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1、6.3 向量的线性相关向量的线性相关一、内容分布一、内容分布6.3.1 线性组合与线性表示线性组合与线性表示6.3.2 线性相关与线性无关线性相关与线性无关6.3.3 向量组等价向量组等价6.3.4 向量组的极大线性无关组向量组的极大线性无关组二、教学目的二、教学目的 1准确理解和掌握向量的线性相关性概念及判别准确理解和掌握向量的线性相关性概念及判别 2理解向量组的等价及极大无关组的概念理解向量组的等价及极大无关组的概念3掌握向量的线性相关性证明及极大无关组求法掌握向量的线性相关性证明及极大无关组求法 三、重点、难点三、重点、难点 线性相关性（无关）、向量组的极大线性无关组等概线性相关性（无关
2、）、向量组的极大线性无关组等概念，替换定理的证明念，替换定理的证明6.3.1 6.3.1 线性组合与线性表示线性组合与线性表示定义定义1 设设 是向量空间是向量空间V的的r个向量，个向量， 是数域是数域F中任意中任意r个数个数. 我们把和我们把和叫做向量叫做向量 的一个向量组合的一个向量组合.如果如果V 中某一向量中某一向量 可以表示成向量可以表示成向量 的的线性组合，我们也说线性组合，我们也说 可以由可以由 线性表示线性表示.零向量显然可以由任意一组向量零向量显然可以由任意一组向量 线性线性表示，因为表示，因为6.3.2 6.3.2 线性相关与线性无关线性相关与线性无关定义定义2 设设 是向
3、量空间是向量空间V的的r个向量。如果存在个向量。如果存在F中不全为零的数中不全为零的数 使得使得（1）那么就说那么就说 线性相关线性相关.如果不存在如果不存在F中不全为零的数中不全为零的数 使得等式使得等式（1）成立，换句话说，等式（）成立，换句话说，等式（1）仅当）仅当 时才成立，那么就说，向量时才成立，那么就说，向量 线性无关线性无关.例例1 令令F是任意一个数域。是任意一个数域。 中向量中向量 1=（1,2,3），）， 2=（2,4,6），）， 3=（3,5,-4）线性）线性相关。相关。例例2 判断判断 的向量的向量 1=（1,-2,3），）， 2=（2,1,0），）， 3=（1,-7,
4、9）是否）是否线性相关。线性相关。例例3 在向量空间在向量空间F x里，对于任意非负整数里，对于任意非负整数 n ,线性无关。线性无关。 命题命题6.3.1 向量组向量组 中每一个向量中每一个向量 都可以由这都可以由这一组向量线性表示一组向量线性表示. 命题命题6.3.2 如果向量如果向量 可以由可以由 线性表示，而每一个线性表示，而每一个又都可以由又都可以由 线性表示，那么线性表示，那么 可以由可以由 线性表示线性表示.命题命题6.3.3 如果向量组如果向量组 线性无关线性无关,那么它的任意那么它的任意一部分也线性无关一部分也线性无关.一个等价的提法是一个等价的提法是:如果向量组如果向量组
5、有一部分向量线性相关有一部分向量线性相关,那么整个向那么整个向量组量组 也线性相关也线性相关.命题命题6.3.4 设向量组设向量组 线性无关线性无关,而而 线性相关线性相关.那么那么一定可以由一定可以由 线性表示线性表示.定理定理 6.3.5 向量向量 线性相关线性相关,必要且只要其中必要且只要其中某一个向量是其余向量的线性组合某一个向量是其余向量的线性组合.6.3.3 向量组等价向量组等价定义定义3 设设 和和 是向量空间是向量空间V的两个的两个向量组向量组,如果每一个如果每一个 都可以由都可以由 线性表线性表示示,而每一而每一 也可以由也可以由 线性表示线性表示, 那么那么就说这两个向量组
6、等价就说这两个向量组等价.例例4 向量组向量组 1=(1,2,3), 2=(1,0,2)与向量组与向量组 1=(3,4,8), 2=(2,2,5), 3=(0,2,1)等价等价.等价的概念显然具有传递性等价的概念显然具有传递性:如果如果 与与 等价等价,而后者又与而后者又与 等价等价, 那那么么 与与 等价等价.定理定理6.3.6 (替换定理）替换定理）设向量组设向量组 线性无关线性无关,并且每一并且每一 都都 可以由向量组可以由向量组线性表示线性表示,那么那么rs, 并且必要时可以对并且必要时可以对 中中向量重新编号向量重新编号,使得用使得用 替换替换后所得的向量后所得的向量 与与 等价等价
7、. 推论推论6.3.7 两个等价的线性无关的向量组含有相同个数的向量。两个等价的线性无关的向量组含有相同个数的向量。6.3.4 向量组的极大线性无关组向量组的极大线性无关组(1) 线性无关；线性无关；定义定义4 向量组向量组 的一部分向量组的一部分向量组 叫叫做一个极大线性无关部分组（简称极大无关组），如做一个极大线性无关部分组（简称极大无关组），如果果 (2)每一每一 ，j = 1, n,都可以由都可以由 线性表示。线性表示。例例5看看F3的向量组的向量组在这里在这里 线性无关，而线性无关，而 ,所以所以 是一个极大无关组。另一方面，容易看出，是一个极大无关组。另一方面，容易看出， ， 也是向量组也是向量组 的极大无关组。的极大无关组。推论推论6.3.8 等价的向量组的极大无关组含有相同个数的向量等价的向量组的极大无关组含有相同个数的向量.特别，一个向量组的任意两个极大无关组含有相同特别，一个向量组的任意两个极大无关组含有相同个数的向量。个数的向量。
