《高考数学一轮复习 第八章 平面解析几何 8.9 直线与圆锥曲线的位置关系课件(理).ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学一轮复习 第八章 平面解析几何 8.9 直线与圆锥曲线的位置关系课件(理).ppt（107页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第九节直线与圆锥曲线的位置关系 【知识梳理】【知识梳理】1.1.直线与圆锥曲线的位置关系的判定直线与圆锥曲线的位置关系的判定代数法代数法: :把圆锥曲线方程把圆锥曲线方程C C与直线方程与直线方程l联立消去联立消去y,y,整理整理得到关于得到关于x x的方程的方程axax2 2+bx+c=0.+bx+c=0.方程方程axax2 2+bx+c=0+bx+c=0的解的解l与与C C的交点的交点a=0a=0b=0b=0无解无解( (含含l是双曲线是双曲线的渐近线的渐近线) )_b0b0有一解有一解( (含含l与抛物与抛物线的对称轴平行或线的对称轴平行或与双曲线的渐近线与双曲线的渐近线平行平行) )_
2、无公共点无公共点一个交点一个交点方程方程axax2 2+bx+c=0+bx+c=0的解的解l与与C C的交点的交点a0a000两个两个_的解的解_=0=0两个相等的解两个相等的解_00)(r0)相切于点相切于点M,M,且且M M为线段为线段ABAB的中点的中点. .若这样的直线若这样的直线l恰有恰有4 4条条, ,则则r r的取值范围是的取值范围是( () )A.(1,3)A.(1,3) B.(1,4) B.(1,4)C.(2,3)C.(2,3) D.(2,4) D.(2,4)【解析】【解析】选选D.D.当直线与当直线与x x轴垂直的时候轴垂直的时候, ,满足条件的直满足条件的直线有且只有线有
3、且只有2 2条条. .当直线与当直线与x x轴不垂直的时候轴不垂直的时候, ,由对称性不妨设切点由对称性不妨设切点M(5+rcos,rsin)(0),M(5+rcos,rsin)(02.r= ,r2.由于点由于点M M在抛物线内在抛物线内, ,所以所以y y2 24x,4x,将坐标代入可求得将坐标代入可求得r4,r4,综上综上,2r4.,2rb0) =1(ab0)的一个焦点的一个焦点,A,B,A,B是椭圆的两个顶点是椭圆的两个顶点, ,椭圆的离心率为椭圆的离心率为 . .点点C C在在x x轴上轴上,BCBF,B,C,F,BCBF,B,C,F三点确定的圆三点确定的圆M M恰好与直线恰好与直线l
4、1 1:x+ y+3=0:x+ y+3=0相切相切. .则椭圆的方程为则椭圆的方程为. .【解析】【解析】由已知设由已知设F(-c,0),B(0, c),F(-c,0),B(0, c),因为因为k kBFBF= ,k= ,kBCBC=- ,C(3c,0),=- ,C(3c,0),且圆且圆M M的方程为的方程为(x-(x-c)c)2 2+y+y2 2=4c=4c2 2, ,圆圆M M与直线与直线l1 1:x+ y+3=0:x+ y+3=0相切相切, ,所以所以 =2c, =2c,解得解得c=1,c=1,所以所求的椭圆方程为所以所求的椭圆方程为 =1. =1.答案答案: : =1 =1考向一考向一
5、直线与圆锥曲线位置关系的确定及应用直线与圆锥曲线位置关系的确定及应用【典例【典例1 1】(1)(1)过抛物线过抛物线y y2 2=2x=2x的焦点作一条直线与抛物的焦点作一条直线与抛物线交于线交于A,BA,B两点两点, ,它们的横坐标之和等于它们的横坐标之和等于2,2,则这样的直则这样的直线线( () )A.A.有且只有一条有且只有一条B.B.有且只有两条有且只有两条C.C.有且只有三条有且只有三条 D. D.有且只有四条有且只有四条(2)(2)在平面直角坐标系在平面直角坐标系xOyxOy中中, ,点点M M到点到点F(1,0)F(1,0)的距离比的距离比它到它到y y轴的距离多轴的距离多1.
6、1.记点记点M M的轨迹为的轨迹为C.C.求轨迹求轨迹C C的方程的方程; ;设斜率为设斜率为k k的直线的直线l过定点过定点P(-2,1).P(-2,1).求直线求直线l与轨迹与轨迹C C恰恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k k的相应的相应取值范围取值范围. .【解题导引】【解题导引】(1)(1)由于过焦点垂直于轴的弦只有一条由于过焦点垂直于轴的弦只有一条, ,且此时弦长最小且此时弦长最小, ,因此只需看该弦与弦因此只需看该弦与弦ABAB的关系即可的关系即可. .(2)(2)可依据题设条件直接写出轨迹可依据题设条件直接写出轨迹C C的方程的方
7、程;直线方直线方程与轨迹程与轨迹C C的方程联立的方程联立, ,利用方程的解与直线与轨迹利用方程的解与直线与轨迹C C交交点间的关系即可求解点间的关系即可求解. .【规范解答】【规范解答】(1)(1)选选B.B.设该抛物线焦点为设该抛物线焦点为F,A(xF,A(xA A,y,yA A),),B(xB(xB B,y,yB B),),则则|AB|=|AF|+|FB|=x|AB|=|AF|+|FB|=xA A+ +x+ +xB B+ =x+ =xA A+x+xB B+1=3+1=32p=2.2p=2.所以符合条件的直线有且只有两条所以符合条件的直线有且只有两条. .(2)(2)设点设点M(x,y),
8、M(x,y),依题意得依题意得|MF|=|x|+1,|MF|=|x|+1,即即 =|x|+1, =|x|+1,化简整理得化简整理得y y2 2=2(|x|+x).=2(|x|+x).故点故点M M的轨迹的轨迹C C的方程为的方程为在点在点M M的轨迹的轨迹C C中中, ,记记C C1 1:y:y2 2=4x(x0),C=4x(x0),C2 2:y=0(x0).:y=0(x0).依题意依题意, ,可设直线可设直线l的方程为的方程为y-1=k(x+2).y-1=k(x+2).由方程组由方程组可得可得kyky2 2-4y+4(2k+1)=0.-4y+4(2k+1)=0.当当k=0k=0时时, ,此时
9、此时y=1.y=1.把把y=1y=1代入轨迹代入轨迹C C的方程的方程, ,得得x= .x= .故此时直线故此时直线l:y=1:y=1与轨迹与轨迹C C恰好有一个公共点恰好有一个公共点 当当k0k0时时, ,方程方程的判别式为的判别式为=-16(2k=-16(2k2 2+k-1).+k-1).设直线设直线l与与x x轴的交点为轴的交点为(x(x0 0,0),0),则由则由y-1=k(x+2),y-1=k(x+2),令令y=0,y=0,得得x x0 0= = ()()若若 由由解得解得k-1,k .k .即当即当k(-,-1) k(-,-1) 时时, ,直线直线l与与C C1 1没有公共点没有公
10、共点, ,与与C C2 2有一个公共点有一个公共点, ,故此时直线故此时直线l与轨迹与轨迹C C恰好有一个公恰好有一个公共点共点. .()()若若 或或 由由解得解得k k 或或- k0.- k0.即当即当k k 时时, ,直线直线l与与C C1 1只有一个公共点只有一个公共点, ,与与C C2 2有一有一个公共点个公共点. .当当k k 时时, ,直线直线l与与C C1 1有两个公共点有两个公共点, ,与与C C2 2没有公共没有公共点点. .故当故当k k 时时, ,直线直线l与轨迹与轨迹C C恰好有两个公恰好有两个公共点共点. .()()若若 由由解得解得-1k- ,-1k- ,或或0k
11、 .0kb0)(ab0)的左、右焦点分别为的左、右焦点分别为F F1 1,F,F2 2, ,离心率为离心率为e.e.直线直线l: :y=ex+ay=ex+a与与x x轴轴,y,y轴分别交于点轴分别交于点A,B,A,B,点点M M是直线是直线l与椭圆与椭圆C C的一个公共点的一个公共点, ,设设 则该椭圆的离心率则该椭圆的离心率e=e=. .【解析】【解析】因为点因为点A,BA,B分别是直线分别是直线l:y=ex+a:y=ex+a与与x x轴轴,y,y轴的交轴的交点点, ,所以点所以点A,BA,B的坐标分别是的坐标分别是 (0,a). (0,a).设点设点M M的坐标是的坐标是(x(x0 0,y
12、,y0 0),),由由 得得 因为点因为点M M在椭圆上在椭圆上, ,所以所以 =1, =1,将将(*)(*)式代入式代入, ,得得 =1, =1,整理得整理得,e,e2 2+e-1=0,+e-1=0,解得解得e= .e= .答案答案: :【加固训练】【加固训练】1.1.直线直线y=kx+2y=kx+2与抛物线与抛物线y y2 2=8x=8x有且只有一个公共点有且只有一个公共点, ,则则k k的值为的值为( () )A.1 B.1A.1 B.1或或3 C.0 D.13 C.0 D.1或或0 0【解析】【解析】选选D.D.由由 得得k k2 2x x2 2+(4k-8)x+4=0,+(4k-8)
13、x+4=0,若若k=0,k=0,则则y=2,y=2,若若k0,k0,则则=0,=0,即即64-64k=0,64-64k=0,解得解得k=1,k=1,所以直线所以直线y=kx+2y=kx+2与抛物线与抛物线y y2 2=8x=8x有且只有一个公共点时有且只有一个公共点时,k=0,k=0或或1.1.2.2.已知双曲线已知双曲线 =1 =1与直线与直线y=2xy=2x有交点有交点, ,则双曲线则双曲线离心率的取值范围为离心率的取值范围为( () )A.(1, ) B.(1, A.(1, ) B.(1, C.( ,+) D. ,+)C.( ,+) D. ,+)【解析】【解析】选选C.C.因为双曲线的一
14、条渐近线方程为因为双曲线的一条渐近线方程为y= x,y= x,则由题意得则由题意得 2, 2,所以所以e=e=3.3.过抛物线过抛物线y y2 2=2px(p0)=2px(p0)的焦点的焦点F,F,斜率为斜率为 的直线交抛的直线交抛物线于物线于A,BA,B两点两点, ,若若 (1), (1),则则的值为的值为( () )A.5 B.4 C. D.A.5 B.4 C. D.【解析】【解析】选选B.B.根据题意设根据题意设A(xA(x1 1,y,y1 1),B(x),B(x2 2,y,y2 2),),由由 得得故故-y-y1 1=y=y2 2, ,即即=设直线设直线ABAB的方程为的方程为y= y
15、= 联立直线与抛物线方程联立直线与抛物线方程, ,消元得消元得y y2 2- py-p- py-p2 2=0.=0.故故y y1 1+y+y2 2= p,y= p,y1 1y y2 2=-p=-p2 2, , 即即又又1,1,故故=4.=4.考向二考向二与弦有关的问题与弦有关的问题【典例【典例2 2】(1)(2016(1)(2016莆田模拟莆田模拟) )若直线若直线y=kx-ky=kx-k交抛物交抛物线线y y2 2=4x=4x于于A,BA,B两点两点, ,且线段且线段ABAB中点到中点到y y轴的距离为轴的距离为3,3,则则|AB|=|AB|=( () )A.12A.12B.10B.10C.
16、8C.8D.6D.6(2)(2)已知椭圆已知椭圆 =1(ab0) =1(ab0)的一个顶点为的一个顶点为B(0,4),B(0,4),离心率离心率e= ,e= ,直线直线l交椭圆于交椭圆于M,NM,N两点两点. .若直线若直线l的方程为的方程为y=x-4,y=x-4,求弦求弦MNMN的长的长. .如果如果BMNBMN的重心恰好为椭圆的右焦点的重心恰好为椭圆的右焦点F,F,求直线求直线l方方程的一般式程的一般式. .【解题导引】【解题导引】(1)(1)根据抛物线的方程求出准线方程根据抛物线的方程求出准线方程, ,利利用抛物线的定义用抛物线的定义, ,抛物线上的点到焦点的距离等于到准抛物线上的点到焦
17、点的距离等于到准线的距离线的距离, ,列出方程求出列出方程求出A,BA,B的中点横坐标的中点横坐标, ,求出线段求出线段ABAB的中点到的中点到y y轴的距离轴的距离. .(2)(2)可以直接联立方程可以直接联立方程, ,把方程组转化成关于把方程组转化成关于x x或或y y的的一元二次方程一元二次方程, ,利用根与系数的关系及弦长公式求解利用根与系数的关系及弦长公式求解;可利用椭圆的右焦点是可利用椭圆的右焦点是BMNBMN的重心这一条件的重心这一条件, ,利用利用“点差法点差法”可求直线可求直线l的斜率的斜率, ,再由点斜式再由点斜式, ,即可求出直即可求出直线线l的方程的方程. .【规范解答
18、】【规范解答】(1)(1)选选C.C.直线直线y=kx-ky=kx-k恒过恒过(1,0),(1,0),恰好是抛恰好是抛物线物线y y2 2=4x=4x的焦点坐标的焦点坐标, ,设设A(xA(x1 1,y,y1 1),B(x),B(x2 2,y,y2 2),),抛物线抛物线y y2 2=4x=4x的准线的准线x=-1,x=-1,线段线段ABAB中点到中点到y y轴的距离为轴的距离为3,x3,x1 1+x+x2 2=6,=6,所以所以|AB|=|AF|+|BF|=x|AB|=|AF|+|BF|=x1 1+x+x2 2+2=8.+2=8.(2)(2)由已知得由已知得b=4,b=4,且且 即即所以所以
19、 解得解得a a2 2=20,=20,所以椭圆方程为所以椭圆方程为 =1. =1.则则4x4x2 2+5y+5y2 2=80=80与与y=x-4y=x-4联立联立, ,消去消去y y得得9x9x2 2-40x=0,-40x=0,所以所以x x1 1=0,x=0,x2 2= = 所以所求弦长所以所求弦长|MN|=|MN|=椭圆右焦点椭圆右焦点F F的坐标为的坐标为(2,0),(2,0),设线段设线段MNMN的中点为的中点为Q(xQ(x0 0,y,y0 0),),由三角形重心的性质知由三角形重心的性质知 又又B(0,4),B(0,4),所以所以(2,-4)=2(x(2,-4)=2(x0 0-2,y
20、-2,y0 0),),故得故得x x0 0=3,y=3,y0 0=-2,=-2,即得点即得点Q Q的坐标为的坐标为(3,-2).(3,-2).设设M(xM(x1 1,y,y1 1),N(x),N(x2 2,y,y2 2),),则则x x1 1+x+x2 2=6,y=6,y1 1+y+y2 2=-4,=-4,且且以上两式相减得以上两式相减得 =0, =0,所以所以k kMNMN故直线故直线l的方程为的方程为y+2= (x-3),y+2= (x-3),即即6x-5y-28=0.6x-5y-28=0.【规律方法】【规律方法】1.1.弦长的计算方法与技巧弦长的计算方法与技巧求弦长时可利用弦长公式求弦长
21、时可利用弦长公式, ,根据直线方程与圆锥曲线方根据直线方程与圆锥曲线方程联立消元后得到的一元二次方程程联立消元后得到的一元二次方程, ,利用根与系数的关利用根与系数的关系得到两根之和、两根之积的代数式系得到两根之和、两根之积的代数式, ,然后进行整体代然后进行整体代入弦长公式求解入弦长公式求解. .提醒提醒: :注意两种特殊情况注意两种特殊情况:(1):(1)直线与圆锥曲线的对称轴直线与圆锥曲线的对称轴平行或垂直平行或垂直.(2).(2)直线过圆锥曲线的焦点直线过圆锥曲线的焦点. .2.2.弦中点问题的解法弦中点问题的解法点差法在解决有关弦中点、弦所在直线的斜率、弦中点差法在解决有关弦中点、弦
22、所在直线的斜率、弦中点与原点连线斜率问题时可简化运算点与原点连线斜率问题时可简化运算, ,但要注意直线斜但要注意直线斜率是否存在率是否存在. .3.3.与弦端点相关问题的解法与弦端点相关问题的解法解决与弦端点有关的向量关系、位置关系等问题的一解决与弦端点有关的向量关系、位置关系等问题的一般方法般方法, ,就是将其转化为端点的坐标关系就是将其转化为端点的坐标关系, ,再根据联立再根据联立消元后的一元二次方程根与系数的大小关系消元后的一元二次方程根与系数的大小关系, ,构建方程构建方程( (组组) )求解求解, ,或用向量法求解或用向量法求解. .【变式训练】【变式训练】(2016(2016珠海模
23、拟珠海模拟) )已知抛物线已知抛物线C:yC:y2 2=2px=2px(p0)(p0)的焦点为的焦点为F,F,过点过点F F且倾斜角为且倾斜角为6060的直线的直线l与抛物与抛物线线C C在第一、四象限分别交于在第一、四象限分别交于A,BA,B两点两点, ,则则 的值等于的值等于. .【解析】【解析】设设A(xA(x1 1,y,y1 1),B(x),B(x2 2,y,y2 2),),由直线由直线l的倾斜角为的倾斜角为60,60,则直线则直线l的方程为的方程为:y-0= :y-0= 即即y= y= 联立抛物线方程联立抛物线方程, ,消去消去y y并整理并整理, ,得得12x12x2 2-20px
24、+3p-20px+3p2 2=0,=0,则则x x1 1= p,x= p,x2 2= p,= p,则则 =3. =3.答案答案: :3 3【加固训练】【加固训练】1.1.在椭圆在椭圆 =1 =1内内, ,通过点通过点M(1,1),M(1,1),且被这点平分的且被这点平分的弦所在的直线方程为弦所在的直线方程为( () )A.x+4y-5=0 B.x-4y-5=0A.x+4y-5=0 B.x-4y-5=0C.4x+y-5=0 D.4x-y-5=0C.4x+y-5=0 D.4x-y-5=0【解析】【解析】选选A.A.设直线与椭圆交点为设直线与椭圆交点为A(xA(x1 1,y,y1 1),),B(xB
25、(x2 2,y,y2 2),),则则 由由-,-,得得 =0, =0,因为因为 所以所以所以所求直线方程为所以所求直线方程为y-1=- (x-1),y-1=- (x-1),即即x+4y-5=0.x+4y-5=0.2.2.若椭圆的中心在原点若椭圆的中心在原点, ,一个焦点为一个焦点为(0,2),(0,2),直线直线y=3x+7y=3x+7与椭圆相交所得弦的中点的纵坐标为与椭圆相交所得弦的中点的纵坐标为1,1,则这个椭圆的则这个椭圆的方程为方程为( () )【解析】【解析】选选D.D.因为椭圆的中心在原点因为椭圆的中心在原点, ,一个焦点为一个焦点为(0,(0,2),2),则则a a2 2-b-b
26、2 2=4,=4,所以可设椭圆方程为所以可设椭圆方程为 联立联立 得得(10b(10b2 2+4)y+4)y2 2-14(b-14(b2 2+4)y-9b+4)y-9b4 4+13b+13b2 2+196=0,+196=0,设直线设直线y=3x+7y=3x+7与椭圆相交所得弦的端点为与椭圆相交所得弦的端点为(x(x1 1,y,y1 1),),(x(x2 2,y,y2 2),),由一元二次方程根与系数的关系得由一元二次方程根与系数的关系得:y:y1 1+y+y2 2= = =2. =2.解得解得:b:b2 2=8.=8.所以所以a a2 2=12.=12.则椭圆方程为则椭圆方程为 =1. =1.
27、3.(20163.(2016大连模拟大连模拟) )已知椭圆已知椭圆C: =1(ab0),C: =1(ab0),F( ,0)F( ,0)为其右焦点为其右焦点, ,过点过点F F且垂直于且垂直于x x轴的直线与椭圆轴的直线与椭圆相交所得的弦长为相交所得的弦长为2.2.则椭圆则椭圆C C的方程为的方程为. .【解析】【解析】由题意得由题意得 解得解得 所以椭圆所以椭圆C C的方程为的方程为 =1. =1.答案答案: : =1 =1考向三考向三探究性、存在性问题探究性、存在性问题【考情快递】【考情快递】命题方向命题方向命题视角命题视角探究是否存在常探究是否存在常数问题数问题以椭圆、直线为载体以椭圆、直
28、线为载体, ,利用直线方程利用直线方程与椭圆方程联立与椭圆方程联立, ,计算或推导某代数计算或推导某代数式或面积为常数式或面积为常数, ,属中、高档题属中、高档题探究是否存在定探究是否存在定直线问题直线问题主要考查根据椭圆方程以及题设条件主要考查根据椭圆方程以及题设条件, ,直接得出定直线直接得出定直线, ,验证某定点在曲线验证某定点在曲线上上, ,属中、高档题属中、高档题【考题例析】【考题例析】命题方向命题方向1:1:探究是否存在常数问题探究是否存在常数问题【典例【典例3 3】(2016(2016兰州模拟兰州模拟) )如图如图, ,椭圆椭圆C: C: =1(ab0) =1(ab0)经过点经过
29、点 离心率离心率e= ,e= ,直线直线l的方程为的方程为x=4.x=4.(1)(1)求椭圆求椭圆C C的方程的方程. .(2)AB(2)AB是经过右焦点是经过右焦点F F的任一弦的任一弦( (不经过点不经过点P),P),设直线设直线ABAB与直线与直线l相交于点相交于点M,M,记记PA,PB,PMPA,PB,PM的斜率分别为的斜率分别为k k1 1,k,k2 2,k,k3 3. .问问: :是否存在常数是否存在常数,使得使得k k1 1+k+k2 2=k=k3 3? ?若存在若存在, ,求求的值的值; ;若不存在若不存在, ,说明理由说明理由. .【解题导引】【解题导引】(1)(1)由点在椭
30、圆上和离心率建立方程求出由点在椭圆上和离心率建立方程求出椭圆方程椭圆方程.(2).(2)设出直线的方程设出直线的方程, ,将其与椭圆的方程结合将其与椭圆的方程结合得到一个一元二次方程得到一个一元二次方程, ,根据根与系数的关系得出根据根与系数的关系得出A,BA,B两点的坐标之间的关系和两点的坐标之间的关系和M M的坐标的坐标, ,由此得出相应的直由此得出相应的直线的斜率线的斜率, ,根据根据A,F,BA,F,B三点共线得出相应的坐标之间的三点共线得出相应的坐标之间的关系从而求出常数的值关系从而求出常数的值. .【规范解答】【规范解答】(1)(1)由由 在椭圆上得在椭圆上得, =1, =1,依题
31、设知依题设知a=2c,a=2c,则则a a2 2=4c=4c2 2,b,b2 2=3c=3c2 2,将将代入代入得得c c2 2=1,a=1,a2 2=4,b=4,b2 2=3.=3.故椭圆故椭圆C C的方程为的方程为 =1. =1.(2)(2)存在存在. .由题意可设由题意可设ABAB的斜率为的斜率为k,k,则直线则直线ABAB的方程为的方程为y=k(x-1),y=k(x-1),代入椭圆方程并整理得代入椭圆方程并整理得(4k(4k2 2+3)x+3)x2 2-8k-8k2 2x+4(kx+4(k2 2-3)=0.-3)=0.设设A(xA(x1 1,y,y1 1),B(x),B(x2 2,y,
32、y2 2),),则有则有x x1 1+x+x2 2= x= x1 1x x2 2= = 在方程在方程中令中令x=4,x=4,得得M(4,3k).M(4,3k).从而从而注意到注意到A,F,BA,F,B三点共线三点共线, ,则有则有k=kk=kAFAF=k=kBFBF, ,即即 =k. =k.所以所以k k1 1+k+k2 2= = = = 将将代入代入得得k k1 1+k+k2 2= =2k-1.=2k-1.又又k k3 3=k- ,=k- ,所以所以k k1 1+k+k2 2=2k=2k3 3. .故存在常数故存在常数=2=2符合题意符合题意. .【一题多解】【一题多解】解答本题第解答本题第
33、(2)(2)问还有以下解法问还有以下解法: :设设B(xB(x0 0,y,y0 0)(x)(x0 01),1),则直线则直线FBFB的方程为的方程为: :y= (x-1),y= (x-1),令令x=4,x=4,求得求得从而直线从而直线PMPM的斜率为的斜率为k k3 3= = 联立联立 解得解得则直线则直线PAPA的斜率为的斜率为k k1 1= = 直线直线PBPB的斜率为的斜率为k k2 2= = 所以所以k k1 1+k+k2 2= =2k= =2k3 3, ,故存在常数故存在常数=2=2符合题意符合题意. .命题方向命题方向2:2:探究是否存在定直线问题探究是否存在定直线问题【典例【典例
34、4 4】(2014(2014湖南高考湖南高考) )如图如图,O,O为坐标原点为坐标原点, ,双曲双曲线线C C1 1: =1(a: =1(a1 10,b0,b1 10)0)和椭圆和椭圆C C2 2: =1(a: =1(a2 2 b b2 20)0)均过点均过点 且以且以C C1 1的两个顶点和的两个顶点和C C2 2的两个焦的两个焦点为顶点的四边形是面积为点为顶点的四边形是面积为2 2的正方形的正方形. .(1)(1)求求C C1 1,C,C2 2的方程的方程. .(2)(2)是否存在直线是否存在直线l, ,使得使得l与与C C1 1交于交于A,BA,B两点两点, ,与与C C2 2只有一只有
35、一个公共点个公共点, ,且且 证明你的结论证明你的结论. .【解题导引】【解题导引】(1)(1)由于双曲线的顶点间距离与椭圆焦点由于双曲线的顶点间距离与椭圆焦点间距离都等于间距离都等于2,2,再结合再结合C C1 1,C,C2 2均过定点即可求得方程均过定点即可求得方程. .(2)(2)在斜率存在与不存在两种情况下在斜率存在与不存在两种情况下, ,先假设存在先假设存在, ,若能若能求出则确定存在直线求出则确定存在直线l, ,否则否则, ,则不存在则不存在. .【规范解答】【规范解答】(1)(1)设设C C2 2的焦距为的焦距为2c2c2 2, ,由题意知由题意知,2c,2c2 2=2,=2,2
36、a2a1 1=2,=2,从而从而a a1 1=1,c=1,c2 2=1.=1.因为点因为点 在双曲线在双曲线x x2 2- - =1=1上上, ,所以所以 =1, =1,故故b b1 12 2=3,=3,由椭圆的定义知由椭圆的定义知2a2a2 2= = 于是于是a a2 2= , b= , b2 22 2=a=a2 22 2-c-c2 22 2=2,=2,故故C C1 1,C,C2 2的方程分别为的方程分别为(2)(2)不存在符合题设条件的直线不存在符合题设条件的直线. .(i)(i)若直线若直线l垂直于垂直于x x轴轴, ,因为因为l与与C C2 2只有一个公共点只有一个公共点, ,所以直线
37、所以直线l的方程为的方程为x= x= 或或x=- ,x=- ,当当x= x= 时时, ,易知易知A( , ),B( ,- ),A( , ),B( ,- ),所以所以此时此时, ,当当x=- x=- 时时, ,同理可知同理可知(ii)(ii)若直线若直线l不垂直于不垂直于x x轴轴, ,设设l的方程为的方程为y=kx+m,y=kx+m,由由 得得(3-k(3-k2 2)x)x2 2-2kmx-m-2kmx-m2 2-3=0.-3=0.当当l与与C C1 1相交于相交于A,BA,B两点时两点时, ,设设A(xA(x1 1,y,y1 1),B(x),B(x2 2,y,y2 2),),则则x x1 1
38、, ,x x2 2是上述方程的两个实根是上述方程的两个实根, ,从而从而x x1 1+x+x2 2= ,x= ,x1 1x x2 2= =于是于是y y1 1y y2 2=k=k2 2x x1 1x x2 2+km(x+km(x1 1+x+x2 2)+m)+m2 2= = 由由 得得(2k(2k2 2+3)x+3)x2 2+4kmx+2m+4kmx+2m2 2-6=0.-6=0.因为直线因为直线l与与C C2 2只有一个公共点只有一个公共点, ,所以上述方程的判别所以上述方程的判别式式=16k=16k2 2m m2 2-8(2k-8(2k2 2+3)(m+3)(m2 2-3)=0,-3)=0,
39、化简化简, ,得得2k2k2 2=m=m2 2-3.-3.因此因此于是于是即即故故综合综合(i)(ii)(i)(ii)可知可知, ,不存在符合题设条件的直线不存在符合题设条件的直线. .【技法感悟】【技法感悟】1.1.解决常数存在性问题的常用方法解决常数存在性问题的常用方法解决是否存在常数的问题时解决是否存在常数的问题时, ,应首先假设存在应首先假设存在, ,看是否看是否能求出符合条件的参数值能求出符合条件的参数值, ,如果推出矛盾就不存在如果推出矛盾就不存在, ,否否则就存在则就存在. .2.2.解决定直线问题的思路解决定直线问题的思路解决是否存在直线的问题时解决是否存在直线的问题时, ,可
40、依据条件寻找适合条件可依据条件寻找适合条件的直线方程的直线方程, ,联立方程消元得出一元二次方程联立方程消元得出一元二次方程, ,利用判利用判别式得出是否有解别式得出是否有解. . 【题组通关】【题组通关】1.(20161.(2016石家庄模拟石家庄模拟) )已知椭圆已知椭圆C: =1(ab0)C: =1(ab0)的离心率为的离心率为 , ,椭圆椭圆C C的短轴的一个端点的短轴的一个端点P P到焦点的距到焦点的距离为离为2.2.(1)(1)求椭圆求椭圆C C的方程的方程. .(2)(2)已知直已知直线l:y=kx+ :y=kx+ 与与椭圆C C交于交于A,BA,B两点两点, ,是否存是否存在在
41、k k使得以使得以线段段ABAB为直径的直径的圆恰好恰好经过坐坐标原点原点O?O?若存若存在在, ,求出求出k k的的值; ;若不存在若不存在, ,请说明理由明理由. . 【解析】【解析】(1)(1)设椭圆的焦半距为设椭圆的焦半距为c,c,则由题设得则由题设得 解得解得 故所求椭圆故所求椭圆C C的方程为的方程为 +x +x2 2=1.=1.(2)(2)存在存在k k使得以线段使得以线段ABAB为直径的圆恰好经过坐标原点为直径的圆恰好经过坐标原点O.O.理由如下理由如下: :设点设点A(xA(x1 1,y,y1 1),B(x),B(x2 2,y,y2 2),),将直线将直线l的方程的方程y=k
42、x+ y=kx+ 代入代入 +x +x2 2=1=1并整理得并整理得(k(k2 2+4)x+4)x2 2+2 kx-1=0.(*)+2 kx-1=0.(*)则则x x1 1+x+x2 2= ,x= ,x1 1x x2 2= =因为以线段因为以线段ABAB为直径的圆恰好经过坐标原点为直径的圆恰好经过坐标原点O,O,所以所以 =0, =0,即即x x1 1x x2 2+y+y1 1y y2 2=0.=0.又又y y1 1y y2 2=k=k2 2x x1 1x x2 2+ k(x+ k(x1 1+x+x2 2)+3,)+3,即即y y1 1y y2 2= = 于是有于是有 =0, =0,解得解得k
43、= k= 经检验知经检验知: :此时此时(*)(*)的判别式的判别式0,0,适合题意适合题意. .所以当所以当k= k= 时时, ,以线段以线段ABAB为直径的圆恰好经过坐标为直径的圆恰好经过坐标原点原点O.O.2.(20162.(2016鹰潭模拟鹰潭模拟) )已知椭圆已知椭圆C C的中心在原点的中心在原点O O处处, ,焦点焦点在在x x轴上轴上, ,离心率为离心率为 , ,右焦点到右顶点的距离为右焦点到右顶点的距离为1.1.(1)(1)求椭圆求椭圆C C的标准方程的标准方程. .(2)(2)是否存在与椭圆是否存在与椭圆C C交于交于A,BA,B两点的直线两点的直线l:y=kx+m(k:y=
44、kx+m(kR),R),使得使得 成立成立? ?若存在若存在, ,求出实数求出实数m m的取值范围的取值范围; ;若不存在若不存在, ,请说明理由请说明理由. .【解析】【解析】(1)(1)设椭圆设椭圆C C的方程为的方程为 =1(ab0), =1(ab0),半焦半焦距为距为c,c,依题意依题意e= e= 由右焦点到右顶点的距离为由右焦点到右顶点的距离为1,1,得得a-c=1.a-c=1.解得解得c=1,a=2,c=1,a=2,所以所以b b2 2=4-1=3,=4-1=3,所以椭圆所以椭圆C C的标准方程是的标准方程是 =1. =1.(2)(2)存在直线存在直线l, ,使得使得 成立成立.
45、.理由如下理由如下: :因为直线因为直线l的方程为的方程为y=kx+m,y=kx+m,由由 得得(3+4k(3+4k2 2)x)x2 2+8kmx+4m+8kmx+4m2 2-12=0.-12=0.=(8km)=(8km)2 2-4(3+4k-4(3+4k2 2)(4m)(4m2 2-12)0,-12)0,化简得化简得3+4k3+4k2 2mm2 2. .设设A(xA(x1 1,y,y1 1),B(x),B(x2 2,y,y2 2),),则则若若 成立成立, ,即即 , ,等价于等价于 =0. =0.所以所以x x1 1x x2 2+y+y1 1y y2 2=0,x=0,x1 1x x2 2+(kx+(kx1 1+m)(kx+m)(kx2 2+m)=0,+m)=0,(1+k(1+k2 2)x)x1 1x x2 2+km(x+km(x1 1+x+x2 2)+m)+m2 2=0,=0, =0,=0,化简得化简得7m7m2 2=12+12k=12+12k2 2. .将将k k2 2= m= m2 2-1-1代入代入3+4k3+4k2 2mm2 2中中, ,得得解得解得m m2 2 . .又由又由7m7m2 2=12+12k=12+12k2 212,12,得得m m2 2 , ,从而从而m m2 2 , ,解得解得m m 或或m- .m- .所以实数所以实数m m的取值范围是的取值范围是
