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1、计算方法计算方法13 常微分方程的差分方法常微分方程的差分方法问题的提出问题的提出一阶方程的典型解法一阶方程的典型解法23.0 问题的提出问题的提出数值微分数值微分微分的定义微分的定义差商公式差商公式三种典型的差商公式三种典型的差商公式3 典型的微分方程典型的微分方程典型的微分方程典型的微分方程( (一阶方程的初值问题一阶方程的初值问题一阶方程的初值问题一阶方程的初值问题) ) 理论解理论解理论解理论解( (解析方法解析方法解析方法解析方法) )的局限性的局限性的局限性的局限性 数值解法的重要性数值解法的重要性数值解法的重要性数值解法的重要性无理论解、仅有离散点。无理论解、仅有离散点。无理论解
2、、仅有离散点。无理论解、仅有离散点。4 差分方法是一类重要的数值解法差分方法是一类重要的数值解法差分方法是一类重要的数值解法差分方法是一类重要的数值解法 寻求一系列寻求一系列寻求一系列寻求一系列离散节点离散节点离散节点离散节点 x x1 1 x x2 2 x xn n上的上的上的上的近似解近似解近似解近似解y y1 1，y y2 2，y yn n，。 h h= =x xn n+1+1- -x xn n称称称称为为为为步步步步长长长长。 初初初初值问题值问题值问题值问题差分方法的特点：差分方法的特点：差分方法的特点：差分方法的特点： 步步步步进进进进式式式式求解求解求解求解过过过过程程程程顺顺顺
3、顺着着着着节节节节点排列的次序一步一步地向前点排列的次序一步一步地向前点排列的次序一步一步地向前点排列的次序一步一步地向前推推推推进进进进。 描述描述描述描述这这这这种算法，只要种算法，只要种算法，只要种算法，只要给给给给出从已知信息出从已知信息出从已知信息出从已知信息y yn n，y yn n-1-1， y yn n-2-2 ，计计计计算算算算y yn n+1+1的的的的递递递递推公式推公式推公式推公式差分格式。差分格式。差分格式。差分格式。 求解的核心求解的核心求解的核心求解的核心消除消除消除消除导导导导数，离散化方法数，离散化方法数，离散化方法数，离散化方法53.1 Euler方法方法E
4、ulerEuler格式格式格式格式 微分的微分的微分的微分的离散化离散化离散化离散化差商代替导数差商代替导数差商代替导数差商代替导数 在点在点在点在点x xn n列出一阶方程列出一阶方程列出一阶方程列出一阶方程6显式显式显式显式图形图形图形图形7例题例题例题例题 取取取取h h=0.1=0.18欧拉方法的误差分析欧拉方法的误差分析 局部截断误差：在局部截断误差：在局部截断误差：在局部截断误差：在y yn n= =y y( (x xn n) )为准确的前提下，为准确的前提下，为准确的前提下，为准确的前提下， y yn n+1+1- -y yn n的误差。的误差。的误差。的误差。 如果其局部截断误
5、差为如果其局部截断误差为如果其局部截断误差为如果其局部截断误差为O(O(h hp p+1+1) )，称该数值方，称该数值方，称该数值方，称该数值方法的精度是法的精度是法的精度是法的精度是p p阶的。阶的。阶的。阶的。 EulerEuler格式的精度：一阶方法。格式的精度：一阶方法。格式的精度：一阶方法。格式的精度：一阶方法。9隐式隐式隐式隐式EulerEuler方法方法方法方法 向后差商公式向后差商公式向后差商公式向后差商公式。10隐式隐式计算比较困难计算比较困难一阶方法一阶方法11两步两步两步两步EulerEuler格式格式格式格式中心差商公式中心差商公式中心差商公式中心差商公式12两步两步
6、两步两步二阶方法二阶方法二阶方法二阶方法133.2 改进的改进的Euler方法方法微分方程转化为积分方程微分方程转化为积分方程微分方程转化为积分方程微分方程转化为积分方程选取不同的数值积分公式选取不同的数值积分公式选取不同的数值积分公式选取不同的数值积分公式不同的离散方法不同的离散方法不同的离散方法不同的离散方法( (差分格式差分格式差分格式差分格式) )14 矩形格式矩形格式矩形格式矩形格式 离散化离散化离散化离散化 梯形格式梯形格式梯形格式梯形格式离散化离散化离散化离散化两种差商格式的平均化，隐式，精度不高。两种差商格式的平均化，隐式，精度不高。两种差商格式的平均化，隐式，精度不高。两种差
7、商格式的平均化，隐式，精度不高。15 改进的思路：改进的思路：改进的思路：改进的思路： 先用欧拉方法求得一个初步的近似值，记为先用欧拉方法求得一个初步的近似值，记为先用欧拉方法求得一个初步的近似值，记为先用欧拉方法求得一个初步的近似值，记为 ( (预报值预报值预报值预报值) )，代替右侧的，代替右侧的，代替右侧的，代替右侧的y yn n+1+1直接计算，得到校正值直接计算，得到校正值直接计算，得到校正值直接计算，得到校正值y yn n+1+1。 改进的改进的改进的改进的EulerEuler公式公式公式公式16 或如下平均化形式或如下平均化形式或如下平均化形式或如下平均化形式17例题例题例题例题
8、18精度分析精度分析精度分析精度分析思考题思考题思考题思考题数值积分公式其他形式数值积分公式其他形式数值积分公式其他形式数值积分公式其他形式( (思想思想思想思想) )的适用的适用的适用的适用性性性性193.3 Runge-Kutta方法方法高精度高精度高精度高精度( (构造！构造！构造！构造！) )思想思想思想思想核心核心核心核心是如何确定是如何确定是如何确定是如何确定 。改进的改进的改进的改进的EulerEuler公式公式公式公式20 的构造的构造的构造的构造21二阶二阶二阶二阶Runge-KuttaRunge-Kutta方法方法方法方法 取取取取x xn n和和和和x xn+pn+p=
9、= x xn n+ph+ph，0 0pp 1 1。 合理的确定合理的确定合理的确定合理的确定 、p p，以提高精度。，以提高精度。，以提高精度。，以提高精度。22 假定假定假定假定y yn n= =f f( (x xn n) ) 从而有从而有从而有从而有 而而而而有：有：有：有： p=p=1/21/2。二阶二阶二阶二阶Runge-KuttaRunge-Kutta格式格式格式格式23 = =1/21/2，p=p=1 1，改进的，改进的，改进的，改进的EulerEuler公式；公式；公式；公式； = =1 1，p=p=1/21/2，变形的，变形的，变形的，变形的EulerEuler公式公式公式公式
10、中点公式中点公式中点公式中点公式；24三阶三阶三阶三阶Runge-KuttaRunge-Kutta方法方法方法方法取取取取x xn n、x xn+pn+p、x xn+qn+q，0 0p p q q 1 1。一般格式。一般格式。一般格式。一般格式一种典型格式一种典型格式一种典型格式一种典型格式25四阶四阶四阶四阶Runge-KuttaRunge-Kutta方法方法方法方法典型格式典型格式典型格式典型格式26例题例题例题例题h h=0.2=0.2。 解：解：解：解：27变步长变步长变步长变步长Runge-KuttaRunge-Kutta方法方法方法方法 考察经典的四阶考察经典的四阶考察经典的四阶考
11、察经典的四阶Runge-KuttaRunge-Kutta格式，设从格式，设从格式，设从格式，设从节点节点节点节点x xn n出发，先以出发，先以出发，先以出发，先以h h为步长求出一个近似值为步长求出一个近似值为步长求出一个近似值为步长求出一个近似值 ，显然：，显然：，显然：，显然： 。 将步长折半，取将步长折半，取将步长折半，取将步长折半，取h h/2/2为步长从为步长从为步长从为步长从x xn n跨两步到跨两步到跨两步到跨两步到x xn n+1+1，再求得一个近似值，再求得一个近似值，再求得一个近似值，再求得一个近似值 ，从而有：，从而有：，从而有：，从而有：28故而：故而：故而：故而：事
12、后误差估计公式：事后误差估计公式：事后误差估计公式：事后误差估计公式：误差控制误差控制误差控制误差控制29初步总结初步总结初步总结初步总结与第与第与第与第2 2章的继承性。章的继承性。章的继承性。章的继承性。ExercisesExercises习题习题习题习题3 3的第的第的第的第1010、1212题。题。题。题。303.4 Adams方法方法AdamsAdams格式格式格式格式 基本思想：利用基本思想：利用基本思想：利用基本思想：利用x xn n，x xn n-1-1， x xn n-2-2 上的斜率上的斜率上的斜率上的斜率值值值值减少减少减少减少计计计计算算算算y yn n+1+1的的的的
13、计计计计算量或提高精度。算量或提高精度。算量或提高精度。算量或提高精度。31取取取取 取合理的取合理的取合理的取合理的 ，使上述格式具有二，使上述格式具有二，使上述格式具有二，使上述格式具有二阶阶阶阶精度精度精度精度 二二二二阶阶阶阶AdamsAdams格式格式格式格式32 假假假假设设设设则则则则：而而而而 显显显显然：然：然：然： =-1/2=-1/2。33二阶二阶二阶二阶AdamsAdams格式格式格式格式34三阶三阶三阶三阶四阶四阶四阶四阶35隐式格式隐式格式隐式格式隐式格式二阶隐式二阶隐式二阶隐式二阶隐式AdamsAdams格式格式格式格式36三阶隐式三阶隐式三阶隐式三阶隐式Adam
14、sAdams格式格式格式格式四阶隐式四阶隐式四阶隐式四阶隐式AdamsAdams格式格式格式格式37改进的改进的改进的改进的AdamsAdams格式格式格式格式( (预报预报预报预报- -校正系统校正系统校正系统校正系统) )用显式和隐式的用显式和隐式的用显式和隐式的用显式和隐式的AdamsAdams格式匹配构造格式匹配构造格式匹配构造格式匹配构造38四阶四阶四阶四阶39 假假假假设设设设 , ,则则则则：而而而而 显显显显然：然：然：然：40校正后的误差校正后的误差校正后的误差校正后的误差从而有：从而有：从而有：从而有：41 事后估计式事后估计式事后估计式事后估计式42 令令令令p pn n
15、和和和和c cn n分别代表第分别代表第分别代表第分别代表第n n步的预报值和步的预报值和步的预报值和步的预报值和校正值，校正值，校正值，校正值， 和和和和 可作为可作为可作为可作为p pn n+1+1和和和和c cn n+1+1的改进值。在的改进值。在的改进值。在的改进值。在c cn n+1+1未确定未确定未确定未确定前，可用前，可用前，可用前，可用p pn n- -c cn n来代替来代替来代替来代替p pn n+1+1- -c cn n+1+1进行计算。进行计算。进行计算。进行计算。43改进后的公式改进后的公式改进后的公式改进后的公式44ExercisesExercises习题习题习题习
16、题3 3的第的第的第的第1313题。题。题。题。45收敛性与稳定性收敛性与稳定性 差分方法的基本思想差分方法的基本思想差分方法的基本思想差分方法的基本思想: : 通过离散化，将微分方程转化为差通过离散化，将微分方程转化为差通过离散化，将微分方程转化为差通过离散化，将微分方程转化为差分方程分方程分方程分方程( (代数方程代数方程代数方程代数方程) )。 合理性检验合理性检验合理性检验合理性检验 解的收敛性。解的收敛性。解的收敛性。解的收敛性。 当当当当h h=0=0时，时，时，时，y yn n是否会收敛到是否会收敛到是否会收敛到是否会收敛到y y( (x xn n)?)?46收敛性问题收敛性问题
17、收敛性问题收敛性问题 若若若若 ，则称，则称，则称，则称该方法收敛。该方法收敛。该方法收敛。该方法收敛。 47 EulerEuler方法的收敛性方法的收敛性方法的收敛性方法的收敛性 EulerEuler格式：格式：格式：格式：看看看看看看看看48令令令令y yn n= =y y( (x xn n) )，则近似值：，则近似值：，则近似值：，则近似值：局部截断误差局部截断误差局部截断误差局部截断误差从而存在定数从而存在定数从而存在定数从而存在定数C C，使，使，使，使49 而：而：而：而：式中，式中，式中，式中，L L是是是是f f关于关于关于关于y y的的的的LipschitzLipschitz
18、常数。常数。常数。常数。 存在常数存在常数存在常数存在常数L L，使对于任何一对点，使对于任何一对点，使对于任何一对点，使对于任何一对点( (x x，y y1 1) )、( (x x，y y2 2) )，均有不等式，均有不等式，均有不等式，均有不等式 成立，成立，成立，成立，L L称为称为称为称为LipschitzLipschitz常数。常数。常数。常数。 50 令令令令 ，从而有：从而有：从而有：从而有： 反复递推有：反复递推有：反复递推有：反复递推有：设设设设x xn n- -x x0 0= =nhnh T T( (T T为为常数常数常数常数) )，则则从而从而从而从而51 显然，如果初值
19、准确，则有显然，如果初值准确，则有显然，如果初值准确，则有显然，如果初值准确，则有h h0, 0,e en n 0. 0. Euler Euler格式收敛。格式收敛。格式收敛。格式收敛。52稳定性稳定性稳定性稳定性 每一步的计算并不严格准确，每一步的计算并不严格准确，每一步的计算并不严格准确，每一步的计算并不严格准确，存在计算误差的传播问题存在计算误差的传播问题存在计算误差的传播问题存在计算误差的传播问题扰动。扰动。扰动。扰动。 若若若若则称为稳定的。则称为稳定的。则称为稳定的。则称为稳定的。53稳定性问题的讨论稳定性问题的讨论稳定性问题的讨论稳定性问题的讨论EulerEuler格式和隐式格式
20、和隐式格式和隐式格式和隐式EulerEuler格式格式格式格式54 EulerEuler格式格式格式格式 设在节点值设在节点值设在节点值设在节点值y yn n上有一扰动值上有一扰动值上有一扰动值上有一扰动值 n n，它的传播它的传播它的传播它的传播使节点值使节点值使节点值使节点值y yn n+1+1上产生大小为上产生大小为上产生大小为上产生大小为 n n+1+1的扰动值。假的扰动值。假的扰动值。假的扰动值。假设设设设EulerEuler方法的计算过程不再引入新的误差，方法的计算过程不再引入新的误差，方法的计算过程不再引入新的误差，方法的计算过程不再引入新的误差，则扰动值满足：则扰动值满足：则扰
21、动值满足：则扰动值满足：55 扰动值满足原来的差分方程，如果原差扰动值满足原来的差分方程，如果原差扰动值满足原来的差分方程，如果原差扰动值满足原来的差分方程，如果原差分方程的解是不增长的，即有分方程的解是不增长的，即有分方程的解是不增长的，即有分方程的解是不增长的，即有这时就能保证这时就能保证这时就能保证这时就能保证EulerEuler方法的稳定性。方法的稳定性。方法的稳定性。方法的稳定性。 从而需要从而需要从而需要从而需要 EulerEuler格式条件稳定格式条件稳定格式条件稳定格式条件稳定56 隐式隐式隐式隐式EulerEuler方法方法方法方法 由于由于由于由于 00，从而有，从而有，从
22、而有，从而有 与与与与 恒成立。恒成立。恒成立。恒成立。 隐式隐式隐式隐式EulerEuler格式是恒稳定格式是恒稳定格式是恒稳定格式是恒稳定( (无条件稳定无条件稳定无条件稳定无条件稳定) )的的的的57方程组与高阶方程的情况方程组与高阶方程的情况 对方程对方程对方程对方程yy= =f f，将，将，将，将y y、f f理解为向量。理解为向量。理解为向量。理解为向量。 一阶方程组一阶方程组一阶方程组一阶方程组 令令令令x xn n= =x x0 0+ +nhnh，n n=1=1，2 2，以以以以y yn n、z zn n表示表示表示表示节点节点节点节点x xn n上的近似解。上的近似解。上的近
23、似解。上的近似解。58 改进的改进的改进的改进的EulerEuler格式：格式：格式：格式：预报预报预报预报校正校正校正校正59 四阶四阶四阶四阶Runge-KuttaRunge-Kutta格式格式格式格式60高阶微分方程高阶微分方程高阶微分方程高阶微分方程( (或方程组或方程组或方程组或方程组) )的初值问题，归结为的初值问题，归结为的初值问题，归结为的初值问题，归结为一阶方程组求解。一阶方程组求解。一阶方程组求解。一阶方程组求解。 对如下二阶方程对如下二阶方程对如下二阶方程对如下二阶方程 引入引入引入引入z z= =yy，则可化为一阶方程的初值问题，则可化为一阶方程的初值问题，则可化为一阶
24、方程的初值问题，则可化为一阶方程的初值问题61 四阶四阶四阶四阶Runge-KuttaRunge-Kutta格式格式格式格式62边值问题边值问题 考察如下边值问题考察如下边值问题考察如下边值问题考察如下边值问题 取取取取 设将求解区间设将求解区间设将求解区间设将求解区间 a a, ,b b 划分为划分为划分为划分为N N等分，步长等分，步长等分，步长等分，步长h h=(=(b-ab-a)/ )/N N，节点，节点，节点，节点x xn n= =x x0 0+ +nhnh( (n n=0,1,=0,1, ,N N) )，用差商代替导数，可将边值问题离散，用差商代替导数，可将边值问题离散，用差商代替导数，可将边值问题离散，用差商代替导数，可将边值问题离散化，导出如下差分方程组。化，导出如下差分方程组。化，导出如下差分方程组。化，导出如下差分方程组。63 可整理得到关于可整理得到关于可整理得到关于可整理得到关于y yn n的下列方程组的下列方程组的下列方程组的下列方程组64总结总结65谢谢！谢谢！66
