=OD可知可知ODC=OCD,ODC=OCD,进而得出进而得出ODC=DCB,ODC=DCB,则则ODBC,ODBC,证出证出ABAB是圆的切线是圆的切线, ,利用切线长定理判断出利用切线长定理判断出AE=AD.AE=AD.(2)(2)当四边形当四边形ADOEADOE是正方形时是正方形时, ,利
5、用正方形的性质解利用正方形的性质解答即可答即可; ;当四边形当四边形ADCEADCE是菱形时是菱形时, ,利用菱形的性质解答即可利用菱形的性质解答即可. .【自主解答自主解答】略略【规律方法规律方法】解决条件开放类问题的方法解决条件开放类问题的方法从所给的结论出发从所给的结论出发, ,设想出合乎要求的一些条件设想出合乎要求的一些条件, ,逐一逐一列出列出, ,运用所学的定理运用所学的定理, ,进行逻辑推理进行逻辑推理, ,从而找出满足结从而找出满足结论的条件论的条件. .【题组过关题组过关】1.1.如图如图, ,在在ABCABC中中, ,点点D,ED,E分别在边分别在边AC,ABAC,AB上上
6、,BD,BD与与CECE交交于点于点O,O,给出下列三个条件给出下列三个条件:EBO=DCO;BE=CD;OB=OC.:EBO=DCO;BE=CD;OB=OC.(1)(1)上述三个条件中上述三个条件中, ,由哪两个条件可以判定由哪两个条件可以判定ABCABC是等是等腰三角形腰三角形?(?(用序号写出所有成立的情形用序号写出所有成立的情形) )(2)(2)请选择请选择(1)(1)中的一种情形中的一种情形, ,写出证明过程写出证明过程. . 【解析解析】(1);.(1);.(2)(2)选选证明如下证明如下: :如图如图, ,在在BOEBOE和和CODCOD中中, ,EBO =DCO,EOB=DOC
7、,BE=CD,EBO =DCO,EOB=DOC,BE=CD,BOE COD(AAS).BOE COD(AAS).BO=CO.OBC=OCB.BO=CO.OBC=OCB.EBO+OBC=DCO+OCB.EBO+OBC=DCO+OCB.即即ABC=ACB.AB=AC.ABC=ACB.AB=AC.ABCABC是等腰三角形是等腰三角形. .选选证明如下证明如下: :如图如图, ,在在BOCBOC中中, ,OB=OC,1=2.OB=OC,1=2.EBO=DCO,EBO=DCO,EBO+1=DCO+2.EBO+1=DCO+2.即即ABC=ACB.AB=AC.ABC=ACB.AB=AC.ABCABC是等腰三
8、角形是等腰三角形. .2.(20192.(2019衡阳中考衡阳中考) )如图如图, ,在等边在等边ABCABC中中,AB=6 cm,AB=6 cm,动动点点P P从点从点A A出发以出发以1 cm/s1 cm/s的速度沿的速度沿ABAB匀速运动匀速运动. .动点动点Q Q同同时从点时从点C C出发以同样的速度沿出发以同样的速度沿BCBC的延长线方向匀速运动的延长线方向匀速运动, ,当点当点P P到达点到达点B B时时, ,点点P,QP,Q同时停止运动同时停止运动. .设运动时间为设运动时间为t(s),t(s),过点过点P P作作PEACPEAC于于E,E,连接连接PQPQ交交ACAC边于边于D
9、.D.以以CQ,CECQ,CE为为边作平行四边形边作平行四边形CQFE.CQFE.世纪金榜导学号世纪金榜导学号(1)(1)当当t t为何值时为何值时,BPQ,BPQ为直角三角形为直角三角形? ?(2)(2)是否存在某一时刻是否存在某一时刻t,t,使点使点F F在在ABCABC的平分线上的平分线上? ?若若存在存在, ,求出求出t t的值的值, ,若不存在若不存在, ,请说明理由请说明理由. .(3)(3)求求DEDE的长的长. .(4)(4)取线段取线段BCBC的中点的中点M,M,连接连接PM,PM,将将BPMBPM沿直线沿直线PMPM翻折翻折, ,得得BPM,BPM,连接连接AB,AB,当当
10、t t为何值时为何值时,AB,AB的值最小的值最小? ?并并求出最小值求出最小值. .略略类型二结论开放探索类型二结论开放探索【考点解读考点解读】1.1.考查范畴考查范畴: :结论开放型问题主要有两种结论开放型问题主要有两种: :一是判断结一是判断结论是否成立论是否成立, ,二是判断猜想结论二是判断猜想结论. .2.2.考查角度考查角度: :设计例题设计例题, ,通过已知条件进行逻辑推理通过已知条件进行逻辑推理, ,判判断结论是否成立或猜想结论断结论是否成立或猜想结论. .【典例探究典例探究】典例典例2(20192(2019绍兴中考绍兴中考) )如图如图1 1是实验室中的一种摆动是实验室中的一
11、种摆动装置装置,BC,BC在地面上在地面上, ,支架支架ABCABC是底边为是底边为BCBC的等腰直角三角的等腰直角三角形形, ,摆动臂摆动臂ADAD可绕点可绕点A A旋转旋转, ,摆动臂摆动臂DMDM可绕点可绕点D D旋转旋转, ,AD=30,DM=10.AD=30,DM=10. (1) (1)在旋转过程中在旋转过程中, ,当当A,D,MA,D,M三点在同一直线上时三点在同一直线上时, ,求求AMAM的长的长. .当当A,D,MA,D,M三点为同一直角三角形的顶点时三点为同一直角三角形的顶点时, ,求求AMAM的长的长. .(2)(2)若摆动臂若摆动臂ADAD顺时针旋转顺时针旋转90,90,
12、点点D D的位置由的位置由ABCABC外外的点的点D D1 1转到其内的点转到其内的点D D2 2处处, ,连接连接D D1 1D D2 2, ,如图如图2,2,此时此时ADAD2 2C=135,CDC=135,CD2 2=60,=60,求求BDBD2 2的长的长. .【思路点拨思路点拨】(1)(1)分两种情形分别求解即可分两种情形分别求解即可. .显然显然MADMAD不能为直角不能为直角. .当当AMDAMD为直角时为直角时, ,根据根据AMAM2 2=AD=AD2 2-DM-DM2 2, ,计算即可计算即可, ,当当ADMADM为直角时为直角时, ,根据根据AMAM2 2=AD=AD2 2
13、+DM+DM2 2, ,计算即可计算即可. .(2)(2)连接连接CDCD1 1. .首先利用勾股定理求出首先利用勾股定理求出CDCD1 1, ,再利用全等三再利用全等三角形的性质证明角形的性质证明BDBD2 2=CD=CD1 1即可即可. .【自主解答自主解答】略略【规律方法规律方法】解答结论开放问题的方法解答结论开放问题的方法(1)(1)给出问题的条件给出问题的条件, ,根据条件探索相应的结论根据条件探索相应的结论, ,并且符并且符合条件的结论往往呈现多样性合条件的结论往往呈现多样性, ,或者相应的结论的或者相应的结论的“存存在性在性”需要进行推断需要进行推断, ,甚至探求条件在变化中的结
14、论甚至探求条件在变化中的结论. .(2)(2)解答此类题要充分利用条件进行大胆而合理地猜想解答此类题要充分利用条件进行大胆而合理地猜想, ,发现规律发现规律, ,得出结论得出结论, ,主要考查发散性思维和对基本知主要考查发散性思维和对基本知识的应用能力识的应用能力. . 【题组过关题组过关】1.(20191.(2019枣庄中考枣庄中考) )如图如图, ,在在RtABCRtABC中中,ABC=90,ABC=90,以以ABAB为直径作为直径作O,O,点点D D为为O O上一点上一点, ,且且CD=CB,CD=CB,连接连接DODO并并延长交延长交CBCB的延长线于点的延长线于点E.E.(1)(1)
15、判断直线判断直线CDCD与与O O的位置关系的位置关系, ,并说明理由并说明理由; ;(2)(2)若若BE=2,DE=4,BE=2,DE=4,求圆的半径及求圆的半径及ACAC的长的长. . 【解析解析】(1)CD(1)CD与与O O相切相切, ,理由如下理由如下: :连接连接OC.OC.CB=CD,CO=CO,OB=OD,CB=CD,CO=CO,OB=OD,OCBOCD(SSS),OCBOCD(SSS),ODC=OBC=90,ODC=OBC=90,ODDC,DCODDC,DC是是O O的切线的切线. .(2)(2)设设O O的半径为的半径为r.r.在在RtOBERtOBE中中,OE,OE2 2
16、=EB=EB2 2+OB+OB2 2, ,(4-r)(4-r)2 2=2=22 2+r+r2 2,r=1.5,r=1.5,tan E= tan E= ,CD=BC=3, ,CD=BC=3,在在RtABCRtABC中中,AC= ,AC= 圆的半径为圆的半径为1.5,AC1.5,AC的长为的长为 . . 2.2.在一个不透明的口袋里装有四个分别标有在一个不透明的口袋里装有四个分别标有1,2,3,41,2,3,4的的小球小球, ,它们的形状、大小等完全相同它们的形状、大小等完全相同. .王明先从口袋里王明先从口袋里随机不放回地取出一个小球随机不放回地取出一个小球, ,记下数字为记下数字为x;x;王红
17、在剩下王红在剩下的三个小球中随机取出一个小球的三个小球中随机取出一个小球, ,记下数字记下数字y.y.世纪金榜导学号世纪金榜导学号(1)(1)计算由计算由x,yx,y确定的点确定的点(x,y)(x,y)在函数在函数y=-x+6y=-x+6图象上的概图象上的概率率. .(2)(2)王明、王红约定做一个游戏王明、王红约定做一个游戏, ,其规则是其规则是: :若若x,yx,y满足满足xy6,xy6,则王明胜则王明胜; ;若若x,yx,y满足满足xy6,xy6,则王红胜则王红胜. .这个游戏规这个游戏规则公平吗则公平吗? ?说明理由说明理由; ;若不公平若不公平, ,怎样修改游戏规则才对怎样修改游戏规
18、则才对双方公平双方公平? ?略略类型三条件和结论双重探索类型三条件和结论双重探索【考点解读考点解读】1.1.考查范畴考查范畴: :综合开放探索问题往往需要对条件和结论综合开放探索问题往往需要对条件和结论进行双重探索进行双重探索. .2.2.考查角度考查角度: :通过设置条件不完整、结论不确定的问题通过设置条件不完整、结论不确定的问题, ,考查逻辑推理能力和探究能力考查逻辑推理能力和探究能力. .【典例探究典例探究】典例典例3 3如图如图,E,F,E,F是平行四边形是平行四边形ABCDABCD对角线对角线BDBD上的两点上的两点, ,给出下列三个条件给出下列三个条件: :BE=DF,AF=CE,
19、BE=DF,AF=CE,AEB=CFD.AEB=CFD.(1)(1)请你从中选择一个适当的条件请你从中选择一个适当的条件_(_(填序号填序号),),使四边形使四边形AECFAECF是平行四边形是平行四边形, ,并加以证并加以证明明;（或（或，答案不，答案不唯一）唯一）(2)(2)任选一个条件能使四边形任选一个条件能使四边形AECFAECF成为平行四边形的成为平行四边形的概率是概率是_._.【思路点拨思路点拨】(1)(1)选选作条件作条件, ,连接连接AC,AC,交交BDBD于点于点O,O,首先首先根据平行四边形的性质可得根据平行四边形的性质可得AO=CO,BO=DO,AO=CO,BO=DO,再
20、加上条件再加上条件BE=DF,BE=DF,可得可得EO=FO,EO=FO,进而可证出四边形进而可证出四边形AECFAECF是平行四边是平行四边形形; ;选选作条件作条件, ,连接连接AC,AC,交交BDBD于点于点O,O,首先证明首先证明ABEABECDFCDF可得可得BE=DF,BE=DF,再根据平行四边形的性质可得再根据平行四边形的性质可得AO=CO,BO=DO,AO=CO,BO=DO,再加上条件再加上条件BE=DF,BE=DF,可得可得EO=FO,EO=FO,进而可证进而可证出四边形出四边形AECFAECF是平行四边形是平行四边形. .(2)(2)根据概率公式根据概率公式: :随机事件随
21、机事件A A的概率的概率P(A)=P(A)=事件事件A A可能出可能出现的结果数现的结果数所有可能出现的结果数所有可能出现的结果数. .【规律方法规律方法】条件和结论的双重探索型问题解决方法条件和结论的双重探索型问题解决方法(1)(1)只给出若干个论断只给出若干个论断, ,题目条件和结论都不确定题目条件和结论都不确定, ,要求要求根据给出的论断组合成一个真命题根据给出的论断组合成一个真命题, ,不同的组合方式会不同的组合方式会产生不同的真命题产生不同的真命题, ,具有条件、结论的双开放性具有条件、结论的双开放性, ,由于由于可能组合成假命题可能组合成假命题, ,因此要掌握常用的几何证明方法和因
22、此要掌握常用的几何证明方法和基本性质、定理基本性质、定理. . (2)(2)对于一些条件不完整对于一些条件不完整, ,结论不确定的数学问题结论不确定的数学问题, ,要依要依据题目的要求据题目的要求, ,通过观察、比较、分析、综合、抽象、通过观察、比较、分析、综合、抽象、概括和必要的逻辑思想去编制符合要求的结论概括和必要的逻辑思想去编制符合要求的结论. .【题组过关题组过关】1.1.观察函数图象观察函数图象, ,并根据所获得的信息回答问题并根据所获得的信息回答问题: :(1)(1)折线折线OABOAB表示某个实际问题的函数图象表示某个实际问题的函数图象, ,请你编写一请你编写一道符合图象意义的应
23、用题道符合图象意义的应用题. .(2)(2)根据你所给出的应用题根据你所给出的应用题, ,分别指出分别指出x x轴轴,y,y轴所表示的轴所表示的意义意义, ,并写出并写出A,BA,B两点的坐标两点的坐标. .(3)(3)求出图象求出图象ABAB的函数解析式的函数解析式, ,并注明自变量并注明自变量x x的取值范的取值范围围. .【解析解析】答案不唯一答案不唯一. .(1)(1)水塔上面的蓄水池深水塔上面的蓄水池深8 8米米, ,往里蓄满水用往里蓄满水用5 5分钟分钟, ,接着接着打开底部的排水管放完全部的水用去了打开底部的排水管放完全部的水用去了1010分钟分钟. .(2)x(2)x轴表示时间
24、轴表示时间( (分分),y),y轴表示蓄水池的深度轴表示蓄水池的深度( (米米).).A(5,8),B(15,0).A(5,8),B(15,0).(3)(3)设图象设图象ABAB的函数解析式为的函数解析式为y=kx+b.y=kx+b.把把A(5,8),B(15,0)A(5,8),B(15,0)代入上式代入上式, ,得得 解得解得 所以图象所以图象ABAB的函数解析式为的函数解析式为y= x+12(5x15). y= x+12(5x15). 2.2.如图如图, ,在等腰直角三角形在等腰直角三角形ABCABC中中,ACB=90,ACB=90,AC=BC=4,DAC=BC=4,D是是ABAB的中点的
25、中点,E,F,E,F分别是分别是AC,BCAC,BC上的点上的点( (点点E E不不与端点与端点A,CA,C重合重合),),且且AE=CF,AE=CF,连接连接EFEF并取并取EFEF的中点的中点O,O,连接连接DODO并延长至点并延长至点G,G,使使GO=OD,GO=OD,连接连接DE,DF,GE,GF.DE,DF,GE,GF.世纪金世纪金榜导学号榜导学号(1)(1)判断四边形判断四边形EDFGEDFG的形状并进行证明的形状并进行证明. .(2)(2)当点当点E E在什么位置时在什么位置时, ,四边形四边形EDFGEDFG的面积最小的面积最小? ?并求并求四边形四边形EDFGEDFG面积的最小值面积的最小值. .略略
