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1、一、多元复合函数的求导法则一、多元复合函数的求导法则三、隐函数的求导公式三、隐函数的求导公式Ch7-4 Ch7-4 多元函数的多元函数的微分法微分法 一元复合函数一元复合函数求导法则求导法则微分法则微分法则二、多元复合函数的全微分二、多元复合函数的全微分一、多元复合函数的求导法则一、多元复合函数的求导法则链式法则链式法则在点在点 t 可导可导, 则复合函数则复合函数且有链式法则且有链式法则若定理中若定理中 偏导数连续偏导数连续减弱为减弱为偏导数存在偏导数存在, 则定理结论则定理结论不一定成立不一定成立.定理定理 若函数若函数在点在点(u,v)处的偏导连处的偏导连续续, 在在 t 可导，可导，说
2、 明1. 链式法则链式法则推广推广:1) 中间变量多于两个的情形中间变量多于两个的情形. 例如例如,设下面所涉及的函数都可微设下面所涉及的函数都可微 . .2) 中间变量是多元函数的情形中间变量是多元函数的情形. 例如例如,当它们都具有可微条件时当它们都具有可微条件时, , 有有注意注意: 这里这里表示固定表示固定 y 对对 x 求导求导,表示固定表示固定 v 对对 x 求导求导口诀口诀 : 分段用乘分段用乘, 分叉用加分叉用加, 单路全导单路全导, 叉路偏叉路偏导导与与不同不同, 3) 复合函数中自变量与中间变量共存时复合函数中自变量与中间变量共存时. 例如例如解解注意：注意：也可由也可由z
3、=exysin(x+y) ，直接对，直接对x、y求偏导。求偏导。 注意两种方法的区别。注意两种方法的区别。而而z=x2siny。求求 解：解： 例例2 2 解解注意：注意：多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与验证解的问题中经常遇到验证解的问题中经常遇到, ,下列两个例题有助于掌握下列两个例题有助于掌握这方面问题的求导技巧与常用导数符号这方面问题的求导技巧与常用导数符号. .2. 多元复合函数的高阶偏导数多元复合函数的高阶偏导数 通过例题介绍多元复合函数的高阶偏导数通过例题介绍多元复合函数的高阶偏导数解解令令记记同理有同理有于是于是例例6 设设z=f(2x
4、+y)+f (2x y，ysinx)，求，求zxy。解解 zx =2f(2x+y) + f1 2 + f2 ycosxzxy = 2f (2x+y) +2(f11 (1) + f12 sinx)+ f2 cosx+ ycosx(f21 (1) + f22 sinx)= 2f (2x+y) f11+2 f12 sinx+ f2cosx y f21 cosx + y f22 sinxcosx设设z=f (u,v)具有连续的偏导数，则有具有连续的偏导数，则有 二、多元复合函数的全微分二、多元复合函数的全微分由由此此可可见见，不不论论z是是自自变变量量u、v函函数数，或或是是中中间间变变量量u、v的的
5、函函数数，它它的的全全微微分分形形式式是是一一样样的的，都是都是这个性质叫全微分形式的不变性。这个性质叫全微分形式的不变性。 利用这一性质，可求复合函数、隐函数的偏导数。利用这一性质，可求复合函数、隐函数的偏导数。解解小结小结 本部分主要讨论了多元复合函数的求导法则。本部分主要讨论了多元复合函数的求导法则。 本本节节要要求求理理解解多多元元复复合合函函数数的的概概念念；熟熟练练掌掌握握多多元元复复合合函函数数（特特别别是是抽抽象象函函数数）的的一一阶阶、二二阶偏导数的计算。阶偏导数的计算。思考与练习思考与练习1机动 目录 上页 下页 返回 结束 2机动 目录 上页 下页 返回 结束 3第五节
6、目录 上页 下页 返回 结束 隐函数的求导公式隐函数的求导公式1. 一个方程的情形一个方程的情形三、三、 隐函数的求导公式隐函数的求导公式这个定理我们不证。现仅就公式作如下推导。这个定理我们不证。现仅就公式作如下推导。 将方程所确定的函数将方程所确定的函数y=f (x) 代入原方程代入原方程 由由于于Fy 连连续续,且且Fy(x0,y0) 0,所所以以存存在在(x0,y0) 的一个邻域的一个邻域,在这邻域内在这邻域内Fy0 ,于是得于是得得恒等式得恒等式 F(x，f (x)0，解解 令令则则解解令令则则例例2由于由于 F(x，y，f (x ，y)0， 将上式两端分别对将上式两端分别对x和和y求
7、导，应用复合函数求导，应用复合函数求导法则得求导法则得 因为因为Fz连续连续,且且Fz(x0,y0,z0)0 ，所以存在点所以存在点(x0,y0,z0)的一个邻域，在这个邻域内的一个邻域，在这个邻域内Fz0 ,于是得于是得解解 令令则则 例例4 4 设设(u，v) 具有连续的偏导数，证明由方程具有连续的偏导数，证明由方程 (cxaz，cybz)=0 确定的函数确定的函数z=f (x,y) ，满足满足 方程的两端对方程的两端对x 求导有求导有 证明证明 方法一方法一 利用复合函数求导法则利用复合函数求导法则可得可得 方程两端对方程两端对y 求偏导有求偏导有 可得可得 于是有于是有 方法二方法二
8、公式法公式法 记记(cxaz，cybz)=F (x，y，z)，则则Fx=cu，Fy=cv，Fz=aubv 所以所以 方法三方法三 利用全微分形式的不变性利用全微分形式的不变性移项移项 cudx+cvdy=(au+bv)dz所以所以 于是于是 d(cxaz，cybz)=ud（cxaz）+vd(cybz) =u(cdx-adz)+v(cdy-bdz)=0 2. 方程组的情形方程组的情形解解1直接代入公式；直接代入公式；解解2运用公式推导的方法，运用公式推导的方法，将所给方程的两边对将所给方程的两边对 求导并移项求导并移项将所给方程的两边对将所给方程的两边对 求导，用同样方法得求导，用同样方法得注注从中解出从中解出解解运用公式推导的方法，运用公式推导的方法，将所给方程的两边对将所给方程的两边对 x 求导求导例例6小结小结 本节主要讨论了隐函数的求导法则。本节主要讨论了隐函数的求导法则。 本本节节要要求求熟熟练练掌掌握握一一个个方方程程和和方方程程组组确确定定的的隐函数的偏导数的计算。隐函数的偏导数的计算。
