《数学：112《分类计数原理与分步计数原理》（2）课件（人教A版选修） (2)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学：112《分类计数原理与分步计数原理》（2）课件（人教A版选修） (2)（33页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1.1.2分类计数原理分类计数原理与分步计数原理分步计数原理(二二)1、分类加法计数原理、分类加法计数原理：完成一件事，有：完成一件事，有n类办法，在类办法，在第第1类办法中有类办法中有m1种不同的方法种不同的方法,在第在第2类办法中有类办法中有m2种不同的方法种不同的方法在第在第n类办法中类办法中有有m mn n种不同的方法种不同的方法. .那么完成这件事共有那么完成这件事共有 种不同的方种不同的方法法. .2 2、分步乘法计数原理、分步乘法计数原理：完成一件事，需要分成完成一件事，需要分成n n个步个步骤，做第骤，做第1 1步有步有m m1 1种不同的方法种不同的方法, ,做第做第2 2步
2、有步有m m2 2种不同的种不同的方法方法，做第，做第n n步有步有m mn n种不同的方法种不同的方法. .那么完成这件事那么完成这件事共有共有 种不同的方法种不同的方法. .分类加法计数原理和分步乘法计数原理的分类加法计数原理和分步乘法计数原理的共同点：共同点：不同点：不同点：分类加法计数原理与分类有关，分类加法计数原理与分类有关，分步乘法计数原理与分步有关。分步乘法计数原理与分步有关。回答的都是有关做一件事的不同方法种数的问题回答的都是有关做一件事的不同方法种数的问题分类计数原理分类计数原理 分步计数原理分步计数原理完成一件事，共有完成一件事，共有n类办法，关键词类办法，关键词“分类分类
3、”区别区别1完成一件事，共分完成一件事，共分n个步骤，关键词个步骤，关键词“分步分步”区别区别2区别区别3每类办法都能独立地每类办法都能独立地完成这件事情，它是完成这件事情，它是独立的、一次的、且独立的、一次的、且每次得到的是最后结每次得到的是最后结果，果，只须一种方法就只须一种方法就可完成这件事。可完成这件事。每一步得到的只是中间结每一步得到的只是中间结果，任何一步都不能独立果，任何一步都不能独立完成这件事，缺少任何一完成这件事，缺少任何一步也不能完成这件事，步也不能完成这件事，只只有各个步骤都完成了，才有各个步骤都完成了，才能完成这件事。能完成这件事。各类办法是各类办法是互相独立互相独立的
4、。的。 各步之间是各步之间是互相互相关联的。关联的。即：即：类类独立，步步关联类类独立，步步关联。例例1. 1. 五名学生报名参加四项体育比赛，每人限五名学生报名参加四项体育比赛，每人限报一项，报名方法的种数为多少？又他们争夺报一项，报名方法的种数为多少？又他们争夺这四项比赛的冠军，冠军获得者有多少种不同这四项比赛的冠军，冠军获得者有多少种不同可能性（没有并列冠军）？可能性（没有并列冠军）？ 解：（解：（1）5名学生中任一名均可报其中的任一项，因此每名学生中任一名均可报其中的任一项，因此每个学生都有个学生都有4种报名方法，种报名方法，5名学生都报了项目才能算完成名学生都报了项目才能算完成这一事
5、件故报名方法种数为这一事件故报名方法种数为44444= 种种 .（2）每个项目只有一个冠军，每一名学生都可能获得）每个项目只有一个冠军，每一名学生都可能获得其中的一项获军，因此其中的一项获军，因此冠军获得者冠军获得者有有5种可能性，故有种可能性，故有n=5= 种种 .例例2.给程序模块命名，需要用给程序模块命名，需要用3个字符，其中首个字个字符，其中首个字符要求用字母符要求用字母AG或或UZ，后两个要求用数字后两个要求用数字19，问最多可以给多少个程序命名？，问最多可以给多少个程序命名？分析：分析：要给一个程序模块命名，可以分三个步骤：第一步，要给一个程序模块命名，可以分三个步骤：第一步，选首
6、字符；第二步，先中间字符；第三步，选末位字符。选首字符；第二步，先中间字符；第三步，选末位字符。解：解：首字符共有首字符共有7+613种不同的选法，种不同的选法，答：答：最多可以给最多可以给10531053个程序命名。个程序命名。中间字符和末位字符各有中间字符和末位字符各有9种不同的选法种不同的选法根据分步计数原理，最多可以有根据分步计数原理，最多可以有13991053种不同的选法种不同的选法例例4.电子元件很容易实现电路的通与断、电位的高与底等两种电子元件很容易实现电路的通与断、电位的高与底等两种状态，而这也是最容易控制的两种状态。因此计算机内部就采状态，而这也是最容易控制的两种状态。因此计
7、算机内部就采用了每一位只有用了每一位只有0或或1两种数字的计数法，即二进制，为了使计两种数字的计数法，即二进制，为了使计算机能够识别字符，需要对字符进行编码，每个字符可以用一算机能够识别字符，需要对字符进行编码，每个字符可以用一个或多个字节来表示，其中字节是计算机中数据存储的最小计个或多个字节来表示，其中字节是计算机中数据存储的最小计量单位，每个字节由个二进制位构成，问量单位，每个字节由个二进制位构成，问（1）一个字节（）一个字节（8位）最多可以表示多少个不同的字符？位）最多可以表示多少个不同的字符？（2）计算机汉字国标码（）计算机汉字国标码（GB码）包含了码）包含了6763个汉字，一个汉个汉
8、字，一个汉字为一个字符，要对这些汉字进行编码，每个汉字至少要用多字为一个字符，要对这些汉字进行编码，每个汉字至少要用多少个字节表示？少个字节表示？第1位第2位第3位第8位2种2种2种2种如如00000000，10000000，11111111.开始子模块118条执行路径子模块328条执行路径子模块245条执行路径子模块543条执行路径子模块438条执行路径结束A例例5.计算机编程人员在编计算机编程人员在编写好程序以后要对程序进写好程序以后要对程序进行测试。程序员需要知道行测试。程序员需要知道到底有多少条执行路（即到底有多少条执行路（即程序从开始到结束的线），程序从开始到结束的线），以便知道需要
9、提供多少个以便知道需要提供多少个测试数据。一般的，一个测试数据。一般的，一个程序模块又许多子模块组程序模块又许多子模块组成，它的一个具有许多执成，它的一个具有许多执行路径的程序模块。问：行路径的程序模块。问：这个程序模块有多少条执这个程序模块有多少条执行路径？另外为了减少测行路径？另外为了减少测试时间，程序员需要设法试时间，程序员需要设法减少测试次数，你能帮助减少测试次数，你能帮助程序员设计一个测试方式，程序员设计一个测试方式，以减少测试次数吗？以减少测试次数吗？开始子模块118条执行路径子模块328条执行路径子模块245条执行路径子模块543条执行路径子模块438条执行路径结束A分析：分析：
10、整个模块的任整个模块的任意一条路径都分两步意一条路径都分两步完成完成：第第1步步是从开是从开始执行到始执行到A点；点；第第2步步是从是从A点执行到结束点执行到结束。而第一步可由子模块而第一步可由子模块1或子模块或子模块2或子模块或子模块3来完成；第二步可来完成；第二步可由子模块由子模块4或子模块或子模块5来完成。因此，分析来完成。因此，分析一条指令在整个模块一条指令在整个模块的执行路径需要用到的执行路径需要用到两个计数原理。两个计数原理。开始子模块118条执行路径子模块328条执行路径子模块245条执行路径子模块543条执行路径子模块438条执行路径结束A再测试各个模块之间的信再测试各个模块之
11、间的信息交流是否正常，需要测息交流是否正常，需要测试的次数为：试的次数为：3*2=6。如果每个子模块都正常工如果每个子模块都正常工作，并且各个子模块之间作，并且各个子模块之间的信息交流也正常，那么的信息交流也正常，那么整个程序模块就正常。整个程序模块就正常。这样，测试整个这样，测试整个模块的次数就变为模块的次数就变为 172+6=178（次）（次）2）在实际测试中，程序）在实际测试中，程序员总是把每一个子模块看员总是把每一个子模块看成一个黑箱，即通过只考成一个黑箱，即通过只考察是否执行了正确的子模察是否执行了正确的子模块的方式来测试整个模块。块的方式来测试整个模块。这样，他可以先分别单独这样，
12、他可以先分别单独测试测试5个模块，以考察每个模块，以考察每个子模块的工作是否正常。个子模块的工作是否正常。总共需要的测试次数为：总共需要的测试次数为：18+45+28+38+43=172。例例6.随着人们生活水平的提高，某城市家庭汽车拥有量迅速增随着人们生活水平的提高，某城市家庭汽车拥有量迅速增长，汽车牌照号码需要扩容。交通管理部门出台了一种汽车牌长，汽车牌照号码需要扩容。交通管理部门出台了一种汽车牌照组成办法，每一个汽车牌照都必须有个不重复的英文字母照组成办法，每一个汽车牌照都必须有个不重复的英文字母和个不重复的阿拉伯数字，并且个字母必须合成一组出现，和个不重复的阿拉伯数字，并且个字母必须合
13、成一组出现，个数字也必须合成一组出现，那么这种办法共能给多少辆汽个数字也必须合成一组出现，那么这种办法共能给多少辆汽车上牌照车上牌照?课堂练习课堂练习1、乘积、乘积 展开后共有几项？展开后共有几项？2、某商场有、某商场有6个门，如果某人从其中的任意一个个门，如果某人从其中的任意一个门进入商场，并且要求从其他的门出去，共有多门进入商场，并且要求从其他的门出去，共有多少种不同的进出商场的方式？少种不同的进出商场的方式？ 3.如图如图,该该电路电路,从从A到到B共有多少条共有多少条不同的线路不同的线路可通电？可通电？AB课堂练习课堂练习所以所以, 根据分类原理根据分类原理, 从从A到到B共有共有 N
14、 = 3 + 1 + 4 = 8 条不同的线路可通电。条不同的线路可通电。在解题有时既要分类又要分步。在解题有时既要分类又要分步。解解: 从总体上看由从总体上看由A到到B的通电线路可分三类的通电线路可分三类,第一类第一类, m1 = 3 条条第二类第二类, m2 = 1 条条第三类第三类, m3 = 22 = 4, 条条1.1.本节课学习了哪些主要内容？本节课学习了哪些主要内容？ 分类记数原理和分步记数原理。 2.2.分类记数原理和分步记数原理的共同点是什么？分类记数原理和分步记数原理的共同点是什么？不同点什么？不同点什么？ 答答: : 共同点是, 它们都是研究完成一件事情, 共有多少种不同的
15、方法。 不同点是, 它们研究完成一件事情的方式不同,分类记数原理是“分类完成”, 即任何一类办法中的任何一个方法都能完成这件事。分步记数原理是“分步完成”, 即这些方法需要分步,各个步骤顺次相依,且每一步都完成了,才能完成这件事情。这也是本节课的重点。3.3.何时用分类记数原理、分步记数原理呢何时用分类记数原理、分步记数原理呢? ? 完成一件事情有n类方法,若每一类方法中的任何一种方法均能将这件事情从头至尾完成,则计算完成这件事情的方法总数用分类记数原理。 完成一件事情有n个步骤,若每一步的任何一种方法只能完成这件事的一部分,并且必须且只需完成互相独立的这n步后,才能完成这件事,则计算完成这件事的方法总数用分步记数原理。
