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1、第一节第一节 微分中值定理微分中值定理高等数学高等数学第三章第三章复习复习Fermat引理引理有定义有定义,如果对如果对 有有 那么那么内内的某邻域的某邻域在点在点设函数设函数)()(00xUxxf,)(0存在存在且且xf 2推论推论3例例证明证明：4三、柯西三、柯西(Cauchy)(Cauchy)中值定理中值定理特别地特别地5这两个这两个错错 ! !柯西中值定理柯西中值定理(1)(2)使得使得柯西定理的下述证法对吗柯西定理的下述证法对吗 ? ?不一定相同不一定相同x x6证证作辅助函数作辅助函数7例例证证分析分析: 结论可变形为结论可变形为8罗尔罗尔定理定理Lagrange中值定理中值定理C
2、auchy中值定理中值定理 罗尔罗尔(Rolle)定理、拉格朗日定理、拉格朗日(Lagrange)中中值定理、柯西值定理、柯西(Cauchy)中值定理之间的关系中值定理之间的关系:推广推广推广推广 这三个定理的条件这三个定理的条件都是充分条件都是充分条件,换句话说换句话说, 满足条件满足条件,不满足条件不满足条件, 定理可能成立定理可能成立, 不是必要条件不是必要条件.而而成立成立;不成立不成立.定理定理也可能也可能四、小结四、小结一个引理、三个中值定理、一个推论；一个引理、三个中值定理、一个推论；9应用三个中值定理常解决下列问题应用三个中值定理常解决下列问题(1) 验证定理的正确性验证定理的
3、正确性;(2) 证明方程根的存在性证明方程根的存在性;(3) 引入辅助函数证明等式引入辅助函数证明等式;(4) 证明不等式证明不等式;(5) 综合运用中值定理综合运用中值定理(几次运用几次运用). 关键关键 逆向思维逆向思维,找找辅助函数辅助函数10思考与练习思考与练习1. 填空题填空题1) 函数函数在区间在区间 1, 2 上满足上满足Lagrange定定理理条件条件, 则中值则中值2) 设设有有个根个根 , 它们分别在区间它们分别在区间上上.方程方程11 分析分析且且内可导内可导在在上连续上连续在在设设,),(,)(babaxf122. 设且在且在内内可导可导, 证明至少证明至少存存在一点在
4、一点使使提示提示: 由由结论可知结论可知, 只需证只需证即即验证验证在在上上满足满足Rolle定理条件定理条件.设设13 分析分析且且内可导内可导在在上连续上连续在在设设,),(,)(babaxf3. 14证证即即且且内可导内可导在在上连续上连续在在设设,),(,)(babaxf).,(, 0)(, 0)()(baxxfbfaf = = =定理定理由由Rolle154. 若若可导可导, 试证在其两个零点间一定有试证在其两个零点间一定有的的零点零点. 提示提示: 设设欲欲证证:使使只要证只要证亦即亦即作作辅助函数辅助函数验证验证在在上上满足满足 罗尔定理条件罗尔定理条件.16第二节第二节 洛必达
5、法则洛必达法则高等数学高等数学第三章第三章定义定义18定理定理1：设：设定义定义 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则. .型未定式解法：型未定式解法：1 1、0019则有则有证明：注意，证明：注意，x = a 有可能是有可能是 f (x) 和和 F(x) 的间断点的间断点 故故 x = a 只可能是可去间断点只可能是可去间断点20（2）使用法则时一定要注意验证法则的条件。）使用法则时一定要注意验证法则的条件。注意：注意：21定理定理2则则（3） 定理定理1中中换为换为之
6、一之一,条件条件 2) 作相应的修改作相应的修改 , 定理仍然成立定理仍然成立.22例例解解例例解解23例例解解：正解：正解：注意注意: 不是未定式不能用不是未定式不能用LHospital法则法则 !24型未定式解法：型未定式解法：2 2、 定理定理3：设：设立的。立的。对其他极限过程也是成对其他极限过程也是成定理定理 3)1(25例例解解例例解解26用洛必达法则应注意的事项用洛必达法则应注意的事项只要是只要是则可一直用下去则可一直用下去;(3) 每用完一次法则每用完一次法则,要将式子整理化简要将式子整理化简;(4) 为简化运算经常将法则与等价无穷小及极限为简化运算经常将法则与等价无穷小及极限
7、的其它性质结合使用的其它性质结合使用.(2) 在用法则之前在用法则之前,式子是否能先化简式子是否能先化简;27例例5. 求求解解:原式原式例例6. 求求解解: (1) n 为正整数的情形为正整数的情形.原式原式28例例7. 求求(2) n 不为正整数的情形不为正整数的情形.从而从而由由(1)用夹逼准则用夹逼准则存在正整数存在正整数 k , 使当使当 x 1 时时,29例例解解30例例解解31例例解解解解32注意注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法洛必达法则是求未定式的一种有效方法, ,但与其它求极限方法结合使用但与其它求极限方法结合使用, ,效果更好效果更好. .例例解解33解解 先把此定
8、先把此定式式因式分离出来因式分离出来34例例解解极限不存在极限不存在洛必达法则失效洛必达法则失效. LHospital法则的使用条件法则的使用条件.注注用法则求极限有两方面的局限性用法则求极限有两方面的局限性 当导数比的极限不存在时当导数比的极限不存在时,不能断定函数不能断定函数比的极限不存在比的极限不存在,其一其一其一其一, ,这时不能使用洛必达法则这时不能使用洛必达法则.35可能永远得不到结果可能永远得不到结果! 分子，分母有单项无理式时分子，分母有单项无理式时,不能简化不能简化.如如其实其实: 其二其二其二其二用法则求极限有两方面的局限性用法则求极限有两方面的局限性36例例解解关键关键:
9、 :将其它类型未定式化为洛必达法则可解决将其它类型未定式化为洛必达法则可解决 的类型的类型 步骤步骤:或或37例例解解38例例解解步骤步骤:39例例 解解 40Guan 法一：法一：化为指数函数化为指数函数法二：取对数法二：取对数步骤步骤:步骤步骤:1lnlimlnlimln-=vuuvuvlim41例例解解42例例解解43例例解解44例例解解还有别的方法吗还有别的方法吗?45例例解解数列的极限数列的极限转化为函数的未定式的极限转化为函数的未定式的极限!由于由于是是中的一种中的一种特殊情况特殊情况,所以有所以有不能用洛必达法则不能用洛必达法则46解解 法一法一 用三次用三次洛必达法则可求得洛必
10、达法则可求得. 法二法二 结合其它方法用三次结合其它方法用三次洛必达法则可求得洛必达法则可求得. 法三法三xxeexxxsinlimsin0- - -求极限求极限xxeexxxxsin1limsinsin0- - -= =- -原式原式xxeexxxxxsin1limlimsin0sin0- - - = =- -111= = = =47均为正数均为正数.解解 法一法一48解解 法二法二均为正数均为正数.49解解: 原原式式例例 求求通分通分转化转化取倒数取倒数转化转化取对数取对数转化转化501.1.解解极限不存在极限不存在洛必达法则失效洛必达法则失效. .思考题思考题: 以下解法对否以下解法对
11、否?注意：洛必达法则的使用条件注意：洛必达法则的使用条件2.2.解解511.1.解解思考题思考题: 以下解法对否以下解法对否?2.2.解解注意：注意：LHospital法则的使用条件法则的使用条件52四、小结四、小结一、一、二、二、三、三、注意注意但但求某些未定式极限不要单一使用求某些未定式极限不要单一使用洛必达洛必达应将所学方法综合运用应将所学方法综合运用.尤其是下述两种方法尤其是下述两种方法, 可使问题大大简化可使问题大大简化.各类未定式极限问题各类未定式极限问题,洛必达法则是最常用洛必达法则是最常用的工具的工具,法则法则, 三三大大类类未未定定式式53 (1) 存在极限为存在极限为非零的
12、因子非零的因子,可根据积的极可根据积的极限运算法则先求出其极限限运算法则先求出其极限. (2) 凡乘积或商的凡乘积或商的非零无穷小因式非零无穷小因式, 可先用简可先用简单形式的等价无穷小替换单形式的等价无穷小替换. 务必记住常用的等价无穷小务必记住常用的等价无穷小.54思考题思考题问上述做法是否正确问上述做法是否正确55思考题解答思考题解答错错正确的做法是正确的做法是不一定存在不一定存在.)()(0000xfxxfx+ +- -000)()(lim0xxxfxxxfxx- - -= =000)()(lim0xxxfxxxfxx- - -求求56则则练习练习 求求解解: 令令原式原式57例例1
13、12 2解解极限不存在极限不存在洛必达法则洛必达法则失效失效。注意：注意：洛必达法则的使用条件洛必达法则的使用条件例例1 13 3解解洛必达法则洛必达法则失效失效。58例例14解：解：59例例1 15 5解：这是数列极限，不能直接用洛必达法则解：这是数列极限，不能直接用洛必达法则注意：数列没有导数的概念，故对数列未定式的注意：数列没有导数的概念，故对数列未定式的极限，不能直接用洛必达法则，必须先转化为函极限，不能直接用洛必达法则，必须先转化为函数的极限，再用法则。数的极限，再用法则。数列极限转化为函数极限数列极限转化为函数极限60(1)(2)1/2;(3)1/e;(4)1;(5)1/e;(6)
14、2/361三、小结三、小结洛必达法则洛必达法则62使用洛必达法则时的注意事项使用洛必达法则时的注意事项(1) 所求极限一定要是所求极限一定要是(2) 可连续使用法则，但每次使用前必须验可连续使用法则，但每次使用前必须验 证法则的条件。证法则的条件。(3) 其它形式的未定式必须先转化为其它形式的未定式必须先转化为再用再用法则。法则。 (4) 当法则失效时，不能说明原极限不存在，当法则失效时，不能说明原极限不存在， 要改用其它方法。要改用其它方法。(5) 注意将法则与其它方法结合使用。注意将法则与其它方法结合使用。 (6) 对数列极限使用法则时，必须先转化为函数极限对数列极限使用法则时，必须先转化为函数极限63课堂练习题课堂练习题6465
