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1、6.1 引言第第第第 2 2 页页页页信号表示式与多维矢量之间存在许多形式上的类似，信号表示式与多维矢量之间存在许多形式上的类似，信号用多维矢量描述便于对信号的性能、信号分析与处信号用多维矢量描述便于对信号的性能、信号分析与处理进行更深入的研究。理进行更深入的研究。本章主要内容本章主要内容利用矢量空间方法研究信号理论的基本概念；利用矢量空间方法研究信号理论的基本概念；信号的正交函数分解；信号的正交函数分解；相关函数；相关函数；能量谱和功率谱；能量谱和功率谱；6.2 信号矢量空间的基本概念线性空间线性空间 范数范数 内积内积 柯西施瓦茨不等式柯西施瓦茨不等式第第第第 4 4 页页页页一线性空间定
2、义：定义：是这样一种集合，其中任意两元素相加可构成是这样一种集合，其中任意两元素相加可构成此集合内的另一元素，任意元素与任意数（可以是实此集合内的另一元素，任意元素与任意数（可以是实数也可以是复数）相乘后得到此集合内的另一元素数也可以是复数）相乘后得到此集合内的另一元素。例例:第第第第 5 5 页页页页若对于任一数若对于任一数 与任一元素与任一元素 ，总有唯，总有唯一的一个元素一的一个元素 与之对应，称为与之对应，称为 与与 的积，的积，记作记作定义定义 设设 是一个非空集合，是一个非空集合， 为实数域如果为实数域如果对于任意两个元素对于任意两个元素 ，总有唯一的一个元，总有唯一的一个元素素
3、与之对应，称为与之对应，称为 与与 的和，记作的和，记作第第第第 6 6 页页页页通常的多项式加法、数乘多项式的乘法两种运通常的多项式加法、数乘多项式的乘法两种运算满足线性运算规律算满足线性运算规律第第第第 7 7 页页页页例例 在区间在区间 上全体实连续函数，对函数的上全体实连续函数，对函数的加法与数和函数的数量乘法，构成实数域上的线性加法与数和函数的数量乘法，构成实数域上的线性空间空间例例 正实数的全体，记作正实数的全体，记作 ，在其中定义加法，在其中定义加法及乘数运算为及乘数运算为验证验证 对上述加法与乘数运算构成线性空间对上述加法与乘数运算构成线性空间证明证明所以对定义的加法与乘数运算
4、封闭所以对定义的加法与乘数运算封闭第第第第 8 8 页页页页二范数 第第第第 9 9 页页页页常用范数若若第第第第 1 10 0 页页页页“上确界上确界”的概念是数学分析中最基本的概念。的概念是数学分析中最基本的概念。 考虑一个实数集合考虑一个实数集合M. 如果有一个实数如果有一个实数S，使得，使得M中任何数都不超过中任何数都不超过S,那么就称那么就称S是是M的一个上界。的一个上界。 在所有那些上界中如果有一个最小的上界，在所有那些上界中如果有一个最小的上界，就称为就称为M的上确界。的上确界。 一个有界数集有无数个上界和下界，但是上一个有界数集有无数个上界和下界，但是上确界却只有一个。确界却只
5、有一个。第第第第 1 11 1 页页页页这里这里sup表示信号的最小上界，对于定义在闭区间内的表示信号的最小上界，对于定义在闭区间内的信号，信号，sup表示其幅度值。表示其幅度值。(3)(3)常用的范数常用的范数可见，一阶范数表示信号作用的强度。可见，一阶范数表示信号作用的强度。一阶范数一阶范数第第第第 1 12 2 页页页页物理意义：二阶范数的平方表示信号的能量。物理意义：二阶范数的平方表示信号的能量。二阶范数二阶范数第第第第 1 13 3 页页页页三内积直角坐标平面内两矢量相对位置关系直角坐标平面内两矢量相对位置关系利用范数符号，将矢量长度分别写作利用范数符号，将矢量长度分别写作于是于是第
6、第第第 1 14 4 页页页页上式表明：给定的矢量长度，标量乘积式反映了两矢量上式表明：给定的矢量长度，标量乘积式反映了两矢量之间相对位置的之间相对位置的“校准校准”情况。即情况。即多维多维三维三维推广推广第第第第 1 15 5 页页页页信号空间信号空间对于对于L空间或空间或l空间，信号空间，信号x与其自身的内积运算为与其自身的内积运算为内的两连续信号的内积内的两连续信号的内积第第第第 1 16 6 页页页页四柯西施瓦茨不等式Cauchy-Schwarz不等式不等式第第第第 1 17 7 页页页页证明柯西施瓦茨不等式Cauchy-Schwarz不等式不等式证明证明:即即所以所以则有则有对于二维
7、矢量空间，已知有如下关系对于二维矢量空间，已知有如下关系6.3 信号的正交函数分解矢量的正交分解矢量的正交分解 正交函数正交函数正交函数集正交函数集复变函数的正交特性复变函数的正交特性第第第第 1 19 9 页页页页将任意信号分解为单元信号之和，从而考查信号将任意信号分解为单元信号之和，从而考查信号的特性。的特性。简化系统分析与运算，简化系统分析与运算， 总响应总响应=单元响应之和。单元响应之和。信号分解的目的第第第第 2 20 0 页页页页误差矢量误差矢量 系数系数两矢量正交两矢量正交怎样分解，能得到最小的误差分量？怎样分解，能得到最小的误差分量？方式不是惟一的：方式不是惟一的：一矢量的正交
8、分解第第第第 2 21 1 页页页页正交分解空间中任一矢量可分解为空间中任一矢量可分解为x,y,z三方向矢量。三方向矢量。 平面中任一矢量可分解为平面中任一矢量可分解为x,y二方向矢量。二方向矢量。一个三维空间矢量一个三维空间矢量 ，必须用三个正，必须用三个正交的矢量来表示，如果用二维矢量表示就会出现误差：交的矢量来表示，如果用二维矢量表示就会出现误差：第第第第 2 22 2 页页页页二正交函数误差误差系数系数第第第第 2 23 3 页页页页相关系数分解的原则：分解的原则：fe(t)的方均值最小，即误差信号功率的方均值最小，即误差信号功率( (能量能量) )最小。最小。求系数求系数c12交换微
9、积分次序交换微积分次序 (1) (2) (3)第第第第 2 24 4 页页页页先微分先微分 可得系数为可得系数为 再积分再积分第第第第 2 25 5 页页页页例6-3-1第第第第 2 26 6 页页页页所以所以第第第第 2 27 7 页页页页例6-3-2显然，由于显然，由于所以所以第第第第 2 28 8 页页页页例6-3-3用正弦波逼近三角函数用正弦波逼近三角函数, ,所以所以第第第第 2 29 9 页页页页三正交函数集任意信号任意信号f(t)可表示为可表示为n维正交函数之和：维正交函数之和： 原函数原函数近似函数近似函数r =0,1,2,.n基底函数基底函数第第第第 3 30 0 页页页页分
10、解原则是误差函数方均值最小 第第第第 3 31 1 页页页页理解正交函数集规定：正交函数集规定： 所有函数应两两正交。所有函数应两两正交。 不能因一个函数集中某几个函数相互正交就说该不能因一个函数集中某几个函数相互正交就说该函数集是正交函数。函数集是正交函数。 是相互独立的，互不影响，计算时先抽取是相互独立的，互不影响，计算时先抽取哪一个都可以，非正交函数就无此特性。哪一个都可以，非正交函数就无此特性。 此公式是个通式，适合于任何正交函数集。此公式是个通式，适合于任何正交函数集。第第第第 3 32 2 页页页页两周期信号在同一周期内两周期信号在同一周期内(同区间内同区间内)正交的条件是正交的条
11、件是c12=0，即：，即： 总结 两个信号不正交，就有相关关系，必能分解出另一两个信号不正交，就有相关关系，必能分解出另一信号。信号。对一般信号在给定区间正交，而在其他区间不一定对一般信号在给定区间正交，而在其他区间不一定满满足正交。足正交。第第第第 3 33 3 页页页页四.复变函数的正交特性则此复变函数集为正交函数集。则此复变函数集为正交函数集。6.4 6.4 完备正交函数集、完备正交函数集、帕塞瓦尔定理帕塞瓦尔定理完备正交函数集完备正交函数集帕塞瓦尔定理帕塞瓦尔定理第第第第 3 35 5 页页页页定义定义1 1： 定义定义2 2： 一完备正交函数集第第第第 3 36 6 页页页页二帕塞瓦
12、尔定理设设 为完备的正交函数集，即为完备的正交函数集，即误差函数误差函数 即即 因为因为 代入代入 即即 第第第第 3 37 7 页页页页物理意义物理意义： 一个信号所含有的能量（功率）恒等于此信号在一个信号所含有的能量（功率）恒等于此信号在完备正交函数集中各分量能量（功率）之和。完备正交函数集中各分量能量（功率）之和。信号的信号的能量能量基底信号的基底信号的能量能量各信号分量的各信号分量的能量能量数学本质：矢量空间信号正交变换的范数不变性。数学本质：矢量空间信号正交变换的范数不变性。6.6 相关能量信号与功率信号能量信号与功率信号相关系数与相关函数相关系数与相关函数相关与卷积的比较相关与卷积
13、的比较相关定理相关定理 6.6第第第第 3 39 9 页页页页在一个周期内，在一个周期内，R消耗的能量消耗的能量 平均功率可表示为平均功率可表示为设设i(t)为流过电阻为流过电阻R的电流，的电流，v(t)为为R 上的电压上的电压 瞬时功率为瞬时功率为一能量信号和功率信号第第第第 4 40 0 页页页页定义讨论上述两个式子，只可能出现两种情况：讨论上述两个式子，只可能出现两种情况：( (有限值有限值) ) ( (有限值有限值) ) 满足满足式的称为能量信号，满足式的称为能量信号，满足式称功率信号。式称功率信号。定义：一般说来，能量总是与某一物理量的平方成正比定义：一般说来，能量总是与某一物理量的
14、平方成正比。令令R = 1 ，则在整个时间域内，实信号，则在整个时间域内，实信号f(t)的的平均功率平均功率能量能量第第第第 4 41 1 页页页页一般规律一般周期信号为功率信号。一般周期信号为功率信号。非周期信号，在有限区间有值，为能量信号。非周期信号，在有限区间有值，为能量信号。还有一些非周期信号，也是非能量信号。还有一些非周期信号，也是非能量信号。如如u(t)是功率信号；是功率信号；而而tu(t)为非功率非能量信号为非功率非能量信号; ;(t)是无定义的非功率非能量信号。是无定义的非功率非能量信号。第第第第 4 42 2 页页页页例6-5-1判断下面的信号是功率信号还是能量信号。判断下面
15、的信号是功率信号还是能量信号。第第第第 4 43 3 页页页页数学本质数学本质: 相关系数是信号矢量空间内积与范数特征的相关系数是信号矢量空间内积与范数特征的具体表现。具体表现。 物理本质物理本质: 相关与信号能量特征有着密切联系。相关与信号能量特征有着密切联系。 1相关系数由两个信号的内积所决定：由两个信号的内积所决定：二相关系数与相关函数第第第第 4 44 4 页页页页相关系数此时，能量误差为此时，能量误差为第第第第 4 45 5 页页页页令相对能量误差为令相对能量误差为其中其中第第第第 4 46 6 页页页页由柯西施瓦尔茨不等式，得由柯西施瓦尔茨不等式，得所以所以第第第第 4 47 7
16、页页页页2相关函数f1(t)与与f2(t)是能量有限信号是能量有限信号f1(t)与与f2(t)为实函数为实函数f1(t)与与f2(t)为复函数为复函数f1(t)与与f2(t)是功率有限信号是功率有限信号f1(t)与与f2(t)为实函数为实函数f1(t)与与f2(t)为复函数为复函数分如下几种情况讨论：分如下几种情况讨论：第第第第 4 48 8 页页页页(1)f1(t)与f2(t)是能量有限信号 f1(t)与与f2(t)为实函数为实函数: 相关函数定义相关函数定义: 可以证明：可以证明： 的偶函数的偶函数第第第第 4 49 9 页页页页相关函数：相关函数： 同时具有性质：同时具有性质： (1)f
17、1(t)与f2(t)是能量有限信号 f1(t)与与f2(t)为复函数为复函数: 第第第第 5 50 0 页页页页 相关函数：相关函数： 自相关函数：自相关函数： (2)f1(t)与f2(t)是功率有限信号 f1(t)与与f2(t)为实函数为实函数: 第第第第 5 51 1 页页页页相关函数：相关函数： 自相关函数：自相关函数： (2)f1(t)与f2(t)是功率有限信号 f1(t)与与f2(t)为复函数为复函数: 第第第第 5 52 2 页页页页两者的关系两者的关系 即即 与与 为实偶函数，则其卷积与相关完全相同。为实偶函数，则其卷积与相关完全相同。 反褶与反褶与 之卷积即得之卷积即得 与与
18、的相关函数的相关函数 三相关与卷积的比较 与与 卷积表达式：卷积表达式： 与与 相关函数表达式：相关函数表达式： 第第第第 5 53 3 页页页页说明相关与卷积类似，都包含移位，相乘和积分三个步相关与卷积类似，都包含移位，相乘和积分三个步骤，差别在于卷积运算需要反褶，而相关不需要反褶。骤，差别在于卷积运算需要反褶，而相关不需要反褶。 第第第第 5 54 4 页页页页例6-5-2对此功率有限信号，由自相关函数的定义，有对此功率有限信号，由自相关函数的定义，有第第第第 5 55 5 页页页页此例结论1. 周期信号自相关函数仍为周期信号周期信号自相关函数仍为周期信号,且周期相同且周期相同。2.自相关
19、函数是一偶函数，自相关函数是一偶函数，R(0)为最大值。为最大值。3.余弦函数自相关函数仍为余弦余弦函数自相关函数仍为余弦;同理可证，任意相位的同理可证，任意相位的正弦，余弦之自相关函数仍为余弦。正弦，余弦之自相关函数仍为余弦。第第第第 5 56 6 页页页页四相关定理 若已知若已知 则则 若若则自相关函数为则自相关函数为 第第第第 5 57 7 页页页页由相关函数定义可知由相关函数定义可知 取傅里叶变换取傅里叶变换同理可得：同理可得： 相关定理证明第第第第 5 58 8 页页页页说明1.相关定理表明：两信号互相关函数的傅里叶变换等于相关定理表明：两信号互相关函数的傅里叶变换等于其中第一个信号
20、的变换与第二个信号变换其中第一个信号的变换与第二个信号变换取共轭取共轭两者之两者之积。积。2.自相关函数的傅里叶变换等于原信号自相关函数的傅里叶变换等于原信号幅度谱的平方幅度谱的平方。6.6 能量谱和功率谱 6.7第第第第 6 60 0 页页页页能量谱与功率谱1.能量谱 由相关定理知由相关定理知 所以所以又能量有限信号的自相关函数是又能量有限信号的自相关函数是有下列关系有下列关系 第第第第 6 61 1 页页页页若若 为实数为实数,上式可写成上式可写成 帕塞瓦尔方程帕塞瓦尔方程定义定义能量谱密度（能谱）能量谱密度（能谱） 所以有所以有 所以能谱函数与自相关函数是一对傅里叶变换对。所以能谱函数与
21、自相关函数是一对傅里叶变换对。第第第第 6 62 2 页页页页2功率谱是功率有限信号是功率有限信号 fT(t)f(t)ttT2T2-信号信号f(t)及其截断函数及其截断函数第第第第 6 63 3 页页页页T是是 有限的有限的 ，能量有限，能量有限第第第第 6 64 4 页页页页则则 的平均功率为：的平均功率为： 定义定义 f(t)的功率密度函数的功率密度函数(功率谱）功率谱） 1.一个一个 极限的概念，极限的概念，2.单位频带内信号功率随频率的变化情况，单位频带内信号功率随频率的变化情况，3.无相位信息无相位信息t第第第第 6 65 5 页页页页并取并取 两端乘以两端乘以 可以得到：可以得到：
22、 即即 功率有限信号的功率谱函数与自相关函数功率有限信号的功率谱函数与自相关函数是一对傅里叶变换。是一对傅里叶变换。 利用相关定理有：利用相关定理有： 第第第第 6 66 6 页页页页例6-6-1求余弦信号求余弦信号的自相关函数和功率谱。的自相关函数和功率谱。为功率信号为功率信号, 所以自相关函数为所以自相关函数为:第第第第 6 67 7 页页页页因为功率有限信号的功率谱函数与自相关函数是因为功率有限信号的功率谱函数与自相关函数是一对一对傅里叶变换傅里叶变换, ,所以功率谱为所以功率谱为: :求功率谱第第第第 6 68 8 页页页页例6-6-2白噪声，其功率谱密度为白噪声，其功率谱密度为利用维
23、纳利用维纳-欣钦关系式，得自相关函数欣钦关系式，得自相关函数由于由于白噪声的功率谱密度为常数白噪声的功率谱密度为常数，所以白噪声的自相，所以白噪声的自相关函数为冲激函数，表明白噪声在各时刻的取值杂乱关函数为冲激函数，表明白噪声在各时刻的取值杂乱无章，没有任何相关性。无章，没有任何相关性。求自相关函数。求自相关函数。6.7 信号通过线性系统的自相关函数、能量谱和功率谱分析能量谱和功率谱分析能量谱和功率谱分析信号经线性系统的自相关函数信号经线性系统的自相关函数 6.8第第第第 7 70 0 页页页页前面，从前面，从中研究了中研究了现在，从激励和响应的自相关函数，能量谱，功率谱现在，从激励和响应的自
24、相关函数，能量谱，功率谱所发生的变化来研究线性系统所表现的传输特性。所发生的变化来研究线性系统所表现的传输特性。三者的关系三者的关系第第第第 7 71 1 页页页页一能量谱和功率谱分析X时域时域 频域频域 第第第第 7 72 2 页页页页物理意义：响应的功率谱等于激励的功率谱与物理意义：响应的功率谱等于激励的功率谱与的乘积。的乘积。同样，对功率信号有同样，对功率信号有物理意义：物理意义：响应的能谱等于激励的能谱与响应的能谱等于激励的能谱与的乘积。的乘积。所以所以 显然显然 第第第第 7 73 3 页页页页二二信号经线性系统的自相关函数由由得得因为因为 所以所以其中其中为系统冲激响应的自相关函数。为系统冲激响应的自相关函数。第第第第 7 74 4 页页页页例6-7-1冲激响应冲激响应第第第第 7 75 5 页页页页如图如图(b)所示所示 图（图（b）第第第第 7 76 6 页页页页（2）相关函数 因为因为考虑到考虑到由由同样可以求得同样可以求得第第第第 7 77 7 页页页页相关函数图形如图相关函数图形如图( c)所示所示
