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1、 由四个数排成二行二列（横排称行、由四个数排成二行二列（横排称行、竖排称列）的数表排称列）的数表数数称称为数表（数表（4）所）所确确定的定的二二阶行列式行列式, 记为1 二二阶行列式和三行列式和三阶行列式的定行列式的定义1=复复习二二阶行列式行列式三阶行列式三阶行列式定定义 设有有9个数排成个数排成3行行3列的数表列的数表原原则：横行：横行竖列列引引进记号号称称为三三阶行列式行列式. .主主对角角线 副副对角角线 2定定义1 由由1, 2，n 组成的一个有序数成的一个有序数组称称 为一个一个 n 级排列。排列。3定定义2 在一个排列中，如果一在一个排列中，如果一对数的前后位置数的前后位置 与大
2、小与大小顺序相反，即前面的数大于后面序相反，即前面的数大于后面 的数，那么它的数，那么它们就称就称为一个一个逆序逆序。一个排列中的所有逆序的一个排列中的所有逆序的总数数叫做叫做这个个排列的排列的逆序数逆序数.逆序数逆序数为 95 4 2 3 1例例:排列排列 542312 排列排列法法1：法法2：4计算排列的逆序数的方法：算排列的逆序数的方法：定定义3 逆序数逆序数为奇数的排列叫做奇数的排列叫做奇排列奇排列；逆序数逆序数为偶数的排列叫做偶数的排列叫做偶排列偶排列.5定定义4 把一个排列中某两个数的位置互把一个排列中某两个数的位置互换，而，而 其余的数不其余的数不动，就得到另一个排列。，就得到另
3、一个排列。这 样一个一个变换称称为一个一个对换。排列排列2431对换1, 2排列排列1432逆序数逆序数4逆序数逆序数3定理定理 1 对换改改变排列的奇偶性。排列的奇偶性。排列排列2431对换1, 2排列排列1432逆序数逆序数4逆序数逆序数0对换2, 4排列排列1234逆序数逆序数3定理定理2 任意一个任意一个n 级排列与排列排列与排列12n都可以都可以 经过一系列一系列对换互互变，并且所做，并且所做对换的个的个 数与数与这个排列有相同的奇偶性。个排列有相同的奇偶性。63 n 阶行列式的定义阶行列式的定义将将n2个数排成个数排成n行行n列的数表，列的数表，71. n 阶行列式共有行列式共有
4、n! 项2.2.每一每一项都是位于不同行不同列的都是位于不同行不同列的 n 个元素的乘个元素的乘积3.3.每一每一项可以写成可以写成 （正（正负号除外），其中号除外），其中 是是1, 2, , n 的某个排列的某个排列. .4.4.当当 是是偶排列偶排列时，对应的的项取取正号正号； 当当 是是奇排列奇排列时，对应的的项取取负号号. . 称称为n阶行列式行列式, 其中其中t为列列标排列的逆序数。排列的逆序数。即即8说明说明1 1 行列式是一种特定的算式，它是根据求解方行列式是一种特定的算式，它是根据求解方 程个数和未知量个数相同的一次方程程个数和未知量个数相同的一次方程组的需的需 要而定要而定义
5、的的; ;3 一一阶行列式行列式2 行列式的行列式的计算算结果是一个数果是一个数;9思考思考题： 成立成立吗？答：答：符号符号 可以有两种理解：可以有两种理解：若理解成若理解成绝对值，则 ；若理解成一若理解成一阶行列式，行列式，则 . .不要与不要与绝对值记号相混淆号相混淆.主对角线主对角线副对角线副对角线对角线法则对角线法则二二阶行列式的行列式的计算算对角角线法法则 二二阶行列式是主行列式是主对角角线上两元素之上两元素之积减去副减去副对角角线上二元素之上二元素之积所得的差所得的差 10三三阶行列式的行列式的计算算 对角角线法法则 注意：注意：对角角线法法则只适用于二只适用于二阶与三与三阶行列
6、式行列式. . 法法则：实线上的三个元素的乘上的三个元素的乘积冠正号，冠正号， 虚虚线上的三个元素的乘上的三个元素的乘积冠冠负号号. .11例例1 计算行列式算行列式 解解按按对角角线法法则，有，有12例例2 2： 写出四写出四阶行列式中含有因子行列式中含有因子 的的项. . 解：解：和和13例：例： 计算行列式算行列式14解：解：其中其中 1516四个四个结论：(1) (1) 对角行列式角行列式 (2)(2)反反对角行列式角行列式 17(3) (3) 上三角形行列式上三角形行列式 （主（主对角角线下下侧元素都元素都为0 0）(4) (4) 下三角形行列式下三角形行列式 （主（主对角角线上上侧
7、元素都元素都为0 0）18思考思考题：用定用定义计算行列式算行列式1130230021011210- - - - -= =D19本次课的内容本次课的内容 n阶行列式的性行列式的性质2021=2223定理定理2 n 阶行列式也可定行列式也可定义为 =24定理定理3 n 阶行列式也可定行列式也可定义为 行列式的三种表示方法行列式的三种表示方法例例1 确定确定5阶行列式中乘行列式中乘积项 的符号的符号.解：解：方法方法1 5 + 4 = 9方法方法225一、行列式的性质一、行列式的性质行列式行列式 称称为行列式行列式 的的转置行列式置行列式. . 记26例例一、行列式的性质一、行列式的性质行列式行列
8、式 称称为行列式行列式 的的转置行列式置行列式. . 若若记 ，则 .记性性质1 行列式与它的行列式与它的转置行列式相等置行列式相等, ,即即 .27性性质1 行列式与它的行列式与它的转置行列式相等置行列式相等. .证明明根据行列式的定根据行列式的定义，有，有若若记 ，则行列式中行与列具有同等的地位行列式中行与列具有同等的地位, ,行列式的性行列式的性质凡是凡是对行行成立的成立的对列也同列也同样成立成立. .28例例1 计算行列式算行列式 解解按按对角角线法法则，有，有29性性质2用一个数乘行列式的某一行（列）等于用一个数乘行列式的某一行（列）等于用用这个数乘以行列式，即个数乘以行列式，即:3
9、0行列式的某一行中所有元素的公因子可以提到行列式行列式的某一行中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面。符号的外面。31证法一：定义证法一：定义32证法二：证法二：与第与第i 行的元素行的元素其中其中无关无关33若若k=0，34行列式中有一行行列式中有一行为零行，零行，此此时行列式行列式为0.性性质3 若行列式的某一行的元素都是两数之和，若行列式的某一行的元素都是两数之和，则35与第与第i 行的元素行的元素其中其中无关无关3637性性质4 如果行列式中有两行相同（如果行列式中有两行相同（对应元素元素都相等），那么行列式都相等），那么行列式为0.即，若即，若38则性性质5 如果行列式中有两行成
10、比例，那么行列如果行列式中有两行成比例，那么行列式式为0.=039性性质6 把一行的倍数加到另一行，行列式不把一行的倍数加到另一行，行列式不变。404142性性质7 对换行列式中两行的位置，行列式反号。行列式中两行的位置，行列式反号。434445性性质2用一个数乘行列式的某一行（列）等于用一个数乘行列式的某一行（列）等于用用这个数乘以行列式个数乘以行列式.性性质3 若行列式的某一行的元素都是两数之和，若行列式的某一行的元素都是两数之和，则备注：第注：第 行（列）乘以行（列）乘以 ，记作作 . .46性性质1 行列式与它的行列式与它的转置行列式相等置行列式相等, ,即即 .行列式的性行列式的性质
11、性性质6把一行的倍数加到另一行，行列式不把一行的倍数加到另一行，行列式不变。性性质7对换行列式中两行的位置，行列式反号。行列式中两行的位置，行列式反号。性性质5 如果行列式中有两行成比例，那么行列式如果行列式中有两行成比例，那么行列式为0.备注：以数注：以数 乘第乘第 行（列）加到第行（列）加到第 行（列）上，行（列）上，记作作备注：交注：交换第第 行（列）和第行（列）和第 行（列），行（列），记作作47性性质4如果行列式中有两行相同（如果行列式中有两行相同（对应元素都相等），元素都相等），那么行列式那么行列式为0.例例二、应用举例二、应用举例计算行列式常用方法：利用性算行列式常用方法：利用性
12、质2,6,7 把行列式化把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的上三角形行列式，从而算得行列式的值48解解4950515253例例2 计算算 5 阶行列式行列式解解 将第将第 2, 3, 4, 5 行都加到第行都加到第1行得行得5455=14( (行列式中行与列具有同等的地位行列式中行与列具有同等的地位, , 凡是凡是对行成行成立的性立的性质对列也同列也同样成立成立).).计算行列式常用方法：算行列式常用方法：三、小结三、小结行列式的行列式的7 7个性个性质56(1)(1)利用定利用定义; ;(2)(2)利用性利用性质把行列式化把行列式化为上三角形行列式，从而上三角形行列式，从而 算得行列式的算得行列式的值
