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1、()1.平面向量基本定理的内容平面向量基本定理的内容如果如果e1、e2是同一个平面内的两个是同一个平面内的两个_的向量，的向量，那么对于这一平面内的任意向量那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实，有且只有一对实数数a1、a2，使，使a_ 其中不共线向量其中不共线向量e1、e2称为这个平面的一组称为这个平面的一组_. 温故夯基温故夯基温故夯基温故夯基不共线不共线基底基底2.如图，已知向量如图，已知向量e1、e2,求作向量：求作向量：3e1+2e2.e1e2考虑：考虑：类比在平面直角坐标系内点的类比在平面直角坐标系内点的坐标表示，探究向量的坐标表坐标表示，探究向量的坐标表示示. . 2.2
2、.2向量的向量的正交分解正交分解与向量的直与向量的直角坐标运算角坐标运算学习目标研读学习目标研读1课堂目标课堂目标理解并掌握向量的正交分解、向量的坐标表示理解并掌握向量的正交分解、向量的坐标表示2重点难点重点难点重点：平面向量的坐标运算重点：平面向量的坐标运算难点：平面向量的正交分解与向量坐标的关系难点：平面向量的正交分解与向量坐标的关系探索探索1:以以O为起点，为起点， P为终点的向量能为终点的向量能否用坐标表示？如何表示？否用坐标表示？如何表示？oPxya向量的坐标表示向量向量 Px ，y）一一 一一 对对 应应在平面直角坐标系内，起点不在坐标在平面直角坐标系内，起点不在坐标原点原点O的向
3、量如何用坐标来表示的向量如何用坐标来表示?探索探索2:oxya在平面直角坐标系内，起点不在坐标在平面直角坐标系内，起点不在坐标原点原点O的向量如何用坐标来表示的向量如何用坐标来表示?探索探索2:Aoxyaa可通过向量的平移，可通过向量的平移，将向量的起点移到坐将向量的起点移到坐标的原点标的原点O处处,其终其终点的坐标点的坐标x，y称称为为a的直角坐标，的直角坐标，记记a=（x，y）。）。解决方案:平面向量的坐标表示平面向量的坐标表示如图，如图， 是分别与是分别与x轴、轴、y轴方向相同轴方向相同的单位向量，若以的单位向量，若以 为基底，那么为基底，那么 这里，我们把这里，我们把x,y叫做叫做向量
4、向量 的直角坐标，记作的直角坐标，记作其中，其中，x x叫做叫做 在在x x轴上的坐标，轴上的坐标，y y叫做叫做 在在y y轴上的坐标，轴上的坐标，式叫做向量的坐标表示式叫做向量的坐标表示. .1 、把、把 a=x i+y j 称为向量基底形式称为向量基底形式.2 、把、把(x , y)叫做向量叫做向量a的直角坐标的直角坐标, 记为：记为：a=(x , y) , 称其为向量的坐标形式称其为向量的坐标形式.3、 a=x i+y j =( x , y)4、其中、其中 x、 y 叫做叫做 a 在在X 、Y轴上的坐标轴上的坐标.单位向量单位向量 i =（1，0），），j =（0，1）平面向量可以用坐
5、标表示，向量平面向量可以用坐标表示，向量的运算可以用坐标来运算吗？的运算可以用坐标来运算吗？探索探索3：（1已知a=(x1,y1),b=(x2,y2)，求a+b,ab.（2已知a=(x1,y1)和实数，求a的坐标.如何计算？如何计算？ 向量的向量的坐标运算坐标运算说明说明 两个向量的和与差的坐标等于两个向量的相应两个向量的和与差的坐标等于两个向量的相应坐标的和与差；数乘向量的积的坐标等与数乘坐标的和与差；数乘向量的积的坐标等与数乘以向量相应坐标的积以向量相应坐标的积. 例例1. 在直角坐标系在直角坐标系xOy中，向量中，向量a，b，c的方的方向和长度如图所示，分别求它们的坐标。向和长度如图所示
6、，分别求它们的坐标。【分析】本题主要考查向量的正交分解，【分析】本题主要考查向量的正交分解，把它们分解成横、纵坐标的形式把它们分解成横、纵坐标的形式 利用任意角的三角函数定义，若利用任意角的三角函数定义，若a=（a1,a2）,a的方向相对于的方向相对于x轴正向的转轴正向的转角为角为，则有，则有 a1= |a|cos , a2= |a|sin 例例4.在直角坐标系在直角坐标系xOy中，已知点中，已知点A(3,2), B(2，4)，求向量，求向量 的方向和长度的方向和长度. 解：解：= (3,2)+(2，4)= (1,6).=arctan6例例2.已知已知A(x1,y1）,B(x2,y2),求向量
7、求向量 的的坐标坐标.解：解：=(x2,y2)(x1,y1)=(x2x1，y2y1)说明：一个向量的坐标等于向量终点的坐标说明：一个向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标。减去始点的坐标。xyOBA这是一个重要结论！这是一个重要结论！例例3.在直角坐标系在直角坐标系xOy中，已知点中，已知点A(x1,y1), B( x2, y2), 求线段求线段AB中点的坐标中点的坐标. 解：设解：设M(x,y)是线段是线段AB的中点，那么的中点，那么 例例3得到的公式，得到的公式，叫做线段中点的叫做线段中点的坐标公式，简称坐标公式，简称中点公式。中点公式。 法法2:2:用重要结论！用重要结论！例例6.
8、已知已知A(2，1)，B(1，3)，求线段，求线段AB中中点点M和三等分点坐标和三等分点坐标P，Q的坐标的坐标 .解：解：(1) 求中点求中点M的坐标，利用例的坐标，利用例3得到的公得到的公式可知式可知M( ，2)(2) 因为因为 =(1，3)(2，1) =(3，2)法法2:2:用重要结论！用重要结论！例例5.如图，知如图，知 的三个顶点的三个顶点A、B、C的的坐标分别是（坐标分别是（-2，1）、（）、（-1，3）、（）、（3，4），），试求顶点试求顶点D的坐标。的坐标。ABCDxyO解法：设点解法：设点D的坐标为的坐标为x,y）解得解得 x=2,y=2所以顶点所以顶点D的坐标为的坐标为2，2
9、）例例5.如图，知如图，知 的三个顶点的三个顶点A、B、C的的坐标分别是（坐标分别是（-2，1）、（）、（-1，3）、（）、（3，4），），试求顶点试求顶点D的坐标。的坐标。ABCDxyO解法解法2：由平行四边形法则可得：由平行四边形法则可得而而所以顶点所以顶点D的坐标为的坐标为2，2） 例例5.知知ABCD的三个顶点的三个顶点A(2, 1)、B(1, 3)、C(3, 4)，求顶点，求顶点D的坐标。的坐标。 解：解： =(2,1)+(3,4) (1,3) =(2, 2)所以所以D点的坐标是点的坐标是(2, 2).变形变形:如图，知如图，知 平行四边形的三个顶点的坐标平行四边形的三个顶点的坐标分
10、别是（分别是（-2，1）、（）、（-1，3）、（）、（3，4），），试求第四个顶点的坐标。试求第四个顶点的坐标。xyO(-2,1)(-2,1)(-1,3)(-1,3)(3,4)(3,4)练习练习1. 设向量设向量a=(1,3)，b =(2,4)，c =(1,2)，若表示向量，若表示向量4a、4b2c、2(ac)、d的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d为为 .解：解： 4a+(4b2c)+2(ac)+d=0,所以所以d=6a4b+4c=(2, 6).2.设点设点P在平面上做匀速直线运动在平面上做匀速直线运动,速度向量速度向量 ,设起始设起始P(10,10
11、), 则则5秒钟后点秒钟后点P的坐标为的坐标为( ). 解：解：5秒种后，秒种后，P点坐标为点坐标为 (10, 10)+5(4, 3)=(10, 5).3.设设A(2, 3)，B(5, 4)，C(7, 10) 满足满足(1) 为何值时为何值时,点点P在直线在直线y=x上上?(2)设点设点P在第三象限在第三象限, 求求的范围的范围.解解: (1) 设设P(x, y)，那么，那么 (x2, y3)=(3, 1)+(5, 7), 所以所以x=5+5，y=7+4. 解得解得 =(2) 由已知由已知5+50,7+40 ,所以所以1. 课时小结课时小结: :2 加、减法法则加、减法法则.a+b=(x1,y
12、1)+(x2,y2)=(x1+x2,y1+y2)3 实数与向量积的运算法则：实数与向量积的运算法则：a=(xi+yj)=xi+yj=(x,y)4 向量坐标向量坐标.若A(x1,y1),B(x2,y2)1 向量坐标定义向量坐标定义.那么=(x2-x1,y2y1)a-b=(x1,y1)-(x2,y2)=(x1-x2,y1-y2)归纳小结 1.1.向量的坐标表示是向量的另一种表示形式也可以称之为向量的代数表示），其背景是向量基本定理；22.向量的坐标表示，为我们进行向量的运算打开了方便之门1(1)1(1)两两向向量量和和的的坐坐标标等等于于；（2 2两两向向量量差差的的坐坐标标；（3 3实数与向量积的坐标；实数与向量积的坐标；23. 23. 向向量量的的坐坐标标表表示示使使得得我我们们可可以以通通过过数数的的运运算算来来研研究究图图形的几何性质，体现了数形结合的思想方法；形的几何性质，体现了数形结合的思想方法；再见再见! !
