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1、第第2 2节函数的单调性与最值节函数的单调性与最值 考纲展示考纲展示 1.1.理解函数的单调性、最大理解函数的单调性、最大( (小小) )值及其值及其几何意义几何意义; ;2.2.会运用基本初等函数的图象分析函数会运用基本初等函数的图象分析函数的性质的性质. .知识链条完善知识链条完善考点专项突破考点专项突破知识链条完善知识链条完善 把散落的知识连起来把散落的知识连起来知识梳理知识梳理1.1.函数的单调性函数的单调性(1)(1)单调函数的定义单调函数的定义增函数增函数减函数减函数定义定义一般地一般地, ,设函数设函数f(x)f(x)的定义域为的定义域为I:I:如果对于定义域如果对于定义域I I
2、内某个区间内某个区间D D上的任意上的任意两个自变量的值两个自变量的值x x1 1,x,x2 2当当x x1 1xx2 2时时, ,都有都有 , ,那么那么就说函数就说函数 f(x)f(x)在区间在区间D D上是增函数上是增函数当当x x1 1xx2 2时时, ,都有都有 , ,那么那么就说函数就说函数f(x)f(x)在区间在区间D D上是减函上是减函数数f(xf(x1 1)f(x)f(x)f(x2 2) ) 图象图象描述描述自左向右看图象是自左向右看图象是 . .自左向右看图象是自左向右看图象是 . .(2)(2)单调区间的定义单调区间的定义如果函数如果函数y=f(x)y=f(x)在区间在区
3、间D D上是增函数或减函数上是增函数或减函数, ,那么就说函数那么就说函数y=f(x)y=f(x)在这一在这一区间具有区间具有( (严格的严格的) )单调性单调性, , 叫做函数叫做函数y=f(x)y=f(x)的单调区间的单调区间. .上升的上升的下降的下降的区间区间D D 2.2.函数的最值函数的最值前提前提一般地一般地, ,设函数设函数y=f(x)y=f(x)的定义域为的定义域为I,I,如果存在如果存在MMR R条件条件对于任意的对于任意的xI,xI,都有都有 . .存在存在x x0 0I,I,使得使得 . .对于任意的对于任意的xI,xI,都有都有 . .存在存在x x0 0I,I,使得
4、使得 . .结论结论M M是是f(x)f(x)的的 值值M M是是f(x)f(x)的的 值值【重要结论重要结论】1.1.“函数的单调区间函数的单调区间”和和“函数在某区间上单调函数在某区间上单调”意义不同意义不同, ,前者指函数前者指函数具备单调性的具备单调性的“最大最大”的区间的区间, ,后者是前者后者是前者“最大最大”区间的子集区间的子集. .f(x)Mf(x)Mf(xf(x0 0)=M )=M f(x)M f(x)M f(xf(x0 0)=M )=M 最大最大最小最小2.(1)2.(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值, ,当函数在闭区间上
5、单调当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取到时最值一定在端点处取到. .(2)(2)开区间上的开区间上的“单峰单峰”函数一定存在最大值函数一定存在最大值( (最小值最小值).).对点自测对点自测1 1.(.(教材改编题教材改编题) )下列函数中下列函数中, ,在区间在区间(0,+)(0,+)内单调递减的是内单调递减的是( ( ) )A AA A 3 3.(2018.(2018广东省际名校联考广东省际名校联考) )设函数设函数f(x)f(x)在在R R上为增函数上为增函数, ,则下列结论一定正确则下列结论一定正确的是的是( ( ) )D DA A4.4.若函数若函数f(x)=(m-1)x+bf
6、(x)=(m-1)x+b在在R R上是增函数上是增函数, ,则则f(m)f(m)与与f(1)f(1)的大小关系是的大小关系是( ( ) )(A)f(m)f(1)(A)f(m)f(1)(B)f(m)f(1)(B)f(m)0,m-10,所以所以m1,m1,所以所以f(m)f(1).f(m)f(1).故选故选A.A.5.5.下列命题中假命题有下列命题中假命题有.(.(填上所有符合题意的序号填上所有符合题意的序号) )y=f(x)y=f(x)在在1,+)1,+)上是增函数上是增函数, ,则函数的增区间为则函数的增区间为1,+)1,+)函数函数f(x)=logf(x)=log2 2(3(3x x+1)+
7、1)的最小值是的最小值是0 0对于函数对于函数f(x),xD,f(x),xD,若若x x1 1,x,x2 2D,D,且且(x(x1 1-x-x2 2)f(x)f(x1 1)-f(x)-f(x2 2)0,)0,则则f(x)f(x)在在D D上上是增函数是增函数解析解析: :不同单调区间不能用并集不同单调区间不能用并集,假假;1,+);1,+)是是y=f(x)y=f(x)的增区间的子集的增区间的子集,假假; ;当当x-x-时时,f(x)=log,f(x)=log2 2(3(3x x+1)0,+1)0,但不等于但不等于0,0,即无最小值即无最小值,假假; ;只有只有x x1 1,x,x2 2取取D
8、D内任意数都满足内任意数都满足(x(x1 1-x-x2 2)f(x)f(x1 1)-f(x)-f(x2 2)0)0时时,f(x),f(x)在在D D上才是增函数上才是增函数,假假. .答案答案: :考点专项突破考点专项突破 在讲练中理解知识在讲练中理解知识考点一确定函数的单调性考点一确定函数的单调性( (区间区间) )【例例1 1】 (1) (1)(2017(2017全国全国卷卷) )函数函数f(x)=ln(xf(x)=ln(x2 2-2x-8)-2x-8)的单调增区间是的单调增区间是( () )(A)(-,-2)(A)(-,-2)(B)(-,1)(B)(-,1)(C)(1,+) (C)(1,
9、+) (D)(4,+)(D)(4,+)(1)(1)解析解析: :定义域满足定义域满足x x2 2-2x-80,-2x-80,所以所以x4x4或或x-2.x-2.令令y=ln t,y=ln t,且且t=xt=x2 2-2x-8,-2x-8,t=xt=x2 2-2x-8-2x-8在在(4,+)(4,+)上是增函数上是增函数, ,在在(-,-2)(-,-2)上是减函数上是减函数, ,y=ln ty=ln t在在(0,+)(0,+)上单调递增上单调递增, ,所以所以y=f(x)y=f(x)在在(4,+)(4,+)上递增上递增. .故选故选D.D.(1)(1)求函数的单调区间求函数的单调区间, ,应先求
10、定义域应先求定义域, ,在定义域内求单调区间在定义域内求单调区间, ,如例如例1(1).1(1).(2)(2)函数单调性的判断方法有函数单调性的判断方法有定义法定义法;图象法图象法;利用已知函数的单调性利用已知函数的单调性;导数法导数法. .反思归纳反思归纳【跟踪训练跟踪训练1 1】 (1) (1)(2018(2018广州模拟广州模拟) )下列函数下列函数f(x)f(x)中中, ,满足满足“x x1 1,x,x2 2(0,+)(0,+)且且x x1 1xx2 2,(x,(x1 1-x-x2 2) )f(xf(x1 1)-f(x)-f(x2 2)0)0,x(a0,且且a1)a1)在在1,21,2
11、上的最大值与最小值之和为上的最大值与最小值之和为logloga a2+6,2+6,则则a a的值为的值为( () )解析解析: :(2)f(x)=a(2)f(x)=ax x+log+loga ax x在在1,21,2上是单调函数上是单调函数, ,所以所以f(1)+f(2)=logf(1)+f(2)=loga a2+6,2+6,则则a+loga+loga a1+a1+a2 2+log+loga a2=log2=loga a2+6,2+6,即即(a-2)(a+3)=0.(a-2)(a+3)=0.又又a0,a0,所以所以a=2.a=2.故选故选C.C.答案答案: :(2)C(2)C反思归纳反思归纳求
12、函数最值的四种常用方法求函数最值的四种常用方法(1)(1)单调性法单调性法: :先确定函数的单调性先确定函数的单调性, ,再由单调性求最值再由单调性求最值. .(2)(2)图象法图象法: :先作出函数的图象先作出函数的图象, ,再观察其最高点、最低点再观察其最高点、最低点, ,求出最值求出最值. .(3)(3)基本不等式法基本不等式法: :先对解析式变形先对解析式变形, ,使之具备使之具备“一正二定三相等一正二定三相等”的条件的条件后用基本不等式求出最值后用基本不等式求出最值. .(4)(4)导数法导数法: :先求导先求导, ,然后求出在给定区间上的极值然后求出在给定区间上的极值, ,最后结合
13、端点值最后结合端点值, ,求出求出最值最值. .【跟踪训练跟踪训练2 2】 (1) (1)(2018(2018湖南省永州市高三一模湖南省永州市高三一模) )定义定义maxa,b,cmaxa,b,c为为a,b,ca,b,c中的最大值中的最大值, ,设设M=max2M=max2x x,2x-3,6-x,2x-3,6-x,则则M M的最小值是的最小值是( () )(A)2 (A)2 (B)3 (B)3 (C)4 (C)4 (D)6(D)6解析解析: :(1)(1)画出函数画出函数M=max2M=max2x x,2x-3,6-x,2x-3,6-x的图象的图象, ,如图所示如图所示, ,由图可知由图可知
14、, ,函数函数M M在在 A(2,4) A(2,4) 处取得最小值处取得最小值2 22 2=6-2=4,=6-2=4,即即M M的最小值为的最小值为4,4,故选故选C.C.答案答案: :(1)C (1)C 答案答案: :(2)2(2)2考点三函数单调性的应用考点三函数单调性的应用( (多维探究多维探究) )考查角度考查角度1:1:利用单调性比较大小利用单调性比较大小【例例3 3】 已知函数已知函数f(x)f(x)的图象向左平移的图象向左平移1 1个单位后关于个单位后关于y y轴对称轴对称, ,当当x x2 2xx1 111时时, ,f(xf(x2 2)-f(x)-f(x1 1)(x(x2 2-
15、x-x1 1)0)ab(A)cab(B)cba(B)cba(C)acb(C)acb(D)bac(D)bac反思归纳反思归纳比较函数值的大小时比较函数值的大小时, ,若自变量的值不在同一个单调区间内若自变量的值不在同一个单调区间内, ,要利用函数的要利用函数的性质转化到同一个单调区间内性质转化到同一个单调区间内, ,只需比较自变量的大小只需比较自变量的大小, ,根据单调性比较函根据单调性比较函数值大小数值大小. .【跟踪训练跟踪训练3 3】 (2017 (2017天津卷天津卷) )已知奇函数已知奇函数f(x)f(x)在在R R上是增函数上是增函数. .若若a=-fa=-f( (loglog2 2 ) ), ,b=f(logb=f(log2 24.1),c=f(24.1),c=f(20.80.8),),则则a,b,ca,b,c的大小关系为的大小关系为( () )(A)abc(A)abc(B)bac(B)bac(C)cba(C)cba(D)cab(D)ca0,f(x)0,试确定试确定a a的取值范围的取值范围. .点击进入点击进入 应用能力提升应用能力提升
