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1、微积分中值定理详细微积分中值定理详细 定理定理1 设函数设函数 f (x)满足条件：满足条件： 由上述的讨论，我们可以得到如由上述的讨论，我们可以得到如下定理下定理罗尔（罗尔（Rolle）定理。）定理。 设设 y= f (x)是一条连续光滑的曲线，并且在点是一条连续光滑的曲线，并且在点A、B处的纵坐标相处的纵坐标相等，即等，即f (a) = f (b) ，如图，那么我们容易看出，在弧，如图，那么我们容易看出，在弧 AB 上至小有一上至小有一点点C(, f ()，曲线在，曲线在C点有水平切线。点有水平切线。 （1）在闭区间）在闭区间a,b上连续；上连续； （2）在开区间）在开区间(a,b)内可导
2、；内可导； （3） f (a) = f (b) .则在则在(a,b)内至少存在一点内至少存在一点 ，使得，使得 证证 因因 f (x)在闭区间在闭区间a,b上连续所以在上连续所以在a,b上一定取到最大值上一定取到最大值M和最小值和最小值m。 (1)若若M = m则则 f (x)在在a,b上是常数；上是常数； f (x) = M， x a,by o xACBab3.1.1 3.1.1 罗罗 尔尔 定定 理理 由拉格朗日定理可以得出两个重要的推论。由拉格朗日定理可以得出两个重要的推论。 证证 在在(a,b)内任意取两点内任意取两点 x1，x2，不妨设，不妨设 x1 x2，显然，显然 f (x)在在
3、a,b上连续，在上连续，在(x1，x2)内可导，由拉格朗日中定理可知，至少存在一内可导，由拉格朗日中定理可知，至少存在一点点 (x1，x2) ，使得，使得 推论推论2 若函数若函数 f (x)， g(x)在在(a,b)内可导，且内可导，且 推论推论1 若函数若函数 f (x)在在(a,b)内任意点的导数内任意点的导数 ，则，则 f (x)在在(a,b)内是一个常数。内是一个常数。 由条件知由条件知 ，从而，从而f (x2) f (x1) = 0。即。即 f (x2) = f (x1)。由。由 x1，x2是是(a,b)内的任意两点，于是我们就证明了内的任意两点，于是我们就证明了 f (x)在在(
4、a,b)内恒为一个常数。内恒为一个常数。 则在则在(a,b)内，内， f (x)与与g(x)最多相差一个常数，即最多相差一个常数，即其中其中c为常数。为常数。 事实上，因为事实上，因为 ，由，由推论推论1可知可知 应用拉格朗日定理，我们不可以证明一些等式和不等式应用拉格朗日定理，我们不可以证明一些等式和不等式 。例例例例1. 1. 证明等式证明等式证明等式证明等式证证: 设设由推论可知由推论可知 (常数常数) 令令 x = 0 , 得得又又故所证等式在定义域故所证等式在定义域 上成立上成立.自证自证:经验经验: 欲证欲证时时只需证在只需证在 I 上上机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回
5、返回 结束结束 3.1.3 柯柯 西西 中中 值值 定定 理理 定理定理3 设函数设函数 f (x) 和和 g(x) 满足条件：满足条件： 作为拉格朗日定理的推广，我们证明如下柯西定理：作为拉格朗日定理的推广，我们证明如下柯西定理：则在则在(a,b)内至少存在一点内至少存在一点，使得，使得 证证 先用反证法证明先用反证法证明g(b) g(a)0，若不然，即有，若不然，即有g(b) = g(a).则由罗尔定理知，至少存在一点则由罗尔定理知，至少存在一点x0 (a,b)，使得，使得 ，此与条，此与条件件(3)矛盾，故有矛盾，故有g(b) g(a)0。 （1）在闭区间）在闭区间a,b上连续；上连续；
6、 （2）在开区间）在开区间(a,b)内可导；内可导； 注注 容易看出，拉格朗日中值定理是柯西定理当容易看出，拉格朗日中值定理是柯西定理当 g (x) = x时的时的一个特殊情况。柯西定理的一个直接应用是证明下面的洛必达法则。一个特殊情况。柯西定理的一个直接应用是证明下面的洛必达法则。 即即显然显然F (x)满足罗尔定理的三个条件，因此，在满足罗尔定理的三个条件，因此，在(a,b)内至少存在一点内至少存在一点，使得，使得 ，即，即 为证明等式成立，我们作辅助函数为证明等式成立，我们作辅助函数 三、其他未定式三、其他未定式 二、二、 型未定式型未定式一、一、 型未定式型未定式第二节机动 目录 上页
7、 下页 返回 结束 洛必达法则 第三三章 定理：设（定理：设（1） （2）在点）在点 的某邻域内（点的某邻域内（点 本身可以本身可以 除外），除外）， 及及 存在且存在且 （3） 存在或为无穷大，存在或为无穷大，则有则有一一 两个无穷小量之比的极限两个无穷小量之比的极限 （ 型）型） 3.1.4 3.1.4 罗必达法则罗必达法则例例例例1. 1. 求求求求解解: 原式原式注意注意: 不是未定式不能用洛必达法则不是未定式不能用洛必达法则 !机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例例例2. 2. 求求求求解解: 原式原式 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结
8、束结束 例例例例3. 3. 求求求求解解: 原式原式例例4. 求求解解: (1) n 为正整数的情形为正整数的情形.原式原式机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 说明说明:例如例如,而而用洛必达法则用洛必达法则 1)1)在满足定理条件的某些情况下洛必达法则不能解决在满足定理条件的某些情况下洛必达法则不能解决 计算问题计算问题 . 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例如例如,极限不存在极限不存在机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 2) 2) 若若若若其他未定式其他未定式:解决方法解决方法:通分通分转化转化取倒数取倒数转化转化
9、取对数取对数转化转化例例5. 求求解解: 原式原式机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 解: 原式例例6. 6. 求求机动 目录 上页 下页 返回 结束 通分转化取倒数转化取对数转化例例7. 7. 求求解: 利用 例5例5 目录 上页 下页 返回 结束 通分转化取倒数转化取对数转化内容小结内容小结洛必达法则洛必达法则令令取对数取对数机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 思考与练习思考与练习1. 设是未定式极限 , 如果不存在 , 是否的极限也不存在 ? 举例说明 .极限说明 目录 上页 下页 返回 结束 一、函数单调性和极值一、函数单调性和极值 机动
10、机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 二、曲线的凹凸与拐点二、曲线的凹凸与拐点3.2函数性态的研究 第三章第三章 3.2.1 函数单调性和极值函数单调性和极值1.函数的单调性函数的单调性若若定理定理 1. 设函数设函数则则 在在 (a,b)内单调递增内单调递增 (递减递减) .证证: 无妨设无妨设任取任取由拉格朗日中值定理得由拉格朗日中值定理得故故这说明这说明 在在 I 内单调递增内单调递增.在在(a,b) 内可导内可导,机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 证毕证毕例例例例1. 1. 确定函数确定函数确定函数确定函数的单调区间的单调区间.解解:令令得得
11、故故的单调增区间为的单调增区间为的单调减区间为的单调减区间为机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 说明说明说明说明: : 1)单调区间的分界点除驻点外单调区间的分界点除驻点外,也可是导数不存在的点也可是导数不存在的点. 例如例如,2) 如果函数在某驻点两边导数同号如果函数在某驻点两边导数同号, 则不改变函数的单调性则不改变函数的单调性 .例如例如,机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 2 函数的极值及其求法函数的极值及其求法定义定义:在其中当在其中当时时,(1) 则称则称 为为 的的极大值极大值点点 ,称称 为函数的为函数的极大值极大值 ;(2) 则
12、称则称 为为 的的极小值点极小值点 ,称称 为函数的为函数的极小值极小值 .极大值点与极小值点统称为极大值点与极小值点统称为极值点极值点 .机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 注意注意注意注意: :为极大点为极大点为极小点为极小点不是极值点不是极值点2) 对常见函数对常见函数, 极值可能出现在导数为极值可能出现在导数为 0 或或 不存在的点不存在的点.1) 函数的极值是函数的局部性质函数的极值是函数的局部性质.例如例如为极大点为极大点 , 是极大值是极大值 是极小值是极小值 为极小点为极小点 , 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 定理定理 2
13、若函数若函数 f (x) 在点在点 处有极值，处有极值，且且 存在，则存在，则使使 的点的点 称为函数称为函数f (x)的驻点的驻点定理定理定理定理 1 1 ( (极值第一判别法极值第一判别法极值第一判别法极值第一判别法) )且在空心邻域且在空心邻域内有导数内有导数,(1) “由正变负由正变负” ,(2) “由负变正由负变正” ,机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 (3) 符号不改变符号不改变 ,则则 在在 处无极值处无极值例例例例1. 1. 求函数求函数求函数求函数的极值的极值 .解解:1) 求导数求导数2) 求极值可疑点求极值可疑点令令得得令令得得3) 列表判别列表
14、判别是极大点，是极大点， 其极大值为其极大值为是极小点，是极小点， 其极小值为其极小值为机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 定理定理定理定理2 2 ( (极值第二判别法极值第二判别法极值第二判别法极值第二判别法) )二阶导数二阶导数 , 且且则则 在点在点 取极大值取极大值 ;则则 在点在点 取极小值取极小值 .机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 不确定不确定例例例例2. 2. 求函数求函数求函数求函数的极值的极值 . 解解: 1) 求导数求导数2) 求驻点求驻点令令得驻点得驻点3) 判别判别因因故故 为极小值为极小值 ;又又故需用第一判别法判别
15、故需用第一判别法判别.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 下列命题是否正确？为什么？下列命题是否正确？为什么？ (1) 若若 ，则，则 x0是是 f (x)的极值点；的极值点； (2) 若若 f (x) 在在 x0点取得极值，必有点取得极值，必有 ； 解解 (1) 错误。如错误。如 f (x)x3 ，则，则 ，但，但f (x) 在在 x00点无极值。点无极值。 (2) 错误。反例为错误。反例为 ，易知，易知 f (x) f (0) ，即，即x00 是是 f (x)极值点，但极值点，但 f (x)在在x00不可导。不可导。二、最大值与最小值问题二、最大值与最小值问题 则其
16、最值只能则其最值只能在极值点或端点处达到在极值点或端点处达到 . .求函数最值的方法求函数最值的方法: :(1) 求求 在在 内的极值可疑点内的极值可疑点(2) 最大值最大值最小值最小值机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 特别特别特别特别: : 当当 在在 内只有一个极值可疑点时内只有一个极值可疑点时, 当当 在在 上单调时上单调时, 最值必在端点处达到最值必在端点处达到.若在此点取极大若在此点取极大 值值 , 则也是最大则也是最大 值值 . (小小) 对应用问题对应用问题 , 有时可根据实际意义判别求出的有时可根据实际意义判别求出的可疑点是否为最大可疑点是否为最大 值
17、点或最小值点值点或最小值点 .(小小)机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 3.2.2 曲线的凹凸性与拐点曲线的凹凸性与拐点 1 曲线的凹凸性曲线的凹凸性 定义：如果一段曲线位于它上面任一点的切线上方，定义：如果一段曲线位于它上面任一点的切线上方， 我们就称这段曲线是凹曲线；我们就称这段曲线是凹曲线； 如果一段曲线位于它上面任一点的切线下方，如果一段曲线位于它上面任一点的切线下方， 我们就称这段曲线是凸曲线；我们就称这段曲线是凸曲线； 2曲线的拐点：如果一条曲线既有凹的部分也有凸的部分，曲线的拐点：如果一条曲线既有凹的部分也有凸的部分，3 那么这两部分的分界点叫拐点。那么
18、这两部分的分界点叫拐点。定理定理定理定理2.(2.(凹凸判定法凹凸判定法凹凸判定法凹凸判定法) )(1) 在在 I 内内则则 在在 I 内图形是凹的内图形是凹的 ;(2) 在在 I 内内则则 在在 I 内图形是凸的内图形是凸的 .设函数设函数在区间在区间I 上有二阶导数上有二阶导数例例例例1. 1. 判断曲线判断曲线判断曲线判断曲线的凹凸性的凹凸性.解解:故曲线故曲线在在上是向上凹的上是向上凹的.说明说明:1) 若在某点二阶导数为若在某点二阶导数为 0 ,2) 根据拐点的定义及上述定理根据拐点的定义及上述定理, 可得拐点的判别法如下可得拐点的判别法如下:若曲线若曲线或不存在或不存在,但但在在
19、两侧异号两侧异号, 则点则点是曲线是曲线的一个拐点的一个拐点.则曲线的凹凸性不变则曲线的凹凸性不变 .在其两侧二阶导数不变号在其两侧二阶导数不变号,机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例例例2. 2. 求曲线求曲线求曲线求曲线的拐点的拐点. 解解:不存在不存在因此点因此点 ( 0 , 0 ) 为曲线为曲线的拐点的拐点 .凹凹凸凸机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例例例3. 3. 求曲线求曲线求曲线求曲线的凹凸区间及拐点的凹凸区间及拐点.解解:1) 求求2) 求拐点可疑点坐标求拐点可疑点坐标令令得得对应对应3) 列表判别列表判别故该曲线在故该
20、曲线在及及上向上凹上向上凹,向上凸向上凸 , 点点 ( 0 , 1 ) 及及均为拐点均为拐点.凹凹凹凹凸凸机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 特点特点:3.3 函数展为幂级数函数展为幂级数以直代曲以直代曲在微分应用中已知近似公式在微分应用中已知近似公式 :需要解决的问题需要解决的问题如何提高精度如何提高精度 ?如何估计误差如何估计误差 ?x 的一次多项式的一次多项式3.3 .1 用多项式近似表示函数用多项式近似表示函数1. 1. 求求求求 n n 次近似多项式次近似多项式次近似多项式次近似多项式要求要求:故故机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 令
21、令则则1.幂级数幂级数常用的几个函数的幂级数展开式常用的几个函数的幂级数展开式定义定义1： 给定数列给定数列 则表达式则表达式 叫做无穷级数（简称为级数），叫做无穷级数（简称为级数）， 记为或记为或 或或 。其中第。其中第n 项项 叫做无穷级数的通项或一般项。叫做无穷级数的通项或一般项。如果级数的每一项都是常数，这级数称为常数项级数或如果级数的每一项都是常数，这级数称为常数项级数或数项级数；数项级数；如果级数的每一项都是函数，这级数叫做函数项级数。如果级数的每一项都是函数，这级数叫做函数项级数。幂级数幂级数其中其中 是常数，叫做幂级数的系数是常数，叫做幂级数的系数 2. f (x)的幂级数展开
22、式的幂级数展开式函数函数 f (x)在点在点x=0处的幂级数展开式处的幂级数展开式二、几个初等函数的麦克劳林公式二、几个初等函数的麦克劳林公式其中机动 目录 上页 下页 返回 结束 其中机动 目录 上页 下页 返回 结束 类似可得其中机动 目录 上页 下页 返回 结束 其中机动 目录 上页 下页 返回 结束 已知其中类似可得机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例例例1.1. 计算无理数计算无理数 e e 的近似值的近似值解解:令 x = 1 , 得当 n = 9 时机动 目录 上页 下页 返回 结束 试问 为何值时,在时取得极值 ,还是极小.解解: 由题意应有又取得极大值为备用题备用题 1.1.求出该极值,并指出它是极大机动 目录 上页 下页 返回 结束 结束语结束语谢谢大家聆听！谢谢大家聆听！81
