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1、 使方程成为恒等式的函数. 解中所含独立的任意常数的个数与方程 确定通解中任意常数的条件.n 阶方程的初始条件初始条件( (或初值条件或初值条件) ):的阶数相同.特解特解引例2引例1 :特解:微分方程的解解 不含任意常数的解, 定解条件定解条件 其图形称为积分曲线积分曲线. .微积分下总结分离变量方程的解法分离变量方程的解法:设 y (x) 是方程的解, 两边积分, 得 则有恒等式 当G(y)与F(x) 可微且 G (y) g(y) 0 时, 的隐函数 y (x) 是的解. 则有称为方程的隐式通解, 或通积分.同样, 当 F (x) = f (x)0 时, 由确定的隐函数 x(y) 也是的解
2、. 设左右两端的原函数分别为 G(y), F(x), 说明由确定微积分下总结一、齐次方程一、齐次方程形如的方程叫做齐次方程齐次方程 .令代入原方程得两边积分, 得积分后再用代替 u, 便得原方程的通解.解法:分离变量: 微积分下总结( h, k 为待 二、可化为齐次方程的方程二、可化为齐次方程的方程作变换原方程化为 令 , 解出 h , k (齐次方程)定常数), 微积分下总结求出其解后, 即得原方 程的解.原方程可化为 令(可分离变量方程)注注: 上述方法可适用于下述更一般的方程 微积分下总结一、一阶线性微分方程一、一阶线性微分方程一阶线性微分方程标准形式:若 Q(x) 0, 若 Q(x)
3、0, 称为非齐次方程非齐次方程 .1. 解齐次方程分离变量两边积分得故通解为称为齐次方程齐次方程 ;微积分下总结对应齐次方程通解齐次方程通解非齐次方程特解2. 解非齐次方程用常数变易法常数变易法:则故原方程的通解即即作变换两端积分得微积分下总结二、伯努利二、伯努利 ( Bernoulli )方程方程 伯努利方程的标准形式:令求出此方程通解后,除方程两边 , 得换回原变量即得伯努利方程的通解.解法解法:(线性方程)伯努利 微积分下总结一、一、令因此即同理可得依次通过 n 次积分, 可得含 n 个任意常数的通解 .型的微分方程型的微分方程 微积分下总结型的微分方程型的微分方程 设原方程化为一阶方程
4、设其通解为则得再一次积分, 得原方程的通解二、二、微积分下总结三、三、型的微分方程型的微分方程 令故方程化为设其通解为即得分离变量后积分, 得原方程的通解微积分下总结内容小结内容小结可降阶微分方程的解法 降阶法逐次积分令令微积分下总结定理定理 2.是二阶线性齐次方程的两个线性无关特解, 数) 是该方程的通解.例如例如, 方程有特解且常数,故方程的通解为(自证) 推论推论. 是 n 阶齐次方程 的 n 个线性无关解, 则方程的通解为则微积分下总结三、线性非齐次方程解的结构三、线性非齐次方程解的结构 是二阶非齐次方程的一个特解, Y (x) 是相应齐次方程的通解,定理定理 3.则是非齐次方程的通解
5、 .证证: 将代入方程左端, 得微积分下总结定理定理 4.分别是方程的特解,是方程的特解. (非齐次方程之解的叠加原理) 定理3, 定理4 均可推广到 n 阶线性非齐次方程. 微积分下总结二阶常系数齐次线性微分方程:和它的导数只差常数因子,代入得称为微分方程的特征方程特征方程,1. 当时, 有两个相异实根方程有两个线性无关的特解:因此方程的通解为( r 为待定常数 ),所以令的解为 则微分其根称为特征根特征根.微积分下总结特征方程2. 当时, 特征方程有两个相等实根则微分方程有一个特解设另一特解( u (x) 待定)代入方程得:是特征方程的重根取 u = x , 则得因此原方程的通解为微积分下
6、总结特征方程3. 当时, 特征方程有一对共轭复根这时原方程有两个复数解: 利用解的叠加原理 , 得原方程的线性无关特解:因此原方程的通解为微积分下总结小结小结:特征方程:实根 特 征 根通 解以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程 .微积分下总结内容小结内容小结特征根:(1) 当时, 通解为(2) 当时, 通解为(3) 当时, 通解为可推广到高阶常系数线性齐次方程求通解 .微积分下总结二阶常系数线性非齐次微分方程 :根据解的结构定理 , 其通解为非齐次方程特解齐次方程通解求特解的方法根据 f (x) 的特殊形式 ,的待定形式,代入原方程比较两端表达式以确定待定系数 . 待定系数法待定系数法微积
7、分下总结二阶常系数线性非齐次微分方程 :根据解的结构定理 , 其通解为非齐次方程特解齐次方程通解求特解的方法根据 f (x) 的特殊形式 ,的待定形式,代入原方程比较两端表达式以确定待定系数 . 待定系数法待定系数法微积分下总结一、一、 为实数 ,设特解为其中 为待定多项式 , 代入原方程 , 得 为 m 次多项式 .(1) 若 不是特征方程的根, 则取从而得到特解形式为Q (x) 为 m 次待定系数多项式微积分下总结(2) 若 是特征方程的单根 , 为m 次多项式, 故特解形式为(3) 若 是特征方程的重根 , 是 m 次多项式,故特解形式为小结小结 对方程,此结论可推广到高阶常系数线性微分
8、方程 .即即当 是特征方程的 k 重根 时,可设特解微积分下总结内容小结内容小结 为特征方程的 k (0, 1, 2) 重根, 则设特解为为特征方程的 k (0, 1 )重根, 则设特解为3. 上述结论也可推广到高阶方程的情形.微积分下总结有3. 多元函数的极限4. 多元函数的连续性1) 函数2) 闭域上的多元连续函数的性质:有界定理 ;最值定理 ; 介值定理3) 一切多元初等函数在定义区域内连续P61 题 2; 4; 5 (3), (5) ( 画图 ) ; 8P129 题 3; *4思考与练习思考与练习微积分下总结定理定理：若 f (P) 在有界闭域 D 上连续, 则* (4) f (P)
9、必在D 上一致连续 .在 D 上可取得最大值 M 及最小值 m ;(3) 对任意(有界性定理) (最值定理) (介值定理) (一致连续性定理) 闭域上多元连续函数有与一元函数类似的如下性质:(证明略) 微积分下总结一、全微分的定义、全微分的定义 定义定义: 如果函数 z = f ( x, y )在定义域 D 的内点( x , y )可表示成其中 A , B 不依赖于 x , y , 仅与 x , y 有关，称为函数在点 (x, y) 的全微分全微分, 记作若函数在域 D 内各点都可微,则称函数 f ( x, y ) 在点( x, y) 可微可微，处全增量则称此函数在在D 内可微内可微.微积分下
10、总结(2) 偏导数连续下面两个定理给出了可微与偏导数的关系:(1) 函数可微函数 z = f (x, y) 在点 (x, y) 可微当函数可微时 :得函数在该点连续偏导数存在 函数可微 即微积分下总结内容小结内容小结1. 微分定义:2. 重要关系:函数可导函数可导函数可微函数可微偏导数连续偏导数连续函数连续函数连续定义微积分下总结空间光滑曲面曲面 在点法线方程法线方程1) 隐式情况 .的法向量法向量切平面方程切平面方程2. 曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线微积分下总结空间光滑曲面切平面方程切平面方程法线方程法线方程2) 显式情况.法线的方向余弦方向余弦法向量法向量微积分下总结内容小结内容小
11、结1. 方向导数方向导数 三元函数 在点沿方向 l (方向角的方向导数为 二元函数 在点的方向导数为沿方向 l (方向角为微积分下总结2. 梯度梯度 三元函数 在点处的梯度为 二元函数 在点处的梯度为3. 关系关系方向导数存在偏导数存在 可微梯度在方向 l 上的投影. 方向: f 变化率最大的方向模: f 的最大变化率之值 梯度的特点微积分下总结内容小结内容小结1. 函数的极值问题函数的极值问题第一步 利用必要条件在定义域内找驻点.即解方程组第二步 利用充分条件 判别驻点是否为极值点 .2. 函数的条件极值问题函数的条件极值问题(1) 简单问题用代入法如对二元函数(2) 一般问题用拉格朗日乘数
12、法微积分下总结设拉格朗日函数如求二元函数下的极值,解方程组第二步 判别 比较驻点及边界点上函数值的大小 根据问题的实际意义确定最值第一步 找目标函数, 确定定义域 ( 及约束条件)3. 函数的最值问题函数的最值问题在条件求驻点 . 微积分下总结8. 设函数D 位于 x 轴上方的部分为D1 , 当区域关于 y 轴对称, 函数关于变量 x 有奇偶性时, 仍在 D 上在闭区域上连续, 域D 关于x 轴对称,则则有类似结果.在第一象限部分, 则有微积分下总结内容小结内容小结(1) 二重积分化为二次积分的方法直角坐标系情形直角坐标系情形 : 若积分区域为则 若积分区域为则微积分下总结则(2) 一般换元公
13、式且则极坐标系情形极坐标系情形: 若积分区域为在变换下微积分下总结(3) 计算步骤及注意事项计算步骤及注意事项 画出积分域 选择坐标系 确定积分序 写出积分限 计算要简便域边界应尽量多为坐标线被积函数关于坐标变量易分离积分域分块要少累次积分好算为妙图示法不等式( 先积一条线, 后扫积分域 )充分利用对称性应用换元公式微积分下总结三重积分计算：方法三重积分计算：方法1. 投影法投影法 (“先一后二先一后二” ) 该物体的质量为细长柱体微元的质量为微元线密度记作微积分下总结方法方法2. 截面法截面法 (“先二后一先二后一”)为底, d z 为高的柱形薄片质量为该物体的质量为面密度记作微积分下总结投
14、影法方法方法3. 三次积分法三次积分法设区域利用投影法结果 , 把二重积分化成二次积分即得:微积分下总结小结小结: 三重积分的计算方法三重积分的计算方法方法方法1. “先一后二先一后二”方法方法2. “先二后一先二后一”方法方法3. “三次积分三次积分”具体计算时应根据三种方法(包含12种形式)各有特点,被积函数及积分域的特点灵活选择. 微积分下总结2. 利用柱坐标计算三重积分利用柱坐标计算三重积分 就称为点M 的柱坐标. 直角坐标与柱面坐标的关系:坐标面分别为圆柱面半平面平面微积分下总结3. 利用球坐标计算三重积分利用球坐标计算三重积分 就称为点M 的球坐标.直角坐标与球面坐标的关系坐标面分
15、别为球面半平面锥面微积分下总结内容小结内容小结积分区域多由坐标面被积函数形式简洁, 或坐标系 体积元素 适用情况直角坐标系柱面坐标系球面坐标系* * 说明说明:三重积分也有类似二重积分的换元积分公式换元积分公式:对应雅可比行列式为变量可分离.围成 ;微积分下总结一、曲面的面积一、曲面的面积设光滑曲面则面积 A 可看成曲面上各点处小切平面的面积 d A 无限积累而成. 设它在 D 上的投影为 d ,(称为面积元素)则微积分下总结故有曲面面积公式若光滑曲面方程为则有即微积分下总结若光滑曲面方程为 若光滑曲面方程为隐式则则有且微积分下总结3. 计算计算 对光滑曲线弧 对光滑曲线弧 对光滑曲线弧微积分
16、下总结3. 计算 对有向光滑弧 对有向光滑弧微积分下总结4. 两类曲线积分的联系 对空间有向光滑弧 :微积分下总结推论推论: 正向闭曲线 L 所围区域 D 的面积格林公式格林公式例如例如, 椭圆所围面积定理1 微积分下总结二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件定理定理2. 设D 是单连通域 ,在D 内具有一阶连续偏导数,(1) 沿D 中任意光滑闭曲线 L , 有(2) 对D 中任一分段光滑曲线 L, 曲线积分(3)(4) 在 D 内每一点都有与路径无关, 只与起止点有关. 函数则以下四个条件等价:在 D 内是某一函数的全微分,即 微积分下总结内容小结内容小
17、结1. 定义:2. 计算: 设则(曲面的其他两种情况类似) 注意利用球面坐标、柱面坐标、对称性、质心公式简化计算的技巧. 微积分下总结其方向用法向量指向方向余弦 0 为前侧 0 为右侧 0 为上侧 0 为下侧外侧内侧 设 为有向曲面,侧的规定 指定了侧的曲面叫有向曲面, 表示 :其面元在 xOy 面上的投影记为的面积为则规定类似可规定微积分下总结 若则有 若则有(前正后负)(右正左负)说明说明: 如果积分曲面 取下侧, 则微积分下总结令向量形式( A 在 n 上的投影)微积分下总结内容小结内容小结1. 高斯公式及其应用公式:应用:(1) 计算曲面积分 (非闭曲面时注意添加辅助面的技巧)(2) 推出闭曲面积分为零的充要条件: 微积分下总结2. *通量与散度 设向量场P, Q, R, 在域G 内有一阶 连续 偏导数, 则 向量场通过有向曲面 的通量为 G 内任意点处的散度为 ( n 为 的单位法向量） 微积分下总结
