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1、 14.2勾股定理勾股定理 -实际应用实际应用隆昌县第六中学隆昌县第六中学1.1.勾股定理勾股定理a2+b2=c2cba复复 习习注意注意运用勾股定理运用勾股定理必须满足前提条件：在必须满足前提条件：在直角三角形直角三角形中中.同时还同时还要明确直角三角形的要明确直角三角形的直直角边角边与与斜边斜边.2.2.日常生活中常见的垂直关系：日常生活中常见的垂直关系：直立的树杆、旗杆直立的树杆、旗杆与与地面地面;水平方向水平方向与与竖直方向竖直方向; ;东西方向东西方向与与南北方向南北方向; ;圆柱体、长方体的高圆柱体、长方体的高与与底面底面，等等等等. .一 回顾交流1 已知直角三角形ABC的三边为
2、a,b,c ， C 90 ，则 a,b,c 三者之间的关系 是 。 2 矩形的一边长是5，对角线是13，则它的面积是 。60结论结论:S1+S2+S3+S4=S5+S6=S7y=0二二.复习面积法证明勾股定理复习面积法证明勾股定理在直线l上依次摆放着七个正方形（如图）已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，则S1S2S3S4=_探索探索1、一个门框的尺寸如图所示，一块一个门框的尺寸如图所示，一块长长3m、宽宽2.2m的薄木板能否从门框内的薄木板能否从门框内通过通过?为什么为什么?ABCD1m2m解：连接解：连接ACAC，在，在RtAB
3、CRtABC中根中根据勾股定理：据勾股定理：探索探索2 如图如图,一架长为一架长为10m的梯子的梯子AB斜靠在斜靠在墙上墙上,梯子的顶端距地面的垂直距离为梯子的顶端距地面的垂直距离为8m.如如果梯子的顶端下滑果梯子的顶端下滑1m,那么它的底端是否也滑那么它的底端是否也滑动动1 m?ABC所以梯子的顶端下滑所以梯子的顶端下滑1m，它的底端它的底端不是滑动不是滑动1m.10108 8A AB B6 6、数学课外活动小组的同学测量学校旗杆的高度时，发现升旗、数学课外活动小组的同学测量学校旗杆的高度时，发现升旗的绳子垂到地面要多的绳子垂到地面要多1 1米，当他们把绳子的下端拉开米，当他们把绳子的下端拉
4、开5 5米后，发米后，发现下端刚好接触地面。你能将旗杆的高度求出来吗？现下端刚好接触地面。你能将旗杆的高度求出来吗？解：设旗杆长为解：设旗杆长为解：设旗杆长为解：设旗杆长为x mx m， 则绳子长则绳子长则绳子长则绳子长(x+1) m(x+1) m；由勾股定理得由勾股定理得由勾股定理得由勾股定理得x2+52=(x+1)2答：旗杆长为答：旗杆长为12 m，x= 12如图，大风将一根木如图，大风将一根木制旗杆吹裂，随时都制旗杆吹裂，随时都可能倒下，十分危急。可能倒下，十分危急。接警后接警后“119119”迅速迅速赶到现场，并决定从赶到现场，并决定从断裂处将旗杆折断。断裂处将旗杆折断。现在需要划出一
5、个安现在需要划出一个安全警戒区域，那么你全警戒区域，那么你能确定这个安全区域能确定这个安全区域的半径至少是多少米的半径至少是多少米吗？吗？5m18m?y=0乘风破浪乘风破浪 一种盛饮料的圆柱形杯（如图），测得一种盛饮料的圆柱形杯（如图），测得内部底面直径为内部底面直径为5 5，高为，高为1212，吸管，吸管放进杯里，杯口外面露出放进杯里，杯口外面露出5 5，问吸管要，问吸管要做多长？做多长？ A AB BC C 如如图图，将将一一根根25长长的的细细木木棒棒放放入入长长、宽宽、高高分分别别为为8、6和和10的的长长方方体体无无盖盖盒盒子子中中，则则细细木木棒棒露露在在盒盒外外面面的的最最短长度
6、是多少短长度是多少(保留保留1位小数位小数)A AB BC CDAB我我怎怎么走么走会最会最近呢近呢?有一个圆柱有一个圆柱,它的它的高等于高等于12厘米厘米,底底面半径等于面半径等于3厘米厘米,在圆柱下底面上的在圆柱下底面上的A点有一只蚂蚁点有一只蚂蚁,它它想从点想从点A爬到点爬到点B,蚂蚁沿着圆柱侧面蚂蚁沿着圆柱侧面爬行的最短路程是爬行的最短路程是多少多少?(的值取3) BA高高12cmBA长长18cm(的值取的值取3)9cmAB2=92+122=81+144=225=AB=15(cm)蚂蚁爬行的最短路程是蚂蚁爬行的最短路程是15厘米厘米.152n例2如图3，有一圆柱，它的高等于12cm，底
7、面半径等于6cm，在圆柱的下底面A点处有一只小蚂蚁，它想吃到上底面B点（距D点 圆周处）处的食物，需要爬行的最短距离是多少？（取3）解析：利用展开解析：利用展开图将将圆柱的柱的侧面展开（如面展开（如图4），易），易知知蚂蚁在在圆柱的表面上从柱的表面上从A点爬到点爬到B点所点所经过的最短的最短路程是路程是图4中中线段段AB的的长由条件知，底面由条件知，底面圆的周的周长2623636（cm），），（cm）故小故小蚂蚁需要爬行的最短距离是需要爬行的最短距离是15cm所以所以由勾股定理知，由勾股定理知，（cm） 青岛市）如图1，长方体的底面边长分别为1cm 和3cm，高为6cm.如果用一根细线从点A开
8、始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要cm； 如果从点A开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B，那么所用细线最短需要 cm. 解：如图2，依题意，得从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B时，最短距离为AB，此时，由勾股定理，得AB10，即所用细线最短为10cm.聪明的葛藤 葛藤是一种刁钻的植物，它自己腰杆不硬，为了得到阳光的沐浴，常常会选择高大的树木为依托，缠绕其树干盘旋而上。如图(1)所示。 葛藤又是一种聪明的植物，它绕树干攀升的路线，总是沿着最短路径螺旋线前进的。若将树干的侧面展 开 成 一 个 平 面 ， 如 图（2），可清楚的看出葛藤在这个平面上是沿直线上升的。（1）数学奇闻有
9、 一棵树直立在地上，树高2丈，粗3尺，有一根葛藤从树根处缠绕而上，缠绕7周到达树顶，请问这根葛藤条有多长？（1丈等于10尺）ABC20尺37=21（尺）聪明的葛藤如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于和高分别等于36cm，10cm和和6cm，A和和B是这个是这个台阶的两个相对的端点，台阶的两个相对的端点，A点上有一只小虫子，点上有一只小虫子，想到想到B点去吃可口的食物。请你想一想，这只点去吃可口的食物。请你想一想，这只小小虫子虫子从从A点出发，沿着台阶面爬到点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线点，最短线路是多少？路是多少？BAABC.如果圆柱
10、换成如图的棱长为如果圆柱换成如图的棱长为10cm的正的正方体盒子，蚂蚁沿着表面需要爬行的方体盒子，蚂蚁沿着表面需要爬行的最短路程又是多少呢？最短路程又是多少呢？AB正方体中最短路线问题正方体中最短路线问题AB101010BCA前面前面右面右面上面上面BA前面前面1010C10101010BC左面左面上面上面如图长为如图长为3cm，宽为，宽为2cm，高为，高为1cm的长方体，蚂蚁沿着表面需要爬的长方体，蚂蚁沿着表面需要爬行的最短路程又是多少呢？行的最短路程又是多少呢？AB 最短路程问题最短路程问题321分析：蚂蚁由分析：蚂蚁由A爬到爬到B过程中较短的路过程中较短的路线有多少种情况？线有多少种情况
11、？(1)经过前面和上底面经过前面和上底面;(2)经过前面和右面经过前面和右面;(3)经过左面和上底面经过左面和上底面.AB23AB1C321BCA321BCA23AB1C321BCA321BCA观察下列哪个距离最小？你发现了什么？观察下列哪个距离最小？你发现了什么？ 如果长方形的长、宽、高分如果长方形的长、宽、高分别是别是a a、b b、c c（a ab bc c），则），则从顶点从顶点A A到到B B的最短线是：的最短线是：AB 2.2.如如图图，长长方方体体的的长长为为15 15 cmcm，宽宽为为 10 10 cmcm，高高为为20 20 cmcm，点点B B离离点点C C 5 5 cm
12、,cm,一一只只蚂蚂蚁蚁如如果果要要沿沿着着长长方方体体的的表表面面从从点点 A A爬爬到到点点B B，需需要要爬爬行的最短距离是多少？行的最短距离是多少？1020B5B51020ACEFE1020ACFAECB20151052.2.如图如图, ,牧童在牧童在A A处放牛处放牛, ,其家在其家在B B处处,A,A、B B到河岸到河岸的距离分别为的距离分别为ACAC、BDBD，且，且AC=3AC=3，BD=5BD=5，CD=6CD=6，若，若牧童从牧童从A A处将牛牵到河边饮水后再回家，试问在处将牛牵到河边饮水后再回家，试问在何处饮水，所走路程最短？何处饮水，所走路程最短？最短路程是多少？最短路
13、程是多少？C CA AD DB BM MAA您们能否利用上面的知识求出代数式 的最小值吗 如如图图，有有两两棵棵树树，一一棵棵高高8m8m，另另一一棵棵高高2m2m，两两树树相相距距8m8m，一一只只小小鸟鸟从从一一棵棵树树的的树树梢梢飞飞到到另另一一棵树的树梢，至少飞了棵树的树梢，至少飞了 （ ） A.A.7m 7m B.B.8m 8m C.C.9m 9m D.D.10m10m8m2m8mABC如如图图所所示示，要要修修一一个个种种植植蔬蔬菜菜的的育育苗苗大大棚棚，棚棚宽宽a=2m，高高b=1.5m，长长d=12m，则则修修盖在顶上的塑料薄膜需要的面积为多少盖在顶上的塑料薄膜需要的面积为多少
14、?abcd帮一帮农民一一大大楼楼发发生生火火灾灾，消消防防车车立立即即赶赶到到距距大大楼楼9 9米米处处，升升起起云云梯梯到到失失火火的的窗窗口口，已已知知发发生生火火灾灾的的窗窗口口距距地地面面有有14.214.2米米，云云梯梯底底部部距距地地面面2.22.2米米，问问云云梯梯至至少少需需要要搭搭出出多多少少米可以够到米可以够到失火的窗口失火的窗口?ABCED帮一帮消防员 一辆高米，宽一辆高米，宽.米的卡车要通米的卡车要通过一个半径为过一个半径为.米的半圆形隧道，米的半圆形隧道，它能顺利通过吗？它能顺利通过吗？探探索索与与研研究究OA.米米CD3.6米米.米米DCBOA3米米B挑战挑战“试一
15、试试一试”:一一辆辆装装满满货货物物的的卡卡车车，其其外外形形高高2.5米米，宽宽1.6米米，要要开开进进厂厂门门形形状状如如图图的的某某工工厂厂，问问这这辆辆卡卡车车能能否否通通过过该该工工厂厂的的厂厂门门?说说明明理理由。由。 ABCD2米米2.3米米ABMNOCD分析分析H2米米2.3米米由于厂门宽度足够由于厂门宽度足够,所所以卡车能否通过以卡车能否通过,只要看当只要看当卡车位于厂门正中间时其卡车位于厂门正中间时其高度是否小于高度是否小于CH如图所如图所示示,点点D在离厂门中线在离厂门中线0.8米米处处,且且CDAB,与地面交与地面交于于H 一辆装满货物的卡车，其外形高一辆装满货物的卡车
16、，其外形高2.5米，宽米，宽1.6米米解解CDCH0.62.32.9(米米)2.5(米米).因此高度上有因此高度上有0.4米的余量，米的余量，所以卡车能通过厂门所以卡车能通过厂门在在RtOCD中，由勾股定理得中，由勾股定理得0.6米，米，ABMNOCDH2米米2.3米米 有一个水池有一个水池，水的正视图，水的正视图是是一个边长为一个边长为10尺的正方形，尺的正方形，在水池的中央有一根新生的芦在水池的中央有一根新生的芦苇，它高出水面苇，它高出水面1尺，如果把尺，如果把这根芦苇拉向岸边，它的顶端这根芦苇拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，问这个恰好到达岸边的水面，问这个水池的水池的深度和这根芦苇
17、的长度各深度和这根芦苇的长度各是多少？是多少？DABC在我国古代数学著作在我国古代数学著作九章九章算术算术中记载了一道有趣的中记载了一道有趣的问题，这个问题是：问题，这个问题是：答: 水池的深度为12米, 芦苇高为13米.解: 设水池的深度为X米, 则芦苇高为 (X+1)米. 根据题意得:DABC在一棵树的在一棵树的1010米高米高B B处处有两只猴子，一只猴子爬有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树下树走到离树2020米处的池塘的米处的池塘的A A处处。另一只。另一只爬到爬到树顶树顶D D后后直接直接跃到跃到A A处处，距离以直线计算，如果两，距离以直线计算，如果两只猴子只猴子所经过的距离相等所
18、经过的距离相等，则这棵树高多少米。，则这棵树高多少米。解：设解：设解：设解：设BD=x mBD=x m，则树高为则树高为则树高为则树高为(x+10) m(x+10) m；在在在在RtRt DCADCA中，中，中，中，DA= DA= (30-x) m(30-x) m则则则则 20202 2+(x+10)+(x+10)2 2=(30-x)=(30-x)2 2x= 5x= 5x+10=15 mx+10=15 m答：这棵树高为答：这棵树高为答：这棵树高为答：这棵树高为15 m15 m，如图1，ABC中，AB=15，BC=14，AC=13，求BC边上的高ADn解析：设DC=x，则BD=14- xn根据勾
19、股定理得 AD2=152-（14- x）2 ， AD2=132- x 2 n152 -（14- x）2=132- x 2 n 225-（196-28x + x 2）=169- x 2 n225-196+28x -x 2=169- x 2n28x=169-225+196n28x=365-225n28x=140nx=5n在RtACD中 AD 2= AC2-CD2=132-52= 144 n AD=12如图，已知：如图，已知：ABCABC中，中，ADAD是中线，是中线，AEBCAEBC于于E.E.AB=12AB=12，BC=10BC=10，AC=8 ,AC=8 ,求：求：DEDE的长度的长度. .例
20、例2.一架一架飞机在天空中水平飞行飞机在天空中水平飞行,某一时某一时刻正好飞到一个男孩头顶正上方刻正好飞到一个男孩头顶正上方3000米米处处,过了过了20秒秒,飞机距离这个男孩头顶飞机距离这个男孩头顶5000米，试求这架飞机的飞行速度米，试求这架飞机的飞行速度?20秒秒3000米米5000米米ABC补充：补充：1.一艘轮船以一艘轮船以20海里海里/小时的速度离开港口小时的速度离开港口O向东北方向航行，另一艘轮船同时以向东北方向航行，另一艘轮船同时以22海里海里/小小时的速度离开港口向东南方向航行，时的速度离开港口向东南方向航行，2小时后两船小时后两船相距多远？相距多远？甲甲(A)西西东东北北南南O乙乙(B)小结：小结：(在直角三角形中，知道一边及另两边关系，可以求出未知的两边.)如图，已知一块四边形草地ABCD，其中A45，BD90，AB20m，CD10m，求这块草地的面积 如图，已知：等腰直角如图，已知：等腰直角ABCABC中，中，P P为斜边为斜边BCBC上的任一点上的任一点. .求证：求证：PBPB2 2PCPC2 22PA2PA2 2 . .A AB BC CP PD D
