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1、1/20如何理解小波如何理解小波? ?Wavelet（小波）=Wave(波)+letBooklet(Booklet(小册子小册子) =Book() =Book(书书)+let)+let小波：即小区域的波，是一种特殊的、长度有限的、小波：即小区域的波，是一种特殊的、长度有限的、平均值为零的波形。平均值为零的波形。它有两个特点：它有两个特点：一是一是“小小”，即在时域具有紧支集或近似紧支集；，即在时域具有紧支集或近似紧支集；二是正负交替的二是正负交替的“波动性波动性”，也就是直流分量为零。，也就是直流分量为零。2/20如何理解小波如何理解小波? ?Daubechies16Daubechies16阶
2、阶MeyerMeyer3/20小波的优点小波的优点小波变换在时域和频域同时具有良好的局部化特性；小波变换在时域和频域同时具有良好的局部化特性；小波变换可以自适应地调节时频窗口；小波变换可以自适应地调节时频窗口；小波变换对信号奇异点非常敏感，可以用于分析检小波变换对信号奇异点非常敏感，可以用于分析检测突变信号；测突变信号；因而能在信号检测、降噪、特征提取方面发挥重要因而能在信号检测、降噪、特征提取方面发挥重要作用，被誉为信号分析的作用，被誉为信号分析的“显微镜显微镜” 。 4/20小波的应用小波的应用4J.Morlet，地震信号分析。4S.Mallat，二进小波用于图像的边缘检测、图像压缩和重构
3、4Farge，连续小波用于涡流研究4Wickerhauser，小波包用于图像压缩。4Frisch噪声的未知瞬态信号。4Dutilleux语音信号处理4H.Kim时频分析4Beykin正交小波用于算子和微分算子的简化信号处理、图像处理、模式识别、语音识别、量子物理、地震勘探信号处理、图像处理、模式识别、语音识别、量子物理、地震勘探流体力学、电磁场、流体力学、电磁场、CT成象、机器视觉、机械故障诊断、分形成象、机器视觉、机械故障诊断、分形5/20小波的历史发展小波的历史发展4小波变换的概念是由法国从事石油信号处理的工程师J.Morlet在1974年首先提出的。当时未能得到数学家的当时未能得到数学家
4、的认可。认可。41986年著名数学家Y.Meyer偶然构造出一个真正的小波基，并与S.Mallat合作建立了构造小波基的多尺度分析。41992年，比利时女数学家I.Daubechies撰写的小波十讲（Ten Lectures on Wavelets）对小波的普及起了重要的推动作用。41994年, AT&T公司Bell实验室的Wim Swelden提出的提升方案Lifting Scheme，即第二代小波 。6/20小波的历史发展小波的历史发展I.DaubechiesI.DaubechiesS.MallatS.MallatWimWim SweldenSwelden7/20小波分析典型参考书小波分析
5、典型参考书荣获荣获荣获荣获1994199419941994年年年年Leroy PLeroy PLeroy PLeroy PSteeleSteeleSteeleSteele奖。该书印数超奖。该书印数超奖。该书印数超奖。该书印数超过过过过15000150001500015000册，这在学术册，这在学术册，这在学术册，这在学术著作中是极为罕见的。著作中是极为罕见的。著作中是极为罕见的。著作中是极为罕见的。ISBNISBN：7-118-03381-2 7-118-03381-2 作者：作者：DaubechiesDaubechies, ,李建平，杨万年译李建平，杨万年译 8/20小波分析典型参考书小波分
6、析典型参考书MATLAB 6.5MATLAB 6.5辅助小波分析与应用辅助小波分析与应用 出版社出版社: :电子工业出版社 出版日期出版日期: :2003年1月1日 作者作者: :飞思科技产品研发中心 ISBN:ISBN:7505381* 定价定价: :26元 该书是作者总结多年研究小波分析的心得，以MATLAB 6.5中的小波分析工具箱（wavelet toolbox）2.2版为基础，在简要介绍小波分析的基础理论之后，重点说明了小波分析工具箱的详细使用方法，并以信号和图像处理领域为例展示了如何应用小波分析工具箱来解决工程中的实际问题，以达到使读者快速入门小波分析的目的。9/20泛函知识初步泛
7、函知识初步空间空间空间的直观理解就是一种集合，其元素可能是函数、矢量等，而元素之间存在一定的关系或性质。函数空间函数空间所谓函数空间，就是由函数构成的集合，并在集合上赋予了一定的代数结构。距离空间距离空间10/20泛函知识初步泛函知识初步函数空间线性空间线性空间赋范线性空间赋范线性空间Banach空间空间Hilbert空间空间11/20泛函知识初步泛函知识初步基底张成张成span基底基底正交正交(直交直交)标准正交基（规范正交基）标准正交基（规范正交基）双正交基双正交基12/20泛函知识初步泛函知识初步框架框架：框架：frame紧框架：紧框架：compact frame若A=B=1，则此紧框架
8、就退化为规范正交基举例举例13/20泛函知识初步泛函知识初步常用的函数空间14/20傅立叶变换傅立叶变换 傅里叶变换的基本思想是将信号分解成一系列不同频率的连续正弦波的叠加，或者从另外一个角度来说是将信号从时间域转换到频率域。15/20傅立叶变换傅立叶变换从泛函的角度看傅里叶变换：待待处理的信号处理的信号为广义的内积运算为广义的内积运算16/20傅立叶变换傅立叶变换傅里叶变换严重的不足 傅里叶变换时丢掉了时间信息，无法根据傅里叶变换的结果判断一个特定的信号是在什么时候发生的。也就是说，傅里叶变换只是一种纯频域的分析方法，它在频域里的定位是完全准确的（即频域分辨率最高），而在时域无任何定位性（或
9、无分辨能力）17/20连续小波变换连续小波变换容许条件对于理论分析很重要，但对于工程应用不太明显。容许条件对于理论分析很重要，但对于工程应用不太明显。小波母函数的性质：18/20小波母函数小波母函数19/20小波母函数小波母函数举例：给出举例：给出MarrMarr小波在不同尺度和平移因子下的时域和频域波形图：小波在不同尺度和平移因子下的时域和频域波形图：时域波形时域波形频域波形频域波形20/20连续小波变换连续小波变换21/20连续小波变换连续小波变换22/20连续小波变换连续小波变换23/20小波变换与傅立叶比较小波变换与傅立叶比较待待待待处理的信号处理的信号处理的信号处理的信号共轭共轭共轭共轭连续小波定义连续小波定义：傅立叶变换定义傅立叶变换定义：24/20小波变换与傅立叶比较小波变换与傅立叶比较25/20连续小波变换的再生核连续小波变换的再生核尺度和位移的连续变化的小波基函数构成了一组非尺度和位移的连续变化的小波基函数构成了一组非正交的正交的过渡完全基。过渡完全基。过渡完全基。过渡完全基。重建核方程重建核方程再生核定义再生核定义
