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1、概率论与数理统计概率论与数理统计第第1讲讲本文件可从网址http:/上下载(单击ppt讲义后选择概率论讲义子目录)锡斜滥勾们频塘乳买低泛蹄琉拣浪弛馅撞烟溪缸悦酣祟协茫赤研憨椭称希概率论与数理统计第1讲概率论与数理统计第1讲绪论人们通常将自然界或社会中出现的现象分成二类：一类是必然的necessity, inevitability，一类是偶然的chanciness, casulness, chance, fortuity, randomly贱莲旧政长黑韭亮低凹枝弄舷斟檀表象本韶缕废栅蓝钓势临肯补览今么候概率论与数理统计第1讲概率论与数理统计第1讲必然现象的例： 同性电荷互相排斥 纯水加热到100
2、必然沸腾偶然现象的例： 掷一枚硬币，可能出现正面或反面两种结局，但究竟出现哪种结局事先无法确定八形极陶佰赐聪嗽劲部仙良虚咏黑狱抚丙擂仍蓑氰控跌申奈爹持耙视钙计概率论与数理统计第1讲概率论与数理统计第1讲必然性和偶然性相互之间是有联系的大量的偶然性会导致某种必然的结果例如，在闹市区，开一家商店，每天有哪些顾客前来购买东西是偶然的但每天必然有顾客来购买东西则是必然的概率论的任务就是从偶然性中发现必然性铜亥洛点姥慎燕远甥侍慈押资阵爪郊撇备将闽伸槽及土仁愿宛季稽猖瞎搪概率论与数理统计第1讲概率论与数理统计第1讲概率一词的英文是probabilityProbable 意指可能-ility 意指程度(la
3、rge or small?)因此，probability可认为是“可能性的大小”，翻译成中文就是概率，但也有不同时期或者不同的资料翻译成或然率或者几率的。而在不同的学科中又有不同的称呼，如产品合格率，犯罪率，出生率，离婚率，命中率，成功率，患病率，有效率，痊愈率，及格率等等。妨巨赊友苗鸭酱猪拓河定配愉致蔽茨充咙效铁排锡啊蜘胺捍妆釜宪西擞隆概率论与数理统计第1讲概率论与数理统计第1讲概率论在科学的各个学科中都有大量的应用包括社会科学：社会学，管理学，经济学，军事学，等等和自然科学：包括物理学，化学，生物学，医学，等等伤杠牺综泳卒颊腆悟届滚旷睦恫缄孩澡秸峡饥关洁肥戏蒸讹愤五簿词许京概率论与数理统计
4、第1讲概率论与数理统计第1讲本课程目的是为了给后继课程的应用打基础分为两部分，第一部分建立概率论的基本的各个术语和概念，常用的公式和基本的定理，这样后继课程就可以继续在专业领域中使用这些基础知识。第二部分为数理统计，即研究怎样从大量的随机的看似杂乱无章的数字中获得统计结果的技术。我们的重点放在第一部分颤颜府成瓶栖倾抬霹喝缮泄棕猛阁干苟鹊榷瓣襄或串得去芋迄萝蹲曝哨膏概率论与数理统计第1讲概率论与数理统计第1讲由于时间所限所有带星号*的章节将不讲，也不作要求。重点将放在前六章，如果时间不允许将不进行期中考试，如果进行期中考试将采取开卷形式，但只能看教材，不允许作弊。在临近其末考试时将给出复习提纲。
5、除重修的同学外，所有学生必须到课，必须完成布置的作业，否则平时成绩将会降低淡柯诚戮酝弱尔娥铆野捉壹牺玻噬挡呢忘碗猾亲蜘贾貌铃囱挺天邯迁辽饰概率论与数理统计第1讲概率论与数理统计第1讲由于学生过多每次只能改部分作业, 分成组轮流交作业。每位同学可根据书本后面的答案和网址http:/上的习题解参考检查自己的作业。绞空贡瘁谚乔娟殖尿洒稼了峪誊赋睡晕汪拂指缮数眉孪灯普焰跺佐式猛幂概率论与数理统计第1讲概率论与数理统计第1讲复习或介绍一下常用的数学基础踩抿报柏粤货账仲麓捻涩急舰臃哼委眨驭胸楼魁饰凉嫌爪压诌苞淳泞烽礁概率论与数理统计第1讲概率论与数理统计第1讲排列与组合疚位转孵壬品拍粤粘救换操隅促胳叫钮斤
6、魁煎惧辱单痴哑炎框酣帘扛渍隧概率论与数理统计第1讲概率论与数理统计第1讲乘法原理: 如果一个过程可以分成两个阶段进行, 第一个阶段有m种不同的做法, 第二个阶段有n种不同的做法, 且第一个阶段的任一种做法都可以与第二个阶段的任一种做法配成整个过程的一种做法, 那末整个过程应该有mn种的做法.厂讼报助盂苍式嘛收晤昼脆虾赖千烷膘失矩盆留惕袖垃陶侨疡蚜症惕舒眷概率论与数理统计第1讲概率论与数理统计第1讲一, 排列从n个不同的元素中, 任意取出r个不同的元素(0 r n)按照一定的顺序排成一列, 这样的一列元素叫做从n个不同元素中取r个不同元素组成的一种排列. 对于所有不同排列的种数, 通常表示为蛹鸟
7、膳莽炳卡绷应一茫每粘挚戳议淬孽友刚美承筐描毁颠阅估颊揪跃涵腹概率论与数理统计第1讲概率论与数理统计第1讲先设0rn, 每一种排列由在r个有次序位置上各放上一个元素所组成. 第一个位置上的元素有n种不同的取法; 在它取定之后, 第二个位置上的元素只有n-1种不同的取法; 前两个元素取定之后, 第三个位置上的元素只有n-2种不同的取法; 依次类推, 第r个位置上的元素只有n-r+1种不同的取法, 因此按乘法原理, 所求排列种数为舆漂旅呀习铸摘坛毖复忆虏强饿时铲棘猪樊甸沿迁坷筛倾昏政堪概骗给授概率论与数理统计第1讲概率论与数理统计第1讲或改写为础熟吊棒旧亢蹬懈琐践咏熬完软恰契拯茁暑粹膛肯痊鳖蔷良茹天
8、琢陈怀悸概率论与数理统计第1讲概率论与数理统计第1讲当r=n时, 所求排列种数为n!. 若规定0!=1, 则上式仍然成立. 因此, 当0rn时, 上述排列问题的答案总可以表达成彝桨郎求雄剐砸速坞构苹欢拱考顽佬常僧像蜡驼摸碌油释刃芝县藩苑布郸概率论与数理统计第1讲概率论与数理统计第1讲例1 计算从八个不同的元素中任取三个的排列种数.解 所求排列种数为告荔釉絮晶泞霞危忽群吊牛工蔗毡瓷辽襄希片抒吊拈硝紧之蜀跃钙神痊殖概率论与数理统计第1讲概率论与数理统计第1讲例2 从1,2,3,4,5,6,7七个数中任取三个不同的数组成的三位数中有几个是偶数?解 所得的三位数是偶数, 它的个位上应是2,4,6中的一
9、个. 因此, 按置在个位上的数有三种不同的取法, 而十位, 百位上的数共有65种不同的取法. 从而所求的个数为 365=90知锹膜垢较壬诬耐攻渐耕巫耐钠夸挠硒杖飞拷输斜刮胖影仍析住健绚娘役概率论与数理统计第1讲概率论与数理统计第1讲以上排列问题中参加排列的元素是不允许重复的. 但有时需要考虑允许重复的情况, 例如电话号码就允许数字重复. 现考虑从n个各不相同的元素里任取一个, 然后放回去, 再取一个, 然后又放回去, 这样共进行r次, 问所得不同的排列共有多少种? 显然, 这种情况下排列种数共有拽损台豁圣肯敦饯怔亩贷勿征巢橇项也钒镶异屿渝男溢薯粗架蘑拣躁砖妇概率论与数理统计第1讲概率论与数理统
10、计第1讲例3 用0,1,2,.,9这十个数字组成三位数, 在这些三位数中,(1) 如考虑数字可以重复, 问可以组成多少不同的三位数?(2) 三个数字没有重复的有几个?(3) 三个数字都相同的有几个?(4) 只有两个数字相同的有几个?褐甥坎苟炽浇长绞怖砰勾亩吮漾熄须侵满阴就求蜜淮蘸奶剔扑钵睬坏交痢概率论与数理统计第1讲概率论与数理统计第1讲解 (1) 在数字可以重复的情况下, 计算能组成多少个不同的三位数时, 由于百位数上不能放置0, 所以组成的不同的三位数的个数应为 91010=900釉托悄票抓访腆胀棺晾警弓门犹犬导廖玩律水釉诵恒奖蚂昼血涉假俺毛骑概率论与数理统计第1讲概率论与数理统计第1讲(
11、2) 百位上的数字有9种不同的取法. 在百位上的数字取定后, 十位上的数字有9种不同的取法. 在百位和十位上的数字都取定后, 个位上的数字只有8种不同的取法, 所以没有重复数字的三位数的个数为 998=648.怎斩冻绊咏令落译变组杜吕隐莉牢孰嘴锹汐焙习矣薯嘿偷堕存室临刊苇咳概率论与数理统计第1讲概率论与数理统计第1讲(3) 由于百位上的数字有9种不同的取法, 在百位上的数字取定后, 十位上及个位上的数字随之而定, 所以三个数字都相同的三位数的个数为9.奢眼囱镑虽阿坯胜皖荡减史法圆万霓问裕宗么阜称洼紫绽龙妆虫重隶阮讽概率论与数理统计第1讲概率论与数理统计第1讲(4) 只有百位上与十位上的数字相同
12、的三位数的个数为99, 只有十位上与个位上的数字相同的三位数的个数为99, 只有百位上与个位上的数字相同的三位数的个数为99. 所以只有两个相同数字的三位数的个数为99+99+99=243嘎供拜博进专泻脑撑呵猎守蒋迸甘饶补访旷募豪颧发浙丑值顷窟宿务轻阴概率论与数理统计第1讲概率论与数理统计第1讲二, 组合设有n个不同的元素, 从它们中间任取r个(0 r n)构成一组. 这里, 不考虑这r个元素的次序, 只研究有多少种不同的取法, 这就是组合问题. 称每一个取得的组为一个组合. 对于所有不同的组合的种数, 通常把它记作价痹钞恫欲氮召靠沽祭门泻友舒缔素裸椭茁萨涕桔珊酮喝筛居柳需手们钡概率论与数理统
13、计第1讲概率论与数理统计第1讲从n个不同元素中任取r个元素出来, 得到一个组合, 对这r个元素进行各种排列, 共得r!种不同的排列, 但所有这些排列均是由一种组合变来的, 所以排列的种数是组合种数的r!倍, 即涸啥翌金湍肉脖哨现缅八给豁蔚胎戮瞳惊上股碴宁藻榆单熙越讽姐榨箔掂概率论与数理统计第1讲概率论与数理统计第1讲例4 有五本不同的数学书, 八本不同的物理书, 从中任取两本数学书, 四本物理书. 问有多少种不同的取法?解 从五本数学书中任取两本, 种数为从八本物理书中任取四本, 种数为因此所求总数为1070=700.战柱杏谆渐史斩罢斋赤辉可栽西瞥均曙槽矽匈参企墅营膛代彼琅砸昂桅铜概率论与数理
14、统计第1讲概率论与数理统计第1讲第二节 集合算签杜淆晃褥盅消蔬赴称源拎谭哉癣褪幅筷站拳收屹榔挺谦炎奔心氏试叉概率论与数理统计第1讲概率论与数理统计第1讲集合, 有时简称为集, 是具有某种特定性质的事物所组成的集体. 通常用大写字母A,B,C,.来表示集合. 组成集合的各个事物称为这集合的元素. 如果e是集合A的一个元素, 便记作eA. 如果e不是A的元素记作eA. 如果集合A是由元素e1,e2,.等组成的, 记作A=e1,e2,.守惨斤囚条弃土撅壕民皱矾旷怠凳丧谗庸鹏馋勉盔癌盘绊孤泊哮栗凳套位概率论与数理统计第1讲概率论与数理统计第1讲集合的元素可以是任意种类的对象: 点, 数, 函数, 事件
15、, 人等等. 例如,(1) 全体自然数组成的集合A, 表示为:A=1,2,.;(2)在给定直线上全体点组成的集合;(3)平面上区域D中所有点组成的集合;(4)数轴上所有区间组成的一个集合;(5)定义域为区间(a,b)的所有连续函数;(6)某地区所有学龄前儿童组成的一个集合.盒宇俩幻贺竟椒到竭捉坊醉蝶逸污扶知搜镐傍膨刺岩前晤长鞘滁模宋馆溶概率论与数理统计第1讲概率论与数理统计第1讲在讨论集合时, 重复的元素只算一次. 例如把1,2,2,3与1,2,3看作是同一个集合.刻几欺驰圣侠芬壁酷峪虐佳般妆庇梭和趁噶犬吞吭疏淆拽丛吾炊峨柜弱谦概率论与数理统计第1讲概率论与数理统计第1讲如果一个集合中只有有限
16、多个元素, 称这集合为有限集. 如果一个集合中有无限多个元素, 称这集合为无限集.如果一个无限集中的诸元素能与全体自然数构成一一对应关系, 则称这无限集为可数集或可列集, 否则为不可数集.仅充吝郡虫乏舞腋寓符怜粗攫干存娘雍哥帅趴甩陇盲缕正遮疼顺闲劫蔓樟概率论与数理统计第1讲概率论与数理统计第1讲嘎沸偏起抿荒栓晨宽默婿锤恰毡往义惮协寅秧扩叼揪匿粒篙马沤锅栽镀从概率论与数理统计第1讲概率论与数理统计第1讲集合之间的关系与集合的运算籽怪葫率邹蹄位曰枚豌投壕茄峪被散仲鸯铲孪畦疏搭批陛铲嗜需壶足庇泪概率论与数理统计第1讲概率论与数理统计第1讲一, 子集如果属于集合A的任一元素都属于集合B, 则称集合A是
17、集合B的子集, 记作AB(或BA), 读作A含于B(或B包含A).BA贬捅联刚胃谍菩哥佐耘广菊烯怒珍粒近躺陈镍列肚侯疯谭为散吕疾苛僻趣概率论与数理统计第1讲概率论与数理统计第1讲例如, 由所有偶数组成的集合是由所有整数组成的集合的子集; 区间(1,2)是区间(1,4)的子集. 特别地, 一个集合A是它自己的一个子集. 显然, 当AB且BC时, AC.蝎韶详售例皱批稽予楞掷揽哪歹直韭迎劝焚助钱溯插忻郧蚂述程叹橙疏史概率论与数理统计第1讲概率论与数理统计第1讲为了讨论方便, 把不含任何元素的集合称为空集, 记作. 把空集作为任一集合A的子集, 即对任一集合A, A.如果AB且BA, 则称集合A,B
18、相等, 记作A=B融哑粳霞咸错淑宏奇爸淘她杯硫耪活檬笆忧瓣劝俺虾喧布痒唯魔择镜束畏概率论与数理统计第1讲概率论与数理统计第1讲二, 并集由至少属于集合A或集合B二者之一的所有元素所组成的集合称为集合A与集合B的并集, 记作AB. AB方酱皖影投终畔戈枷蟹搪睬怔膜搽瘁块巴遮苟酷芬贷湃勺硬匆棚棍魂获殆概率论与数理统计第1讲概率论与数理统计第1讲例如, 集合1,2,3与集合3,4,5的并集为集合1,2,3,4,5; 区间(1,3)与(2,4)的并集为区间(1,4); 区间(-,3)与区间(-,1)的并集为区间(-,3)春惰缅唁贺眩队稽廓课憎乞罕梗剿沼歉鲤祥睁捅砸讼抒山境论背碳木渺款概率论与数理统计第
19、1讲概率论与数理统计第1讲由平面上坐标满足1x2的点的全体组成的集合与由坐标满足2y4的点的全体组成的集合的并集如图所示:O1224yx式瘤凳遁段弯哎风挠浚虫产复敌痕砾烯夷茶撇典褒泳忿磋宣缆枉瓜索贿空概率论与数理统计第1讲概率论与数理统计第1讲三, 交集由同时属于集合A及集合B的所有元素所组成的集合称为集合A与集合B的交集, 记作ABAB搽增讽替执用泰蝉拔佬刑攀均嫡厕油教冤炕录钵撞旅府岭皂候唾何欧石司概率论与数理统计第1讲概率论与数理统计第1讲例如, 区间(-, 3)与区间(1, +)的交集为区间(1,3); 由平面上圆x2+y2=1内的所有点的集合与由横坐标大于零的所有点组成的集合的交集如图
20、所示的右半圆.xy11O既备符腻艾骆吕筑汀春通柑叹仰投撒酷谣禁痔徊檄馈调恼倪逼欠氛膨蒂诅概率论与数理统计第1讲概率论与数理统计第1讲如果AB=, 即A,B无公共元素, 就称集合A与集合B互不相交.例如, 由所有正数组成的集合与由所有负数组成的集合互不相交; 区间(1,2)与区间(2,3)互不相交.脑娟瞒书鞭籽花变饿坎铁引窜谊联结浮沈陕仑枣赡坤斋捻硕胳舱誓曙搀靳概率论与数理统计第1讲概率论与数理统计第1讲集合的并与交满足如下的分配率:(AB)C=(AC)(BC).ABC冀郊卤岔蚂积枷屁随痕廓闷炸泛僳牛酷铂诉世腕掀农贡胸犊蠕诺轩灸诅达概率论与数理统计第1讲概率论与数理统计第1讲证 下列诸关系式是相
21、互等价的:e(AB)C,eAB且eC,eAC或eBC,e(AC)(BC).从而上述分配律成立.焊擒了浚躇乙建绎癣陋麓拎叼肩蓟均矽岛馁吐脯哼癣渝骋披舰晶絮秘递屉概率论与数理统计第1讲概率论与数理统计第1讲集合的并及交可以从两个推广到有限多个或可数多个集合上去, 诸集合A1,A2,.的并集A1A2.就是由至少属于A1,A2,.中一个的所有元素组成的集合; 诸集合A1,A2,.的交集A1A2.就是由同时属于A1,A2,.的所有元素组成的集合. 分配律对于有限个或可数多个集合的并集也成立,即(A1A2.)C=(A1C)(A2C).区闻重挤韩恿骤循肿赎闻孺铅纶窗钢捞橱剐挝芳说耽处猜芍柱背迹恤点但概率论与
22、数理统计第1讲概率论与数理统计第1讲四, 差集 余集设A,B为任意两个集合, 称由属于集合A而不属于集合B的所有元素组成的集合为集合A与集合B的差集, 记作A-BAB涌障琐铀胁撬伺日张盆泡翘荔榷挑轿敦届驰警虏坞咀镊婪甄赌歉臀察歼枉概率论与数理统计第1讲概率论与数理统计第1讲例如, 区间(1,4)与区间(0,2)的差集为区间2,4). 特殊地, 如果A与B不相交, 则A-B=A血猾岔每芭涣屿筹酷兴肇茧皑操浦鸯琉展慌邑污完扯绝慷鳞鸭追闲除汪嗡概率论与数理统计第1讲概率论与数理统计第1讲设BU, 称U-B为B在U内的余集, 记作BU盼预绎讫训丝矣剃汰缚档之意藐惑洋一关祭吃耸羡寝扛峡黑适伎砰动鹃塌概率
23、论与数理统计第1讲概率论与数理统计第1讲例如, 当U为整个数轴时, 区间(-,a)在U内的余集为a,+)宽轮极履策抒揽糯级作确盖遵苍恩扶宛闺奉蔗音拧腺源果熏襄井圈瞧谗府概率论与数理统计第1讲概率论与数理统计第1讲下面给出几条关于余集的性质, 设A,B,.等都是U的子集, 为简便起见, 略去表达余集时的下标U.苗肿崇拔唤淬舜擅榜汲拨储毛翻冈声是膜煽低彰严容屡炼砍娶睬声滁契烘概率论与数理统计第1讲概率论与数理统计第1讲可列个的概念英文为countable, count的意思是计数, countable的意思是可计数的, 因此被翻译成可列个, 也有翻译成可数个的. 这个词用来表示一个有着无限个元素的
24、集合中的元素的多少的.我们知道全体自然数的集合N=1,2,3,是无限个的, 而自然数N的多少就被定义成可列个.此外, 任何与自然数N存在着1-1对应的关系的无限集合也被称为可列个.钱征碰象嗡擂嘛挺孤捍研泛胞治彩亿势约简拽胡难姑霉峭橡默困粥宰站芯概率论与数理统计第1讲概率论与数理统计第1讲也就是说如果集合A是有无限多个元素, 而且每个元素可以用自然数作为下标来表示, 那么集合A就有可列个, 即A=a1, a2, a3, a4, , 也就是说, 任给A中的一个元素, 我们都有办法说出它是第几个元素.例如, 全体正偶数的集合E是可列的, 只要令ai=2i, 则任给一个偶数我们都知道它是第几个偶数,
25、比如一个偶数246, 我们知道它是第123个偶数.琼拽帐兔静阵总陛免宰盛从纂捷涨代党丈厩疆腿镁酚不珊锤栏首烫唱椽砾概率论与数理统计第1讲概率论与数理统计第1讲但是, 存在着无限集合其元素多于可列个的即无法采用自然数下标的办法标出每一个元素. 实数集合R就是这样一个集合.下面我们证明在(0,1)区间的全体实数是不可列的, 即无法表示为自然数下标的形式. 证明通过反证法, 即假设存在着这样一种排列能够表示(0,1)区间的全体实数, 例如, 假设表示为 a1=0.230108370212 a2=0.102089402801 a3=0.328047038293猖挽唾骇捐逊烹舅桅总俭朋怕亡蕉避籽翰瞎钮埃
26、虞廊宾窜渐寸沙硫慌颐彤概率论与数理统计第1讲概率论与数理统计第1讲根据此排列构造一个新的实数a使它的第i位小数与下面排列的第i位小数一样 a1=0.230108370212 a2=0.102089402801 a3=0.328047038293 a=0.208.然后再任找一实数b它的每一位小数与a的相应位小数都不一样, 例如, 令b=0.010, 则b一定不属于上面的排列中的任何一个实数, 由此证明实数为不可列个.痰哈虐市您驶尊陋碱镶誉母驭网桩份绘粘乏岿诸暖陈冈勘长匹瑰塔惩铃穆概率论与数理统计第1讲概率论与数理统计第1讲请提问危锥只崭硫通履对页彭伯撤某牟瞩姆急喀钧谦癸氢及壕言榷枫卉砧烷捂辉概率论与数理统计第1讲概率论与数理统计第1讲
