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1、第9讲 直线与圆锥曲线的位置关系考纲要求考点分布考情风向标1.了解直线与圆锥曲线的位置关系.2.理解数形结合的思想.3.了解圆锥曲线的简单应用2012年新课标第20题考查直线、圆与抛物线的综合应用；2013年新课标第10题以椭圆的中点弦为背景，考查椭圆方程的求法(点差法)；2014年新课标第20题(2)考查直线与椭圆的综合应用；2015年新课标第20题(1)(2)考查抛物线的切线，及直线与抛物线位置关系等综合应用；2016年新课标第20题考查抛物线的几何意义及直线与抛物线的位置关系1.本节复习时，应从“数”与“形”两个方面把握直线与圆锥曲线的位置关系.本节内容的特点是运算量比较大，应通过示例的
2、剖析，掌握常规解题规律与方法，优化解题过程.2.重点掌握直线与曲线的位置关系(弦长、中点或交点个数)及有关最值、定值、定点、轨迹问题1.直线与圆锥曲线的位置关系判断直线 l 与圆锥曲线 C 的位置关系时，通常将直线 l 的方程 AxByC0(A，B 不同时为 0)代入圆锥曲线 C 的方程F(x，y)0，消去 y(也可以消去 x)，得到一个关于变量 x(或变量 y)的一元方程.(1)当 a0 时，设一元二次方程 ax2bxc0 的判别式为，则0直线 l 与圆锥曲线 C 相交；0直线 l 与圆锥曲线 C_；相切0直线 l 与圆锥曲线 C 无公共点.(2)当 a0，b0 时，即得到一个一次方程，则直
3、线 l 与圆锥曲线 C 相交，且只有一个交点，此时，若 C 为双曲线，则直线 l 与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若 C 为抛物线，则直线 l 与抛物线的对称轴的位置关系是平行.2.圆锥曲线的弦长(1)圆锥曲线的弦长：直线与圆锥曲线相交有两个交点时，这条直线上以这两个交点为端点的线段叫做圆锥曲线的弦(就是连接圆锥曲线上任意两点所得的线段)，线段的长就是弦长.(2)圆锥曲线的弦长的计算：3.直线与圆锥曲线的位置关系口诀“联立方程求交点，根与系数的关系求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”.设直线与双曲线右支交于不同的两点 A(x1，y1)，答案：D2.平面上一机器人在行进中始终保持与点 F(
4、1,0)的距离和到直线 x1 的距离相等.若机器人接触不到过点 P(1,0)且斜率为 k 的直线，则 k 的取值范围是_.(，1)(1，)解析：根据抛物线的定义知机器人的运动轨迹是一条以F(1,0)为焦点的抛物线，则其方程为 y24x.由题意知该抛物线与直线 y k(x 1) 没有交点，联立直线与抛物线的方程，得1k20.所以 k 的取值范围是(，1)(1，).3.(2016 年河北唐山模拟)过抛物线 C：y24x 的焦点 F 作直线 l 交抛物线 C 于 A，B 两点，若 A 到抛物线的准线的距离为 4，则|AB|_.考点 1 弦长公式的应用图 7-9-1思维点拨：利用点到直线的距离求解|C
5、D|后；再将直线方程与圆锥曲线方程联立，消元后得到一元二次方程，利用根与系数的关系得到两根之和、两根之积的代数式，然后利用弦长公式进行整体代入求出|AB|.【互动探究】相交于 A，B 两点，则弦 AB 的长为_.考点 2 点差法的应用(1)求斜率为 2 的平行弦中点的轨迹方程；(2)过点 A(2,1)引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；思维点拨：用点差法求出割线的斜率，再结合已知条件求解.【规律方法】(1)本题的三个小题都设了端点的坐标，但最终没有求点的坐标，这种“设而不求”的思想方法是解析几何的一种非常重要的思想方法.(2)本例这种方法叫“点差法”，“点差法”主要解决四类题型：求平行弦
6、的中点的轨迹方程；求过定点的割线的弦的中点的轨迹方程；求过定点且被该点平分的弦所在的直线的方程；有关对称的问题.(3)本题中“设而不求”的思想方法和“点差法”还适用于双曲线和抛物线.【互动探究】曲线交于 P，Q 两点，并且 A 为线段 PQ 的中点？若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，请说明理由. 因为 A(1,1)为线段 PQ 的中点，所以 x1x22，y1y2 2.若 x1x2，则直线 l 的方程为 x1，显然不符合题意；所以其方程为 2xy10.再由162480，得所求直线不存在. 方法二，设点 P(x1，y1)，Q(x2，y2)在双曲线上，且线段 PQ的中点为(1,1)，若直线 l 的斜率不存在，显然不符合题意.设经过点 A 的直线 l 的方程为 y1k(x1)，解得 k2.当 k2 时，方程化简后为 2x24x30.162480，得 b0，解得 k0.x1x24k4.解得 k1.此时，k1 满足，直线 l 的方程为 xy10.
