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1、 第二章 一、数列与函数的极限一、数列与函数的极限二、无穷小与无穷大二、无穷小与无穷大三、极限运算法则、存在准则、三、极限运算法则、存在准则、 两个重要极限两个重要极限四、无穷小的比较四、无穷小的比较五、函数的连续性定义及性质五、函数的连续性定义及性质第二章第二章机动 目录 上页 下页 返回 结束 极限与连续极限与连续 第二章 一、数列的有关概念一、数列的有关概念二、数列极限的定义二、数列极限的定义三、收敛数列的性质三、收敛数列的性质第一节第一节机动 目录 上页 下页 返回 结束 数列的极限数列的极限第三节 目录 上页 下页 返回 结束 一、数列的有关概念一、数列的有关概念数列：数列：以以N+
2、为定义域的为定义域的f (n)按按f (1), f (2), f (n), 排列的一列数。排列的一列数。记记xn=f(n),简写成简写成xn. xn为数列的为数列的通项通项或或一般项一般项.如如有界数列有界数列: 若存在若存在M0,对任意的对任意的n都满足都满足|xn|M, 则称数列则称数列xn为为有界数列有界数列。同理，可定义下有界、上有界同理，可定义下有界、上有界.第三节 目录 上页 下页 返回 结束 单增数列：单增数列：对数列对数列xn, 满足满足单减数列：单减数列：对数列对数列xn, 满足满足单增数列与单减数列统称为单增数列与单减数列统称为单调数列单调数列。子数列：子数列：将数列将数列
3、xn在保持原有顺序情况下，任取在保持原有顺序情况下，任取 其中无穷多项所构成的新数列，称为其中无穷多项所构成的新数列，称为xn 的的子数列子数列，简称，简称子列子列，一般记为，一般记为数学语言描述:二二 、数列极限的定义、数列极限的定义引例引例. 设有半径为 r 的圆 ,逼近圆面积 S .如图所示 , 可知当 n 无限增大时, 无限逼近 S (刘徽割圆术) , 当 n N 时,用其内接正 n 边形的面积总有刘徽 目录 上页 下页 返回 结束 定义定义: 自变量取正整数的函数称为自变量取正整数的函数称为数列数列,记作或或称为称为通项通项(一般项一般项) .若数列若数列及常数及常数 a 有下列关系
4、有下列关系 :当当 n N 时时, 总有记作记作此时也称数列此时也称数列收敛收敛 , 否则称数列否则称数列发散发散 .几何解释几何解释 :即或则称该数列则称该数列的极限为的极限为 a ,机动 目录 上页 下页 返回 结束 例如例如,趋势不定收 敛发 散机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 已知证明数列的极限为1. 证证: 欲使即只要因此 , 取则当时, 就有故机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 已知证明证证:欲使只要即取则当时, 就有故故也可取也可由N 与 有关, 但不唯一.不一定取最小的 N .说明说明: 取机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3. 设证明等比数列证证:
5、欲使只要即亦即因此 , 取, 则当 n N 时, 就有故的极限为 0 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、收敛数列的性质三、收敛数列的性质1. 收敛数列的极限唯一收敛数列的极限唯一.机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4. 证明数列证明数列是发散的是发散的. 2. 收敛数列一定有界收敛数列一定有界. 反之，有界数列却不一定收敛反之，有界数列却不一定收敛.3. 收敛数列的保号性收敛数列的保号性.若且时, 有4. 收敛数列的任一子数列收敛于同一极限收敛数列的任一子数列收敛于同一极限 .由此性质可知由此性质可知 , 若数列有两个子数列收敛于不同的极若数列有两个子数列收敛于不同的极限限 ,例如， 发散 !则原数列一定发散则原数列一定发散 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明说明: 内容小结内容小结1. 数列极限的 “ N ” 定义及应用2. 收敛数列的性质:唯一性 ; 有界性 ; 保号性;任一子数列收敛于同一极限机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习1. 如何判断极限不存在?方法1. 找一个趋于的子数列;方法2. 找两个收敛于不同极限的子数列.2. 已知, 求时,下述作法是否正确? 说明理由.设由递推式两边取极限得不对不对!此处机动 目录 上页 下页 返回 结束
