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1、极坐标和参数方程知识框架命题趋势考考查的重点：的重点：一是参数方程、极坐一是参数方程、极坐标方程和曲方程和曲线的关系；的关系；二二是是由由曲曲线的的参参数数方方程程、极极坐坐标方方程程求求曲曲线的的基基本本量量主主要要考考查对方方程程中中各各量量几几何何意意义的的理理解解，知知识面面不不太太广广，重重在考在考查基基础知知识一、极坐标的概念1.平面上点的极坐标图10-1 极坐标系图形示意图10-5 点M的极坐标 2.极坐标和直角坐标的互化 极坐标系和直角坐标系是两种不同的坐标系，同一个点可以用极坐标表示，也可以用直角坐标表示.为了研究问题方便，有时需要把它们进行互化.图10-6 直角坐标系与极坐
2、标系的关系二、曲线的极坐标方程1.曲线的极坐标方程的概念图10-7 例5题图形 2.极坐标方程的作图 极坐标方程的作图与直角坐标方程、函数的作图一样，都可用描点法.图10-10 极坐标系中的对称关系条件条件曲线的对称性曲线的对称性条件条件曲线的对称性曲线的对称性图10-11 心形线3.极坐标方程的建立图10-12 例8图形图10-13 例9图形 *4.等速螺线及其方程 当一个动点沿着一条射线做等速运动，而射线又绕着它的端点做等角速旋转时，这个动点的轨迹叫做等速螺线（阿基米德螺线）.下面我们来建立等速螺线的极坐标方程.图10-14 等速螺线的极坐标系图10-15 等速螺线图10-16 例10图形
3、知识梳理极轴极轴极坐标系极坐标系极径极径极角极角极坐标极坐标2x2y22acos要点探究 探究点探究点1平面直角坐标系中图象的变换平面直角坐标系中图象的变换 【思思路路】把把中中心心不不在在原原点点的的椭椭圆圆通通过过平平移移变变换换化化为为中中心心在在原原点点的的椭椭圆圆，再再通通过过伸伸缩缩变变换换化化为为中中心心在在原原点点的的单单位位圆圆 【点点评】本本题题设设计计的的目目的的是是考考查查平平面面直直角角坐坐标标系系中中图图象象的的变变换换的的基基本本应应用用意意在在通通过过曲曲线线图图象象的的变变换换， 来来表表示示对对应应的的坐坐标标伸伸缩缩变变换换对对于于伸伸缩缩变变换换下下图图
4、象象对对应应的的方方程程变变化化也也是是应该掌握的，但在本讲中只作了解应该掌握的，但在本讲中只作了解. 【思路思路】通过坐标变换求出曲线的变换方程通过坐标变换求出曲线的变换方程 【点点评】曲曲线线的的伸伸缩缩变变换换和和平平移移变变换换在在具具体体解解题题时时往往往往要要综综合合使使用用，两两个个步步骤骤的的变变换换，变变换换的的顺顺序序不不同同，变变换换的的大大小小是是不不一一样的，通过实例比较加以区别样的，通过实例比较加以区别 探究点探究点2极坐标与直角坐标的互化极坐标与直角坐标的互化 【思思路路】利利用用极极坐坐标标和和直直角角坐坐标标的的互互化化公公式式把把极极坐坐标方程化为直角坐标方
5、程标方程化为直角坐标方程. 【点点评】 极极坐坐标标和和直直角角坐坐标标的的两两组组互互化化公公式式必必须须满满足足三三个个条条件件才才能能使使用用：(1)原原点点和和极极点点重重合合；(2)x轴轴正正半半轴轴与与极极轴轴重重合合；(3)两两坐坐标标系系中中长长度度单单位位相相同同极极坐坐标标和和直直角角坐坐标标的的互互化化中中，更更要要注注意意等等价价性性，特特别别是是两两边边同同乘乘n时时，方方程程增增加加了了一一个个n重重解解0，要判断它是否是方程的解，若不是要去掉该解，要判断它是否是方程的解，若不是要去掉该解 探究点探究点3极坐标方程的求解极坐标方程的求解 【答案答案】 1020cos
6、 【点点评】求求曲曲线线的的极极坐坐标标方方程程，关关键键就就是是找找出出曲曲线线上上的的点点满满足足的的几几何何条条件件，将将它它们们用用极极坐坐标标表表示示，通通过过解解三三角角形形得得到到当当然然，直直角角坐坐标标系系中中轨轨迹迹方方程程的的求求解解方方法法，对对极极坐坐标标方方程程的的求求解解也也适适用用，如如直译法、定义法、动点转移法等直译法、定义法、动点转移法等 【思思路路】 先先把把圆圆C的的参参数数方方程程化化为为直直角角坐坐标标方方程程，然后在所建的极坐标系中构造三角形然后在所建的极坐标系中构造三角形图722 【点点评】本本题题中中极极坐坐标标极极点点与与直直角角坐坐标标系系
7、的的原原点点不不重重合合，不不能能用用极极坐坐标标与与直直角角坐坐标标的的互互化化公公式式求求解解，这这是是同同学学解解题题时时易易犯犯的的错误，错误， 探究点探究点4简单的极坐标方程的应用简单的极坐标方程的应用 【思思路路】有有两两种种解解题题思思路路，一一是是在在极极坐坐标标系系下下联联立立方方程组求解，另一种方法是化为直角坐标方程求解程组求解，另一种方法是化为直角坐标方程求解 【答案答案】 【点点评】本本题题有有两两种种解解法法，一一种种是是在在极极坐坐标标系系下下，结结合合图图形形求求解解；另另一一种种是是先先化化成成直直角角坐坐标标，然然后后在在直直角角坐坐标标系系下下求求解解由由极
8、极坐坐标标方方程程解解决决的的问问题题，若若不不好好处处理理，就就直直角角坐坐标标化化；由由直直角角坐坐标标给给出出的问题，若用极坐标方法处理较为简便，就极坐标化的问题，若用极坐标方法处理较为简便，就极坐标化. 【思思路路】 (1)利利用用直直角角坐坐标标与与极极坐坐标标的的互互化化公公式式；(2)设极坐标求解设极坐标求解 【点点评】本本题题在在处处理理过过椭椭圆圆中中心心的的弦弦长长时时，用用极极坐坐标标方方法法比比直角坐标方法要简便的多直角坐标方法要简便的多. 探究点探究点5柱坐标和球坐标的应用柱坐标和球坐标的应用 【答案答案】 规律总结参 数 方 程一、参数方程的概念先来看下面的一个例子
9、.图10-17 炮弹运动规律的轨迹 方程组（10-3）和方程组（10-4）叫做曲线的参数方程.变量t叫做参数. 在用参数方程表示曲线时，方程中的参数不一定是时间，也可以是其他的量，应当根据问题的具体条件适当地选定. 为了与曲线的参数方程有所区别，我们把表示曲线上点的坐标之间的直接关系的方程叫做曲线的普通方程.二、参数方程的作图三、化曲线的参数方程为普通方程曲线的参数方程：四、曲线参数方程的建立1.椭圆的参数方程图10-20 辅助圆作法示意这是所给椭圆的参数方程.即得到圆的参数方程为：2.圆的渐开线的参数方程图10-22 圆的渐开线 下面我们分别在直角坐标系与极坐标系内建立圆的渐开线的参数方程.
10、这就是圆的渐开线的直角坐标参数方程.图10-23 极坐标系中圆的渐开线3.摆线的参数方程这就是摆线的参数方程,图10-24 摆线知识梳理参数方程参数方程参变数参变数参数参数普通方程普通方程要点探究 探究点探究点1曲线的参数方程曲线的参数方程 【思思路路】把把参参数数方方程程化化成成普普通通方方程程，在在直直角角坐坐标标系系下下求解圆心到直线求解圆心到直线l的距离的距离 【思思路路】当当小小圆圆上上的的定定点点从从A点点滚滚动动到到M点点时时，小小圆圆滚动的弧长滚动的弧长 等于所滚的大圆弧长等于所滚的大圆弧长 . 探究点探究点2参数方程与普通方程的互化参数方程与普通方程的互化 【思思路路】 参参
11、数数方方程程化化为为普普通通方方程程，利利用用普普通通方方程程讨讨论曲线的位置关系论曲线的位置关系第第7373讲讲要点探究 探究点探究点3直线的参数方程直线的参数方程 【思思路路】利利用用直直线线参参数数方方程程的的标标准准形形式式的的参参数数的的几几何何意义求解意义求解 【点点评】直直线线参参数数方方程程的的标标准准形形式式下下的的参参数数t具具有有明明显显的的几几何何意意义义，即即参参数数|t|对对应应点点M到到点点M0的的距距离离下下面面设设计计的的变变式式训练进一步体现直线方程的运用训练进一步体现直线方程的运用 【思思路路】可可设设直直线线的的倾倾斜斜角角为为，利利用用直直线线的的参参
12、数数方方程程求求解，进而转化为三角函数的问题来解解，进而转化为三角函数的问题来解 探究点探究点4圆锥曲线的参数方程及其应用圆锥曲线的参数方程及其应用 【思思路路】利利用用椭椭圆圆的的参参数数方方程程，转转化化为为求求三三角角函函数数的的最值最值 【点点评】通通过过三三角角函函数数换换元元，二二元元函函数数xy转转化化为为的的一一元元函函数数圆圆锥锥曲曲线线(包包括括圆圆)的的参参数数方方程程的的探探求求与与应应用用，与与代代数数变变换换、三三角角函函数数及及向向量量都都有有密密切切的的联联系系，且且参参数数方方程程中中的的参参数数都都有有确确定定的的几几何何意意义义，但但它它们们的的几几何何意
13、意义义不不像像圆圆的的参参数数方方程程中中的的参参数数那那样样明明确确圆圆锥锥曲曲线线的的参参数数方方程程的的应应用用在在于于通通过过参参数数可可以以简简明明地地表表示示曲曲线线上上任任意意点点的的坐坐标标，将将解解析析几几何何中中的的计计算算问问题题转转化化为为三三角角问问题题，从从而而运运用用三三角角性性质质及及变变换换公公式式帮帮助助求求解解最最值值、参参数数范范围围等等问问题题下下面面设设计计一一变变式式训训练练，利利用用参参数数方方程程求求距距离离 【思思路路】用用角角度度表表示示椭椭圆圆上上的的动动点点，转转化化为为求求三三角角函函数数的的最值。最值。 【点点评】因因为为最最短短距距离离的的点点对对应应的的角角度度是是非非特特殊殊值值，需需借借助三角函数转化为点的直角坐标助三角函数转化为点的直角坐标规律总结
