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1、 在前几章，我们讨论了随机变量及其分布，如果知道了随机变量 X 的概率分布，那么 X 的全部概率特征也就知道了。然而，在实际问题中，概率分布一般是较难确定的。 而在一些实际应用中，人们并不需要知道随机变量的一切概率性质，只要知道它的某些数字特征就够了。因此，在对随机变量的研究中，确定某些数字特征是重要的。在这些数字特征中，最常用的是期望和方差。第四章第四章 随机变量的数值特征随机变量的数值特征4.1 数学期望1. 数学期望的定义 随机变量的数学期望是概率论中最重要的概念之一，它的定义来自习惯上的平均概念。定义 1： 设 X 是离散型随机变量，它的概率分布律为 P(X=xk)=pk, k=1,2
2、,。如果 有限，定义 X 的数学期望 也就是说，离散型随机变量的数学期望是一个绝对收敛的级数的和。定义 2： 设 X 是连续型随机变量，其密度函数为 f (x)，如果 有限，定义 X 的数学期望为亦即，连续型随机变量的数学期望是一个绝对收敛的积分。2. 随机变量函数的数学期望 设已知随机变量 X 的分布，需要计算的不是 X 的期望，而是 X 的函数 g(X) 的期望。 该如何计算呢？ 一种方法是，首先求随机变量函数 g(X) 的分布，然后按数学期望的定义计算 Eg(X) 。但是，求随机变量函数 g(X) 的分布，一般比较复杂。 可否不先求 g(X) 的分布而只根据 X 的分布来求得Eg(X)呢
3、？ 可以！定理： 设 X 是一个随机变量，当 X 为离散型时，其分布律为 P(X= xk)=pk；当 X 为连续型时，其密度函数为 f (x)。 Y=g(X)，则 该公式的重要性在于： 求 Eg(X)， 不必知道 g(X) 的分布，而只需知道 X 的分布就可以了。 这给求随机变量函数的期望带来很大方便。3. 数学期望的性质1）设 C 是常数，则 E(C) = C；2）若 k 是常数，则 E(kX) = kE(X)；3）E(X1+X2) = E(X1)+E(X2)； 推广 4. 设 X、Y 独立，则 E(XY) =E(X) E(Y)； 推广（诸 Xi 相互独立）由 E(XY)=E(X) E(Y)
4、 不一定能推出 X,Y 独立例. 电视塔观光电梯每整点的第5分钟、25分钟和55分钟从底层起行。假设一游客在早8点至9点之间随机来到底层候梯处，求该游客等候时间的数学期望。解：设该游客到达时刻为 8 点的第 X 分钟，等候电梯的时间为 Y（分钟）。 则 X 在 0,60 上均匀分布，而 Y 是 X 的函数。由题意，有所以4.2 方差 随机变量的数学期望体现了随机变量取值的平均水平，是随机变量的一个重要的数字特征。但是，仅仅知道平均值是不够的，还需要知道随机变量取值在其中心附近的离散程度。这个数字特征就是方差。1. 方差的定义 设 X 是一个随机变量，若 E(X-E(X)2 0，下述不等式成立：
5、或 这表明，方差越小，事件|X| 的概率越小，即事件|X| 的概率越大，亦即随机变量 X 集中在其数学期望附近的可能性越大。例. 在每次试验中，事件 A 发生的概率为 0.75。试利用切比雪夫不等式求，n 需要多大时，才能使得在 n 次独立重复试验中 A 出现的频率在 0.740.76 之间的概率至少为 0.9？解：设 X 为 n 次独立重复试验中 A 出现的次数，则所求为满足 P (0.74 X/n 0，D(Y) 0，称为随机变量 X 和 Y 的相关系数。相关系数的性质：1) |XY | 1 2) X、Y 相互独立时，XY = 0，但其逆不真。|XY | = 1 存在常数 a,b (b0)，
6、使PY=a+bX=1 即 X 和 Y 以概率 1 线性相关。 相关系数刻划了 X 和 Y 间“线性相关”的程度。 若 |XY | = 1，Y 与 X 有严格线性关系； 若 XY = 0，Y 与 X 无线性关系，也称 Y、X 不相关； XY 的值越接近于1，Y 与 X 的线性相关程度越高； XY 的值越接近于0，Y 与 X 的线性相关程度越弱。注意：不相关、相互独立是两个概念。相互独立指两个随机变量之间没有任何关系；不相关指两个随机变量之间没有线性关系。 若 X、Y 相互独立，则 XY = 0， X、Y 不相关；反过来，若 X、 不相关，它们却不一定相互独立。特例，若(X,Y)服从二维正态分布，
7、则 X、Y 不相关 X、Y 相互独立例. 某葙装有100件产品，其中一、二和三等品分别为80、10和10件。现从中随机抽取一件，记试求：1）X1 和 X2 的联合分布率； 2）X1 和 X2 的相关系数。解：1）令事件 Ai 表示“抽到第 i 等品” ( i =1,2,3)。由题意， A1, A2, A3 两两互不相容。有 X2X10 1010.1 0.10.8 0.0P( X1)P( X2)0.9 0.10.20.8 P(X1=0, X2=0) = P(A3) = 0.1 P(X1=0, X2=1) = P(A2) = 0.1 P(X1=1, X2=0) = P(A1) = 0.8 P(X1
8、=1, X2=1) = P() = 0.02） Cov(X1, X2) =E(X1X2) E(X1)E(X2)，而所以 Cov(X1, X2) = 0.08又 D(X1) = E(X12) E2(X1) = 0.16 D(X2) = E(X22) E2(X2) = 0.09所以4.4 矩 协方差矩阵一. 矩定义：设 X 和 Y 是随机变量 X 的 k 阶原点矩 E(X k ) X 的 k 阶中心矩 EX E(X )k X 和 Y 的 k+l 阶混合原点矩 E(X k X l ) X 和 Y 的 k+l 阶混合中心矩 EX E(X )k Y E(Y )l 可见，数学希望 E(X) 是 X 的一 阶原点矩；方差 D(X) 是 X 的二阶中心矩；协方差 Cov(X,Y) 是 X 和 Y 的二阶混合中心矩。二. 协方差矩阵将二维随机变量（X1, X2）的四个二阶中心矩排成矩阵的形式：称为（X1, X2）的协方差矩阵 类似定义 n 维随机变量 (X1,X2, ,Xn) 的协方差矩阵：为 (X1,X2, ,Xn) 的协方差矩阵。都存在，称矩阵i, j=1,2,n若协方差矩阵的特点：1）对角元 cii = D(Xi )2） cij = cji，是对称矩阵，有 C = C
