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1、常数项级数常数项级数函数项级数函数项级数交交错错级级数数正正项项级级数数幂级数幂级数三角级数三角级数收收敛敛半半径径R R泰勒展开式泰勒展开式数或函数数或函数函函 数数数数任任意意项项级级数数傅氏展开式傅氏展开式泰勒级数泰勒级数满足狄满足狄 氏条件氏条件在收敛在收敛 级数与数级数与数条件下条件下 相互转化相互转化 一、主要内容一、主要内容第十一章第十一章 习题课习题课习题课ma1 1、常数项级数、常数项级数级数的部分和级数的部分和定义定义级数的收敛与发散级数的收敛与发散习题课ma性质性质2 2: : 级数的每一项同乘一个不为零的常数级数的每一项同乘一个不为零的常数, ,敛敛散性不变散性不变.
2、.性质性质3 3: :收敛级数可以逐项相加与逐项相减收敛级数可以逐项相加与逐项相减. .性质性质4 4: :在级数前面加上或去掉有限项不影响级在级数前面加上或去掉有限项不影响级数的敛散性数的敛散性.性质性质5 5: :收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛于原来的和于原来的和. .级数收敛的必要条件级数收敛的必要条件:收敛级数的收敛级数的基本性质基本性质性质性质1:习题课ma正正 项项 级级 数数任意项级数任意项级数判判别别法法1.2.4.充要条件充要条件5.比较法比较法6.比值法比值法7.根值法根值法4.绝对收敛绝对收敛5.交错级数交错级数(莱布尼茨定理莱布尼茨
3、定理)3.按基本性质按基本性质;常数项级数判别法常数项级数判别法习题课ma定义定义2 2、正项级数及其判别法、正项级数及其判别法判别法判别法(1) (1) 比较判别法比较判别法习题课ma(2) (2) 比较判别法的极限形式比较判别法的极限形式习题课ma习题课ma习题课ma定义定义 正正 、负项相间的级数称为交错级数、负项相间的级数称为交错级数. .3 3、交错级数及其判别法、交错级数及其判别法习题课ma定义定义 正项和负项任意出现的级数称为任意项级数正项和负项任意出现的级数称为任意项级数.4 4、任意项级数及其判别法、任意项级数及其判别法习题课ma5 5、函数项级数、函数项级数(1) (1)
4、定义定义(2) (2) 收敛点与收敛域收敛点与收敛域习题课ma(3) (3) 和函数和函数习题课ma(1) (1) 定义定义6 6、幂级数、幂级数习题课ma(2) (2) 收敛性收敛性习题课ma推论推论习题课ma定义定义: : 正数正数R称为幂级数的称为幂级数的收敛半径收敛半径.幂级数的收敛域，幂级数的幂级数的收敛域，幂级数的收敛区间收敛区间.习题课maa.a.代数运算性质代数运算性质: : 加减法加减法(其中其中(3)(3)幂级数的运算幂级数的运算习题课ma乘法乘法(其中其中除法除法习题课mab.b.和函数的分析运算性质和函数的分析运算性质: :习题课ma7 7、幂级数展开式、幂级数展开式(
5、1) 定义定义习题课ma(2) 充要条件充要条件(3) 唯一性唯一性习题课ma(3) 展开方法展开方法a.a.直接法直接法( (泰勒级数法泰勒级数法) )步骤步骤:b.b.间接法间接法 根据唯一性根据唯一性, 利用常见展开式利用常见展开式, 通过通过变量代换变量代换, 四则运算四则运算, 恒等变形恒等变形, 逐项求导逐项求导, 逐项逐项积分积分等方法等方法,求展开式求展开式.习题课ma(4) 常用的函数展开式常用的函数展开式习题课ma(5) 应用应用a.a.近似计算近似计算b.b.欧拉公式欧拉公式习题课ma(1) (1) 三角函数系三角函数系三角函数系三角函数系8 8、傅里叶级数、傅里叶级数习
6、题课ma(2) (2) 傅里叶级数傅里叶级数定义定义三角级数三角级数习题课ma其中其中称为傅里叶级数称为傅里叶级数.习题课ma(3) (3) 狄利克雷狄利克雷(Dirichlet)(Dirichlet)充分条件充分条件( (收敛定理收敛定理) )习题课ma(4) (4) 正弦级数与余弦级数正弦级数与余弦级数习题课ma习题课ma奇延拓奇延拓:(5) (5) 奇偶延拓奇偶延拓偶延拓偶延拓:习题课ma习题课ma习题课ma习题课ma习题课ma习题课ma习题课ma二、典型例题二、典型例题例例1 1解解习题课ma根据级数收敛的必要条件，根据级数收敛的必要条件，原级数发散原级数发散习题课ma解解根据比较判别
7、法，根据比较判别法，原级数收敛原级数收敛习题课ma解解从而有从而有习题课ma原级数收敛；原级数收敛；原级数发散；原级数发散；原级数也发散原级数也发散习题课ma练习：练习：习题课ma习题课ma例例解解即原级数非绝对收敛即原级数非绝对收敛习题课ma由莱布尼茨定理：由莱布尼茨定理：习题课ma所以此交错级数收敛，所以此交错级数收敛，故原级数是条件收敛故原级数是条件收敛习题课ma习题课maO2-2xO351-2-1246x收敛点收敛点:2,4;发散点发散点:-2,-1,6;不定点不定点:1,5.习题课ma思考题解答思考题解答能能收敛收敛收敛收敛思考题思考题习题课ma例例5 5解解两边逐项积分两边逐项积分
8、习题课ma习题课ma例例6 6解解习题课ma习题课ma例例7 7解解习题课ma习题课ma例例8 8解解习题课ma习题课ma习题课ma和函数的图形为和函数的图形为习题课ma例例8 8解解习题课ma习题课ma由上式得由上式得习题课ma例例9 9解解习题课ma习题课ma习题课ma习题课ma又又 f(0)= , 所以所以因为级数因为级数 收敛，函数收敛，函数f(x)在在 处连续，所以处连续，所以解：解：习题课ma习题课ma习题课ma六、六、(2003三三)求幂级数求幂级数 的和函数的和函数f(x)及其极值及其极值. 上式两边从上式两边从0到到x积分，得积分，得由由f(0)=1, 得得令令 ，求得唯一驻点，求得唯一驻点x=0. 由于由于可见可见f(x)在在x=0处取得极大值，且极大值为处取得极大值，且极大值为 f(0)=1.习题课ma习题课ma习题课ma习题课ma习题课ma习题课ma习题课ma习题课ma习题课ma习题课ma又又 f(0)= , 所以所以解：解：习题课ma习题课ma习题课ma习题课ma测测 验验 题题习题课ma习题课ma习题课ma习题课ma习题课ma习题课ma习题课ma测验题答案测验题答案习题课ma习题课ma
