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1、固体物理习题固体物理习题 5.1 一维周期场，电子的波函数一维周期场，电子的波函数，电子的波函数为，电子的波函数为应当满足布洛赫定理。应当满足布洛赫定理。若晶格常数为若晶格常数为（1）（2）（3）（ 为某一确定的函数）为某一确定的函数）试求电子在这些状态的波矢。试求电子在这些状态的波矢。解：解： 由式由式可知，在一维周期势场中运动的电子波函数满足可知，在一维周期势场中运动的电子波函数满足由此得由此得（1）于是于是因此得因此得所以所以（2）即即得得所以所以（3）令令得得由上知由上知可知可知所以所以5.2 5.2 电子在周期场中得势能电子在周期场中得势能且且是常数。是常数。 试画出此势能曲线，并求
2、此势能的平均值。试画出此势能曲线，并求此势能的平均值。解：解：Oa2a3axV(x)如图所示，由于势能具有周期性，因此只在一个周期内求平均如图所示，由于势能具有周期性，因此只在一个周期内求平均即可，即可，于是得于是得5.3 用近自由电子模型求解上题，确定晶体的第一及第二个禁带用近自由电子模型求解上题，确定晶体的第一及第二个禁带宽度。宽度。解：解： 在布里渊区边界上，电子的能量出现禁带，禁带宽度的表示在布里渊区边界上，电子的能量出现禁带，禁带宽度的表示式为式为其中其中是周期势场是周期势场V(x)付里叶级数的系数，付里叶级数的系数，求得。求得。第一禁带宽度为第一禁带宽度为该系数可由式该系数可由式第
3、二禁带宽度为第二禁带宽度为5.4 用紧束缚方法导出体心立方晶体用紧束缚方法导出体心立方晶体s态电子的能带态电子的能带并求能带宽度。并求能带宽度。解：解： 用紧束缚方法处理晶格的用紧束缚方法处理晶格的s态电子，当只计及最近邻格点态电子，当只计及最近邻格点的相互作用时，的相互作用时，对体心立方晶格，取参考格点的坐标为对体心立方晶格，取参考格点的坐标为（0，0，0）， 则则8个个最近邻格点的坐标为最近邻格点的坐标为其能带的表示式为其能带的表示式为将上述将上述8组坐标代入能带的表示式，得组坐标代入能带的表示式，得由余弦函数的性质，用观察法即可断定，由余弦函数的性质，用观察法即可断定，当当时，时，能带中
4、的能量取最小值能带中的能量取最小值当当时，时，能量取最大值能量取最大值因而能带的宽度为因而能带的宽度为5.5由由N格原子组成的三维晶体（简单晶格格原子组成的三维晶体（简单晶格),其孤立原子中的其孤立原子中的为正的常数。为正的常数。（1）试写出该晶体的紧束缚近似波函数；）试写出该晶体的紧束缚近似波函数；（2）证明上面写出的紧束缚近似波函数具有布洛赫波函数）证明上面写出的紧束缚近似波函数具有布洛赫波函数（3）对比说明孤立原子的电子和晶体中的电子的波函数及）对比说明孤立原子的电子和晶体中的电子的波函数及电子基态波函数为电子基态波函数为的性质；的性质；能量的特征。能量的特征。解：解： （1）按紧束缚近
5、似，三维晶体电子的波函数为）按紧束缚近似，三维晶体电子的波函数为一维晶体情况下，晶格常数一维晶体情况下，晶格常数，所以所以又又得得（2） 按正交化平面波方法，三维晶体电子的波函数为按正交化平面波方法，三维晶体电子的波函数为对于一维晶体情况下，晶格常数对于一维晶体情况下，晶格常数，此处此处若只取一项，则若只取一项，则5.6 一矩形晶格，原胞边长一矩形晶格，原胞边长 ， （1）画出倒格子图；）画出倒格子图；（2）以广延图和简约图两种形式，画出第一布里渊区和）以广延图和简约图两种形式，画出第一布里渊区和第二布里渊区；第二布里渊区；（3）画出自由电子的费密面。）画出自由电子的费密面。(设每个原胞有两个
6、电子。）设每个原胞有两个电子。）解：解：倒格子基矢为倒格子基矢为(1) 因为因为以以如图如图6-11所示所示,图中图中“。”代表倒格点。由图可见，代表倒格点。由图可见，矩形晶格的倒格子也是矩形晶格的倒格子也是矩形格子。矩形格子。为基矢构成的倒格子为基矢构成的倒格子第一区第一区第二区第二区（2）其结果如图所示。其结果如图所示。、次近邻、次近邻 的连线的中垂线可围成第一、第二布里渊区的连线的中垂线可围成第一、第二布里渊区(如上图如上图)，这，这是布里渊区的广延图。是布里渊区的广延图。取任意倒格点取任意倒格点o作为原点，由原点至其最近邻作为原点，由原点至其最近邻如采用简约形式，将第二区移入第一区，如
7、采用简约形式，将第二区移入第一区，（3）简约布里渊区的面积简约布里渊区的面积 便有便有2N个状态。个状态。而状态密度而状态密度当每个原胞有两个电子时，晶体电子的总数为当每个原胞有两个电子时，晶体电子的总数为 设晶体共有设晶体共有N个原胞，计入自旋后，在简约布里渊区中个原胞，计入自旋后，在简约布里渊区中所以所以这就是费米圆的这就是费米圆的半径，据此做出半径，据此做出费米圆如图所示。费米圆如图所示。5.7 有一平面正六角形晶格，六角形两个平行对边的间距为有一平面正六角形晶格，六角形两个平行对边的间距为（见图），试画出此晶体的第一、第二、第三布里渊区。若（见图），试画出此晶体的第一、第二、第三布里渊
8、区。若每个原胞有每个原胞有2个电子试画出其费米圆周。个电子试画出其费米圆周。解：解： 如图所示，平面六角晶格如图所示，平面六角晶格取六角形的中心为坐标原点，取六角形的中心为坐标原点，原胞也如图中画出。原胞也如图中画出。每个原胞中包含有两个原子。每个原胞中包含有两个原子。是一个复式格子。是一个复式格子。基矢基矢可由下式给出可由下式给出，可得到倒格基矢，可得到倒格基矢在二维晶格下，取在二维晶格下，取其中其中由由给出。给出。所以所以根据倒格基矢就可以根据倒格基矢就可以画出个倒格点，从而画出个倒格点，从而画出布里渊区如图。画出布里渊区如图。当每个原子有当每个原子有2个电子个电子时，则二维晶格的价时，则
9、二维晶格的价电子面密度为电子面密度为可算出费米圆的半径可算出费米圆的半径由此可以画出自由电子的由此可以画出自由电子的费米圆，如图中的所示。费米圆，如图中的所示。考虑周期势场的微扰，对考虑周期势场的微扰，对自由电子的费米圆作两点自由电子的费米圆作两点修正：（修正：（1）在布里渊区）在布里渊区的边界线处发生分裂。的边界线处发生分裂。（2）费米圆与布里渊区）费米圆与布里渊区边界线间的交角进行钝化。边界线间的交角进行钝化。5.8 平面正三角形晶格（见图），相邻原子间距为平面正三角形晶格（见图），相邻原子间距为a。试求。试求（1）正格矢和倒格矢；）正格矢和倒格矢；（2）画出第一布里渊区，并求此区域的内接
10、圆的半径。）画出第一布里渊区，并求此区域的内接圆的半径。解：解：（1）正格原胞的基矢正格原胞的基矢如图所示取为如图所示取为其中其中 和和 是相互垂直的是相互垂直的单位矢量。单位矢量。取单位矢量取单位矢量 垂直于垂直于 和和 ，则，则 和和 构成的体积构成的体积倒格原胞的基矢为倒格原胞的基矢为（2） 选定一倒格点为原点，原点的最近邻倒格矢有选定一倒格点为原点，原点的最近邻倒格矢有6个，它们个，它们是是这这6个倒格矢的中垂线围个倒格矢的中垂线围成的区间构成了两部分，成的区间构成了两部分，以原点为对称心的正六边以原点为对称心的正六边形是第一布里渊区。形是第一布里渊区。第一布里渊区内切圆的半第一布里渊
11、区内切圆的半径为径为5.9 证明：体心立方晶格第一布里渊区的界面对应于证明：体心立方晶格第一布里渊区的界面对应于晶面的布拉格反射。晶面的布拉格反射。证明：证明：对于一级反射，对于一级反射，n=1,则有则有(1) 式中，式中，d为反射晶面族的面间距，为反射晶面族的面间距， 为布拉格角。为布拉格角。在第一布里渊区边界面上，必有在第一布里渊区边界面上，必有 根据布拉格衍射公式根据布拉格衍射公式此处此处为被界面垂直平分的倒格矢，为被界面垂直平分的倒格矢，(2) 令令(1)(2)两式右边相等，便得两式右边相等，便得(3) 式中式中a为立方晶系的晶格常数，为立方晶系的晶格常数，h,k,l为晶面指数。为晶面
12、指数。 对于体心立方结构，其倒格子原胞是边长为对于体心立方结构，其倒格子原胞是边长为2/a的面心立方的面心立方格子，布里渊区则是从坐标原点到最近邻的格子，布里渊区则是从坐标原点到最近邻的12个面心的倒个面心的倒格矢的中垂面围成的十二面体，这些倒格矢的长度格矢的中垂面围成的十二面体，这些倒格矢的长度由此得由此得正好等于面对角线长度的一半，正好等于面对角线长度的一半， 即即 于是从于是从(3)式给出式给出(4) 根据衍射理论，对于体心立方格子，只有晶面指数之和为偶数根据衍射理论，对于体心立方格子，只有晶面指数之和为偶数的晶面族才能产生的晶面族才能产生1级反射，因此从级反射，因此从(3)(4)两式容
13、易看出，与布两式容易看出，与布里渊区边界面相对应的反射晶面族的面指数为里渊区边界面相对应的反射晶面族的面指数为 .解：解：(1) 式中式中和和分别为参考原子及其最近邻的位矢。分别为参考原子及其最近邻的位矢。 在面心立方格子中，有在面心立方格子中，有12个最近邻。个最近邻。=0,12个最近邻的坐标分别是个最近邻的坐标分别是5.10 用紧束缚方法处理面心立方晶格的用紧束缚方法处理面心立方晶格的s态电子，若只计最态电子，若只计最近邻的相互作用，试导出其能带表达式。近邻的相互作用，试导出其能带表达式。原点时，原点时，晶体中晶体中s态电子的能量表示为态电子的能量表示为若只计及最近邻的相互作用，按照紧束缚
14、近似所得的结果，若只计及最近邻的相互作用，按照紧束缚近似所得的结果，当取参考原子为坐标当取参考原子为坐标对于对于s态电子，原子与各个最近邻的交迭积分皆相等，态电子，原子与各个最近邻的交迭积分皆相等，则从，则从(1)式得式得 令令5.11 证明：在三维晶格中，电子的能量在证明：在三维晶格中，电子的能量在空间中具有空间中具有, ,式中式中为任一倒格矢。为任一倒格矢。周期性：周期性：证明：证明：(1) 波函数波函数 具有如下性质：具有如下性质：(2) 代表平移算符。代表平移算符。 显然，平面波显然，平面波可写成可写成按照布洛赫定理，在周期性势场中运动的电子的波函数按照布洛赫定理，在周期性势场中运动的
15、电子的波函数满足满足(2)式，式， 为任意倒格矢。为任意倒格矢。 因此，电子波函数应当是所有因此，电子波函数应当是所有 的线性叠加，即的线性叠加，即 (3) 其中其中 。 对比对比(1)(3)两式可知两式可知 (4) 容易看出，容易看出， 具有晶格的周期性。具有晶格的周期性。 由由(4)式还可得到式还可得到 其中其中 也为任一倒格矢。也为任一倒格矢。 令令 ， 则上式可以写成则上式可以写成(5) 由由(1)(5)式，有式，有(6) 即电子波函数在即电子波函数在空间具有平移对称性。空间具有平移对称性。由薛定谔方程由薛定谔方程 结合结合(6)式，立即得到式，立即得到5.12 证明在任何能带中，波矢
16、为证明在任何能带中，波矢为k和波矢为和波矢为k的状态有相同的状态有相同的能量，即的能量，即这里这里 代表简约布里渊区中第代表简约布里渊区中第n个能带的态能量。个能带的态能量。 证明：证明：表示，电子波函数用表示，电子波函数用 表示，表示， 则薛定谔方程为则薛定谔方程为从布洛赫定理知道，波函数从布洛赫定理知道，波函数若周期性势场用若周期性势场用代入薛定谔方程，并由代入薛定谔方程，并由便可得到决定函数便可得到决定函数 的方程：的方程： (1) 取取(1)式的共轭复式，得式的共轭复式，得(2) 若在若在(1)式中用式中用 代替代替 ，则有，则有(3) 比较比较(2)(3)式可知，除了满足式可知，除了
17、满足 之外，之外， 显然有显然有可见，在任一能带可见，在任一能带 中，波矢为中，波矢为 相同的能量。相同的能量。和和 的两状态具有的两状态具有5.13 证明：二维正方格子第一布里渊区的角隅处的一个自由证明：二维正方格子第一布里渊区的角隅处的一个自由电子的动能，比该区侧面中点处的电子动能大倍。电子的动能，比该区侧面中点处的电子动能大倍。 对三维简单立方晶格，其相应的倍数是多少？对三维简单立方晶格，其相应的倍数是多少？证明：证明：角隅处角隅处C和侧边中点处和侧边中点处A的的波矢分别为波矢分别为ACo空间空间 中一个边长为中一个边长为1/a的正方形的正方形(如图如图 )。 对边长为对边长为a的二维正
18、方格子的二维正方格子, 其第一布里渊区是其第一布里渊区是相应的自由电子能量为相应的自由电子能量为可见，可见， 对于三维简单立方对于三维简单立方晶格，若晶格常数为晶格，若晶格常数为a，第一布里渊区是一个边第一布里渊区是一个边长为长为1/a的立方体的立方体(如图如图)，。ACo此时此时相应的自由电子能量为相应的自由电子能量为可见，可见， 即对简单立方晶格，第一布里渊区角隅即对简单立方晶格，第一布里渊区角隅 处一个自由电子的能量等于侧面中点处能量的处一个自由电子的能量等于侧面中点处能量的3倍。倍。5.14 应用紧束缚近似证明，正交晶系的能带可表示为应用紧束缚近似证明，正交晶系的能带可表示为式中，式中
19、， 对已知晶体可视为常数；对已知晶体可视为常数； 是晶格常数。是晶格常数。证明：证明： (1) 式中式中 分别代表参考原子及其最近邻原子的位矢，分别代表参考原子及其最近邻原子的位矢， 是位矢为是位矢为 两原子两原子s态电子波函数的交迭积分。态电子波函数的交迭积分。 在紧束缚近似条件下，在紧束缚近似条件下，s态布洛赫电子的能带可表示为态布洛赫电子的能带可表示为取取 ，即以参考原子为坐标原点，即以参考原子为坐标原点，其六个最近邻的坐标分别为其六个最近邻的坐标分别为代入代入(1)式，得式，得(2) 注意到注意到 和和 两原子与原点距离相等，两原子与原点距离相等， 应有应有 则对于简单正交晶系，则对于
20、简单正交晶系， 同理同理 代入代入(2)式，并应用尤拉公式进行化简即得式，并应用尤拉公式进行化简即得或统一表示为或统一表示为5.15 设电子能谱仍和自由电子一样，试采用简约能区图形式，设电子能谱仍和自由电子一样，试采用简约能区图形式，粗略画出简单立方晶格第一布里渊区及其六个近邻倒格点区域粗略画出简单立方晶格第一布里渊区及其六个近邻倒格点区域内沿内沿 方向的电子的方向的电子的 图。图。 解：解：空间中一个边长为空间中一个边长为1/a的的简单立方格子，如图所示。简单立方格子，如图所示。6个最近邻的倒格点，分别位于各邻近区域内，它们对应的倒格个最近邻的倒格点，分别位于各邻近区域内，它们对应的倒格矢分
21、别为矢分别为简单立方晶格的第一布里渊区是简单立方晶格的第一布里渊区是取立方体中心的倒格点为原点，它有取立方体中心的倒格点为原点，它有在简约能区图式表示法中，在简约能区图式表示法中，所有的电子波矢所有的电子波矢都要变都要变 换到第一布里渊区内。换到第一布里渊区内。 为简为简 单计，本题的计算只取原点单计，本题的计算只取原点o和界面上的点和界面上的点A,B。 这样，这样， 设设 可取可取 方向上所有方向上所有可能的值，其对应的能量为可能的值，其对应的能量为于是，第一区及其邻近区域内沿于是，第一区及其邻近区域内沿 方向的方向的Ek图可分别求出图可分别求出 如下：如下： (1)第一布里渊区第一布里渊区
22、据此可作略图，如图中的据此可作略图，如图中的 曲线。曲线。 图中图中 取作能量的单位。取作能量的单位。(2)各邻近区域各邻近区域当当 时，则时，则 作略图如曲线作略图如曲线 。 当当 时，则时，则 作略图如曲线作略图如曲线 。 当当 时，则时，则 作略图如曲线作略图如曲线 。 当当 和和 时，时， 所得曲线所得曲线 与曲线与曲线 重合。重合。 当当 时，有时，有 作略图如曲线作略图如曲线 。 5.16 设有晶格常数为设有晶格常数为a、2a、3a的简单正交晶格，试求：的简单正交晶格，试求：（1）简约布里渊区的图形及体积；）简约布里渊区的图形及体积；（2）在自由电子近似下，费密面与简约布里渊区的各
23、边）在自由电子近似下，费密面与简约布里渊区的各边界面相切时所对应的价电子数与原子数之比；界面相切时所对应的价电子数与原子数之比；（3）若该晶体的费密面正好是与简约布里渊区的各边界面）若该晶体的费密面正好是与简约布里渊区的各边界面相切的椭球面，求该晶体的价电子数与原子数之比。相切的椭球面，求该晶体的价电子数与原子数之比。解：解：（1）令简单正交晶格的三个晶轴分别为）令简单正交晶格的三个晶轴分别为X、Y、Z轴，则轴，则它的基矢可写成它的基矢可写成可求出它的倒格子基矢可求出它的倒格子基矢由此倒格矢可写成由此倒格矢可写成而布里渊区边界面由式而布里渊区边界面由式给出给出即即取最短的几个倒格矢，得到的相应
24、边界面可列表如下：取最短的几个倒格矢，得到的相应边界面可列表如下：边界面方程边界面方程边界面方程边界面方程从上面的平面方程中，可以看到离原点最近的几个面是上表中从上面的平面方程中，可以看到离原点最近的几个面是上表中列出的最前面三个方程所表示的六个平面。列出的最前面三个方程所表示的六个平面。 这六个平面围成这六个平面围成一个长方体如图所示，这就是该晶格的第一布里渊区，一个长方体如图所示，这就是该晶格的第一布里渊区，它的它的体积是体积是（2）在自由电子近似下，费米面为球面。）在自由电子近似下，费米面为球面。当费米面与第一布里渊区的当费米面与第一布里渊区的三对平面相切时的半径分别为三对平面相切时的半
25、径分别为（1）由由式可得各情况下的相应电子密度式可得各情况下的相应电子密度每个原胞的体积每个原胞的体积根据以上几式可求出各个原胞内所含的自由电子数根据以上几式可求出各个原胞内所含的自由电子数（2）因为简单正交格子是简单格子，所以每个原胞中只包含一个因为简单正交格子是简单格子，所以每个原胞中只包含一个原子，因而上面算得的原子，因而上面算得的即分别是三种情况下的即分别是三种情况下的自由电子数与原子数之比。自由电子数与原子数之比。（3） 如果费米面是与简约布里渊区的各个边界面相切的椭球如果费米面是与简约布里渊区的各个边界面相切的椭球面，则它的费米面方程可写成面，则它的费米面方程可写成这里的这里的分别
26、是椭球的三个主轴长度，由（分别是椭球的三个主轴长度，由（2）给出。）给出。椭球椭球中可以有中可以有个轨道状态。个轨道状态。考虑自旋，则在椭球费米面内可容纳的电子数为考虑自旋，则在椭球费米面内可容纳的电子数为因此晶体的电子密度为因此晶体的电子密度为（3）每个原胞所含的电子数即为每个原胞所含的电子数即为因为简单正交格子是简单格子，每个原胞只含一个原子，所以因为简单正交格子是简单格子，每个原胞只含一个原子，所以也即是自由电子数与原子数之比。也即是自由电子数与原子数之比。为了得到为了得到值，必须值，必须知道椭球的体积知道椭球的体积 。 为此。令为此。令（5）由（由（3）、（）、（5）两式可知）两式可知
27、（4）即变成一个半径为即变成一个半径为r的球面方程，它的体积为的球面方程，它的体积为在作（在作（5）式的变换时，相对应的体积变换关系为）式的变换时，相对应的体积变换关系为所以所以把上式代入（把上式代入（4）式，并利用（）式，并利用（1）、（）、（2）式，即可得晶体中）式，即可得晶体中自由电子数与原子数之比自由电子数与原子数之比5.17 体心立方晶格，原子总数为体心立方晶格，原子总数为N 。假设电子等能面为球面，。假设电子等能面为球面，试求：当费密面正好与第一布里渊区的界面相切时，第一布里试求：当费密面正好与第一布里渊区的界面相切时，第一布里渊区实际填充的电子数。渊区实际填充的电子数。解：解：因
28、此，在第一布里渊区内实际填充的电子数应等于同布里渊区的因此，在第一布里渊区内实际填充的电子数应等于同布里渊区的边界面相切的费米球内所容纳的电子数。边界面相切的费米球内所容纳的电子数。设体心立方的晶格常数为设体心立方的晶格常数为a，则其倒格子是边长为，则其倒格子是边长为2/a的面心立的面心立量相当于等能面和布里渊区的边界面相切处的能量。量相当于等能面和布里渊区的边界面相切处的能量。在电子等能面是球面的情况下，第一布里渊区内的最高能在电子等能面是球面的情况下，第一布里渊区内的最高能相切的费米球的半径相切的费米球的半径R将等于布里渊区中心到最近邻面心的距离将等于布里渊区中心到最近邻面心的距离方格子，方格子， 第一布里渊区是一个十二面体，同布里渊区的边界面第一布里渊区是一个十二面体，同布里渊区的边界面之半，即等于面心立方格子的面对角线的之半，即等于面心立方格子的面对角线的1/4，因而因而 另一方面，在体心立方晶格中，每个晶胞包含两个原子，另一方面，在体心立方晶格中，每个晶胞包含两个原子， 每个原子平均占有体积每个原子平均占有体积 ， 包含包含N个原子的晶体的总体积个原子的晶体的总体积因为因为 空间中状态密度为空间中状态密度为2V， 那么，费米球内容纳的电子数那么，费米球内容纳的电子数
