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1、专题复习专题复习用待定系数法求二次函数解析式用待定系数法求二次函数解析式一、复习目标：一、复习目标：1.理解并记住二次函数解析式的三种形式：理解并记住二次函数解析式的三种形式：一般式，顶点式，两根式一般式，顶点式，两根式2.灵活应用二次函数的三种形式，以便在用灵活应用二次函数的三种形式，以便在用待定系数法求解二次函数解析式时减少未知待定系数法求解二次函数解析式时减少未知数的个数，简化运算过程。数的个数，简化运算过程。二、复习重点和难点：二、复习重点和难点：根据问题灵活选用二次函数解析式的不同根据问题灵活选用二次函数解析式的不同形式，形式，既是重点又是难点。既是重点又是难点。三、复习内容：三、复
2、习内容：（一）提问：（一）提问：在一次函数图象及性质一节中，在一次函数图象及性质一节中，我们已经学过了待定系数法，请我们已经学过了待定系数法，请回答用待定系数法求函数解析式回答用待定系数法求函数解析式的一般步骤是什么？的一般步骤是什么？待定系数法求函数的解析式待定系数法求函数的解析式一般步骤是：一般步骤是：（1）写出函数解析式的一般式，其）写出函数解析式的一般式，其中包括未知的系数；中包括未知的系数；（2）把自变量与函数的对应值代入）把自变量与函数的对应值代入函数解析式中，得到关于待定系数函数解析式中，得到关于待定系数的方程或方程组。的方程或方程组。（3）解方程（组）求出待定系数的）解方程（组
3、）求出待定系数的值，从而写出函数解析式。值，从而写出函数解析式。（二）方法：（二）方法：1.一般式：一般式：y=ax2+bx+c(a0)已知图象上三点坐标，特别是已知函数图已知图象上三点坐标，特别是已知函数图象与象与y y轴的交点坐标（轴的交点坐标（0 0，c c）时，使用一般时，使用一般式很方便。式很方便。例例1.已知二次函数图象经过已知二次函数图象经过A(2,-4),B(0,2),C(-1,2)三点，三点，求此函数的解析式。求此函数的解析式。解解：设二次函数解析式为：设二次函数解析式为y=ax2+bx+c图象过图象过B(0,2)c=2y=ax2+bx+2图象过图象过A(2,-4),C(-1
4、,2)两点两点-4=4a+2b+22=a-b+2解得解得a=-1,b=-1函数的解析式为：函数的解析式为：y=-x2-x+22. 2. 顶点式顶点式y=a(x+h)2+k(a0)已知对称轴方程已知对称轴方程x=-h、最值最值k或顶或顶点坐标点坐标（-h,k）时优先选用顶点式。时优先选用顶点式。例例2.已知一个二次函数的图象经已知一个二次函数的图象经过点过点(4,-3)，并且当，并且当x=3时有最大值时有最大值4，试确定这个二次函数的解析式。，试确定这个二次函数的解析式。解法解法1：（利用顶点式）（利用顶点式）设二次函数解析式为：设二次函数解析式为：y=a(x+h)2+k(a0)当当x=3时，有
5、最大值时，有最大值4顶点坐标为顶点坐标为(3,4)h=-3,k=4y=a(x-3)2+4函数图象过点（函数图象过点（4，-3）a(4-3)2+4=-3a=-7y=-7(x-3)2+4=-7x2+42x-59二次函数的解析式为：二次函数的解析式为：y=-7x2+42x-59解法解法2：（利用一般式）（利用一般式）设二次函数解析式为：设二次函数解析式为：y=ax2+bx+c(a0)由题意知由题意知16a+4b+c=-3-b/2a=3(4ac-b2)/4a=4解方程组得：解方程组得：a=-7b=42c=-59二次函数的解析式为：二次函数的解析式为：y=-7x2+42x-593两根式两根式y=a(x-
6、x1)(x-x2) 知道抛物线与知道抛物线与x x轴的两个交点的坐标，或轴的两个交点的坐标，或一个交点的坐标及对称轴方程或顶点的横坐一个交点的坐标及对称轴方程或顶点的横坐标时选用两根式比较简便标时选用两根式比较简便（1）当）当=b2-4ac0，抛物线与抛物线与x轴相交轴相交y=ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)=b2-4ac0，交点有两个，交点有两个，分别是：（分别是：（x1,0）和（和（x2,0）=b2-4ac =0,交点只有一个交点只有一个即顶点即顶点-b/2a,(4ac-b2)/4a=b2-4ac 0,无交点无交点（2）当）当=b2-4ac0时，时，方程方程ax2+bx+c0无
7、解，无解，二次三项式二次三项式ax2+bx+c不能分解不能分解抛物线与抛物线与x轴不相交。轴不相交。（3）若抛物线与）若抛物线与x轴的两个交点轴的两个交点的横坐标分别为的横坐标分别为x1、x2，那么对称那么对称轴方程为：轴方程为：x=(x1+x2)/2例例3.二次函数二次函数y=ax2+bx+c的图象过的图象过点点A(0,-5),B(5,0)两点，它的对称两点，它的对称轴为直线轴为直线x=3，求这个二次函数的求这个二次函数的解析式。解析式。解解:二次函数的图象过点二次函数的图象过点B(5,0),对称轴为直线对称轴为直线x=3设抛物线与设抛物线与x轴的另一个交点轴的另一个交点C的坐标为的坐标为(
8、x1,0)则对称轴：则对称轴：x=(x1+x2)/2即：即：(5x1)/23x1=1c点的坐标为点的坐标为(1,0)设二次函数解析式为：设二次函数解析式为：y=a(x-1)(x-5)图象过图象过A(0,-5)-5=a(0-1)(0-5)即即-5=5aa=-1y=-(x-1)(x-5)=-x2+6x-5（三）练习题（三）练习题二次函数图象经过点二次函数图象经过点(1,4),(-1,0)和和(3,0)三点，三点，求二次函数的解析式。求二次函数的解析式。解法解法1：（：（一般式一般式）设二次函数解析式为设二次函数解析式为y=ax2+bx+c二次函数图象过点二次函数图象过点(1,4),(-1,0)和和
9、(3,0)a+b+c=4a-b+c=09a+3b+c=0-得：得：2b=4b=2代入代入、得：得：a+c=29a+c=-6-得：得：8a=-8a=-1代入代入得：得：c=3函数的解析式为：函数的解析式为：y=-x2+2x+3解法解法2：（：（顶点式顶点式）抛物线与抛物线与x轴相交两点轴相交两点(-1,0)和和(3,0)，1=(-1+3)/2点点(1,4)为抛物线的顶点为抛物线的顶点由题意设二次函数解析式为：由题意设二次函数解析式为：y=a(x+h)2+ky=a(x-1)2+4抛物线过点抛物线过点(-1,0)0=a(-1-1)2+4得得a=-1函数的解析式为：函数的解析式为：y=-1(x-1)2+4=-x2+2x+3解法解法3：（：（两根式两根式）由题意可知两根为由题意可知两根为x1=-1、x2=3设二次函数解析式为设二次函数解析式为y=a(x-x1)(x-x2) 则有：则有：y=a(x+1)(x-3)函数图象过点函数图象过点(1,4)4=a(1+1)(1-3)得得a=-1函数的解析式为：函数的解析式为：y=-1(x+1)(x-3)=-x2+2x+3
