《高三数学直线和平面垂直与平面和平面垂直2课时》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高三数学直线和平面垂直与平面和平面垂直2课时（30页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、直线和平面垂直直线和平面垂直与平面和平面垂直与平面和平面垂直、(1)(1)直直线线与与平平面面垂垂直直的的定定义义：如如果果一一条条直直线线和和一一个个平平面面内内的的任任何何一一条条直直线线都都垂垂直直，那那么么就就称称这这条条直直线线和和这个平面垂直。这个平面垂直。(2)(2)直线与平面垂直的判定：常用方法有：直线与平面垂直的判定：常用方法有：判定定理判定定理: : b, ab b, ab aa（线面垂直性质定理线面垂直性质定理）,a ,a aa（面面平行性质定理面面平行性质定理），=l=l，alal，a a aa （面面垂直性质定理面面垂直性质定理） 1.直线与平面垂直的判定直线与平面垂
2、直的判定2直线与平面垂直的性质直线与平面垂直的性质baba 类别类别语言表述语言表述图图示示字母表示字母表示应应用用性性质质如果一条直线和如果一条直线和一个平面垂直一个平面垂直,那么这条直线和那么这条直线和这个平面内的任这个平面内的任何一条直线都垂何一条直线都垂直直a b证两证两条直条直线垂线垂直直如果两条直线同如果两条直线同垂直于一个平面垂直于一个平面,那么这两条直那么这两条直线平行线平行a b证两证两条直条直线平线平行行距离距离3点到平面的距离点到平面的距离从平面外一点引一个平面的垂线，这个点和垂足间从平面外一点引一个平面的垂线，这个点和垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距离的距离叫做这个
3、点到这个平面的距离4直线和平面的距离直线和平面的距离一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到这一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线和平面的距离个平面的距离，叫做这条直线和平面的距离一个平面的斜线和它在这个平面上的射影的夹角，一个平面的斜线和它在这个平面上的射影的夹角，叫做这条斜线和这个平面所成的角叫做这条斜线和这个平面所成的角(或斜线和平面的夹或斜线和平面的夹角角)如果直线和平面垂直，那么就说直线和平面所成如果直线和平面垂直，那么就说直线和平面所成的角是直角；的角是直角；如果直线和平面平行或在平面内，那么如果直线和平面平行或在平面内，那么就说直线和平面所
4、成的角是就说直线和平面所成的角是0 的角的角平面的斜线和它在平面内的射影所成的角，是这条平面的斜线和它在平面内的射影所成的角，是这条斜线和这个平面内任一条直线所成的角中斜线和这个平面内任一条直线所成的角中最小的角最小的角注意：注意：直线和平面所成角的范围和最小性直线和平面所成角的范围和最小性5.直线和平面所成的角直线和平面所成的角斜线长定理斜线长定理从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中，从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中，射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长；长；相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较相等的斜线
5、段的射影相等，较长的斜线段的射影也较长；长；垂线段比任何一条斜线段都短垂线段比任何一条斜线段都短重要公式重要公式如图，已知如图，已知OB 平面平面 于于B，OA是平面是平面 的斜线，的斜线，A为为斜足，直线斜足，直线AC 平面平面 ，设，设 OAB= 1，又，又 CAB= 2， OAC= 那么那么cos =cos 1 cos 2CDABO6三垂线定理和三垂线定理的逆定理三垂线定理和三垂线定理的逆定理名称名称语言表述语言表述字母表示字母表示应应用用三垂线三垂线定定理理在平面内的一条在平面内的一条直线直线,如果和这如果和这个平面的一条斜个平面的一条斜线的射影垂直线的射影垂直,那么它也和这条那么它也
6、和这条斜线垂直斜线垂直.证两直线垂直证两直线垂直作点线距作点线距作二面角作二面角的平面角的平面角三垂线三垂线定理的定理的逆定理逆定理在平面内的一条在平面内的一条直线直线,如果和这如果和这个平面的一条斜个平面的一条斜线垂直线垂直,那么它那么它也和这条斜线的也和这条斜线的射影垂直射影垂直.同同上上1 1）二面角的定义：）二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面从一条直线出发的两个半平面 所组成的图形叫做二面角所组成的图形叫做二面角3）二面角的大小，）二面角的大小，可以用它的平面角来度量可以用它的平面角来度量.范围是：范围是：2）二面角的平面角：）二面角的平面角：以两面角的棱上任意一点以两面角的棱上
7、任意一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线所成的角叫做二面角的平面角条射线所成的角叫做二面角的平面角。0BA定义法定义法三垂线定理法三垂线定理法垂面法垂面法7二面角二面角4）直两面角：）直两面角：平面角是直角的二面角叫做直二面角平面角是直角的二面角叫做直二面角.5）两个平面垂直）两个平面垂直8两个平面垂直的判定和性质两个平面垂直的判定和性质BaOAaBaOAla类类语言表述语言表述图图示示字母表示字母表示应应用用判判定定根据定义证明两根据定义证明两平面所成的二面角平面所成的二面角是直二面角是直二面角 AOB是二面角是二面角 a 的平面角，的平
8、面角，且且 AOB=90 ，则，则 证证两两平平面面垂垂直直如果一个平面经过如果一个平面经过另一个平面的一条另一个平面的一条垂线，那么这两个垂线，那么这两个平面互相垂直平面互相垂直 性性质质如果两个平面垂直，如果两个平面垂直，那么它们所成二面那么它们所成二面角的平面角是直角角的平面角是直角 ， AOB是二是二面角面角 a 的平面的平面角，则角，则 AOB=90 证两证两条直条直线垂线垂直直如果两个平面垂直，如果两个平面垂直，那么在一个平面内那么在一个平面内垂直于它们交线的垂直于它们交线的直线垂直于另一个直线垂直于另一个平面平面a 证直证直线和线和平面平面垂直垂直【例题讲解】例题讲解】【例【例1
9、 1】设设a a，b b是两条异面直线，在下列命题中正是两条异面直线，在下列命题中正确的是（确的是（ ）A.A.有且仅有一条直线与有且仅有一条直线与a a，b b都垂直；都垂直； B.B.有一个平面与有一个平面与a a，b b都垂直；都垂直；C.C.过直线过直线a a有且仅有一个平面与有且仅有一个平面与b b平行；平行；D.D.过空间中任一点必可作一条直线与过空间中任一点必可作一条直线与a a，b b都相交都相交. . C C已知已知m m，l l是直线，是直线，是平面，给出下列命题：是平面，给出下列命题：A.A.若若l l垂直于垂直于内的两条相交直线，则内的两条相交直线，则ll； B.B.若
10、若l l平行于平行于，则则l l平行于平行于内的所有直线；内的所有直线；C.C.四面体中最多可以有四个面是直角三角形四面体中最多可以有四个面是直角三角形; ; D.D.若若m ,l,m ,l,且且,则则mlml其中正确命题的是其中正确命题的是_ACD【例【例1 1】,是两个不同的平面，是两个不同的平面，m m ，n n是平面是平面及及之外之外两条不同的直线，给出四个论断：两条不同的直线，给出四个论断：（A A）mn mn （B B）m m （C C） （D D）nn；以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题写出你认为正
11、确的一个命题_例例2 2：如图 ，在正方体ABCDA1B1C1D1 中，M为CC1 的中点，AC交BD于点O，求证：A1O平面MBD 。 E【例【例3 3】如图，四边形如图，四边形ABCDABCD为正方形，为正方形，SASA平面平面ABCDABCD，过过A A且垂直且垂直SCSC的平面分别交的平面分别交SBSB、SCSC、SDSD于于E E、F F、G G，求证：求证：AESBAESB，AGSD.AGSD. 【例【例4 4】如图，在直三棱柱如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面中，底面ABC是直角三角形，是直角三角形，ABC=900，2AB=BC=BB1=a，且，且A1CAC1=D，BC
12、1B1C=E，截面，截面ABC1与截面与截面A1B1C交交于于DE.（1）A1B1平面平面BB1C1C；（；（2）求证：）求证：A1CBC1；（3）求证：）求证：DE平面平面BB1C1C.例例5 5：如图，在棱长为：如图，在棱长为a a 的正方体的正方体ABCDABCDA A1 1B B1 1C C1 1D D中中, , E E、F F分别为分别为D D1 1C C1 1与与ABAB的中点。的中点。（1 1）求）求A A1 1B B1 1与截面与截面A A1 1ECFECF所成的角；所成的角；（2 2）求点）求点B B到截面到截面A A1 1ECFECF的距离。的距离。L【例例6】如下图，过如
13、下图，过S引三条长度相等但不共面的线段引三条长度相等但不共面的线段SA、SB、SC，且，且ASB=ASC=60，BSC=90，求证：平面求证：平面ABC平面平面BSC.SBCAO练练习习：如如图图平平面面，四四边边形形是是矩矩 形，、分别是、形，、分别是、的中点的中点. .) )求平面与平面所成二面角的大小；求平面与平面所成二面角的大小； ) )求证：平面求证：平面平面平面 PA【例【例7 7】如图如图, ,四棱锥四棱锥P-ABCD的底面是矩形的底面是矩形, ,PA 平平面面ABCD,E,F分别是分别是AB,PD的中点的中点, ,又二面角又二面角P-CD-B为为4545。1)1)求证求证: :
14、AF/平面平面PEC2)求证求证: :平面平面PEC 平面平面PCD3)设设AD=2,CD= ,求点求点A到平面到平面PEC的距离的距离(1)(1)求证：平面求证：平面平面。平面。(2)(2)求二面角的平面角的正切值求二面角的平面角的正切值 【例例8 8】如如图图正正方方体体中中，、分分别别是是、的中点的中点. .EA1【例例9】已知正三棱柱已知正三棱柱ABCA1B1C1，若过面对角线，若过面对角线AB1与另一面对角线与另一面对角线BC1平行的平面交上底面平行的平面交上底面A1B1C1的的一边一边A1C1于点于点D.（1）确定）确定D的位置，并证明你的结论；的位置，并证明你的结论；（2）证明：
15、平面）证明：平面AB1D平面平面AA1D；（3）若）若AB AA1=，求平面，求平面AB1D与平面与平面AB1A1所成所成角的大小角的大小.例例10： 在四棱锥在四棱锥P-ABCD中，中，ABCD为正方形，为正方形，PA平面平面ABCD，PAABa，E为为BC中点。中点。（1）求平面）求平面PDE与平面与平面PAB所成二面角的大小；所成二面角的大小；（2）求平面）求平面PBA与平面与平面PDC所成二面角的大小所成二面角的大小PADCBEFOPADCBMNQCDEA：在120的二面角 , ，已知点A和B到棱的距离分别为2和4，且AB=10。 求（1）直线AB与棱a所成的角； （2）直线AB与平面
16、所成的角。 【知识方法总结知识方法总结】 1.线面垂直关系的判定和证明线面垂直关系的判定和证明,要注意线线垂直关系要注意线线垂直关系,面面垂直关系与它之间的相互转化面面垂直关系与它之间的相互转化.2.运用三垂线定理及其逆定理的关键在于先确定线、运用三垂线定理及其逆定理的关键在于先确定线、斜线在平面上的射影，而确定射影的关键又是斜线在平面上的射影，而确定射影的关键又是“垂足垂足”，如果，如果“垂足垂足”，定了，那么，定了，那么“垂足垂足”和和“斜足斜足”的连线就是斜线在平面上的射影的连线就是斜线在平面上的射影.4.注意线线垂直、线面垂直、面面垂直之间的转化注意线线垂直、线面垂直、面面垂直之间的转
17、化条件和转化应用条件和转化应用.3.证面面垂直一般先从现有的直线中找平面的垂线；证面面垂直一般先从现有的直线中找平面的垂线；否则用作辅助线解决之，要过平面外一点否则用作辅助线解决之，要过平面外一点P作平面作平面 的的垂线，通常是先作垂线，通常是先作(找找)一个过点一个过点P并且和并且和 垂直的平面垂直的平面 ，设，设 =l，在，在 内作直线内作直线a l，则，则a 【例【例5】：如图，P 是ABC所在平面外一点，且PA平面ABC。若O和Q分别是ABC和PBC的垂心，试证：OQ平面PBC。 【作业作业】 走向高考P259 9P260. 5 . 6补补1.1. 在在二二面面角角 中中，A A、BB
18、，C C、D D ，ABCDABCD是是矩矩形形，PP，PAPA，且且PA=ADPA=AD，M M、N N依依次次是是ABAB、PCPC的中点的中点（）证明：是异面直线和的公垂线；（）证明：是异面直线和的公垂线；（）求异面直线与所成的角（）求异面直线与所成的角 2.如图，P 是ABC所在平面外一点，且PA平面ABC。若O和Q分别是ABC和PBC的垂心，试证：OQ平面PBC。 3.如图，在五棱锥如图，在五棱锥SABCDE中，中，SA底面底面ABCDE，SA=AB=AE=2,BC=DE=BAE=BCD=CDE=120.（）求异面直线）求异面直线CD与与SB所成的角（用反三角函数值表所成的角（用反三
19、角函数值表示）；示）；（）证明）证明BC平面平面SAB；（）求二面角）求二面角B-SC-D的平面角的余弦值的平面角的余弦值 : 如图，在平面角为600的二面角 -l- 内有一点P，P到 、 分别为PC=2cm,PD=3cm,则（1）垂足的连线CD等于多少？（2）P到棱l的距离为多少？ PEDCl4.如图，在三棱锥如图，在三棱锥ABCD中，侧面中，侧面ABD、ACD是全等的直角三角形，是全等的直角三角形，AD是公共的斜边，且是公共的斜边，且AD，BDCD1，另一个侧面是正三角形，另一个侧面是正三角形1、求证：、求证：AD BC2、求二面角、求二面角BACD的大小的大小3、在直线、在直线AC上是否存在一点上是否存在一点E，使，使ED与面与面BCD成成30 角？若存在，确定角？若存在，确定E的位置；若不存在，说明理的位置；若不存在，说明理由。由。
