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1、第八章第八章 单因素方差分析单因素方差分析单因素方差分析 最新引言、单因素方差分析的概念引言、单因素方差分析的概念第八章第八章第八章第八章 单因素方差分析单因素方差分析单因素方差分析单因素方差分析 前前面面我我们们学学习习了了单单样样本本和和双双样样本本的的显显著著性性检检验验方方法法。在在科研活动中，有很多情况是要检验的不止两个样本，比如：科研活动中，有很多情况是要检验的不止两个样本，比如：例例8.1 某某学学者者培培育育了了一一个个小小麦麦新新品品种种，为为了了掌掌握握该该新新品品种种与与现现有有其其他他4个个品品种种的的株株高高之之间间是是否否有有显显著著差差异异，做做了了5个个品品种种
2、的比较试验，结果见表的比较试验，结果见表8-1，问，问5个小麦品种间是否有差异？个小麦品种间是否有差异？正确的检验结果正确的检验结果是差异显著。是差异显著。假如我们用一对一的假如我们用一对一的 t 检验检验， 共需检验共需检验 对对 。1025=C 假设每一对检验接受零假设的概率都是假设每一对检验接受零假设的概率都是1-=0.95，而且，而且这些检验都是独立的，这些检验都是独立的， 那么那么10对接受的概率（对接受的概率（0.95)10=0.60， =1-0.60=0.40，显然，犯显然，犯型错误的概率明显增加。型错误的概率明显增加。 那么，如何解决这类问题的检验呢？最好的方法就是那么，如何解
3、决这类问题的检验呢？最好的方法就是今天所讲的今天所讲的方差分析方差分析。 R. A. Fisher（1928）创创造造出出方方差差分分析析方方法法（analysis variance，ANOVA），也也就就是是前前面面我我们们所所学学的的F检检验验。方方差差分分析析为为一一类类特特定定情情况况下下的的统统计计假假设设检检验验，它它是是两两样样本本平平均均数数差差异异显显著著性性检检验验的的一一种种延延伸伸。对对于于一一个个因因素素不不同同处处理理间间的的F检验，我们称作单因素方差分析检验，我们称作单因素方差分析(One-way ANOVA)。方差分析与方差分析与t检验的区别：检验的区别： t检
4、验检验判断两组数据判断两组数据平均数间的差异显著性；方差分析平均数间的差异显著性；方差分析可同时可同时判断多组数据判断多组数据平均数间的差异显著性。平均数间的差异显著性。单因素方差分析 最新 在一个多处理试验中，可以得出一系列不同的观测值。造成观测值不同的原因是多方面的，有的是处理不同引起的，处理效应或条件变异，有的是试验过程中偶然性因素的干扰和测量误差所致，既试验误差。方差分析的基本思想是将测量数据的总变异按照变异原因不同分解为处理效应和试验误差，并作出其数量估计。 通过方差比较以确定各种原因在总变异中所占的重要程度，即用处理效应和试验误差在一定意义下进行比较，如二者相差不大，说明试验处理对
5、指标影响不大，如二者相差较大，处理效应比试验误差大得多，说明试验处理影响是很大的，不可忽视。从而作为统计推断。方差分析的基本原理单因素方差分析 最新单因素方差分析 最新（一）平方和的分解（一）平方和的分解 第八章第八章第八章第八章 单因素方差分析单因素方差分析单因素方差分析单因素方差分析一、平方和的分解与自由度的分解一、平方和的分解与自由度的分解( (i=1, ,2, ,3, ,，a) ) “.”表示对一个下标表示对一个下标的和的和 可验证如下可验证如下3 3定理：定理：这就是平方和的可分割性，即：这就是平方和的可分割性，即：总变异平方和总变异平方和=误差变异平方和误差变异平方和+处理变异平方
6、和处理变异平方和 用用SST表示总平方和表示总平方和: 用用SSA表示处理平方和：表示处理平方和： 用用SSe表示误差平方和：表示误差平方和： 单因素方差分析 最新（二）自由度的分解（二）自由度的分解 第八章第八章第八章第八章 单因素方差分析单因素方差分析单因素方差分析单因素方差分析一、平方和的分解与自由度的分解一、平方和的分解与自由度的分解如平方和的最后分割公式：如平方和的最后分割公式： 因为在计算平方和时，资料中的全部数据受到一个条因为在计算平方和时，资料中的全部数据受到一个条件限制，即件限制，即 ，所以总自由度应等于数据，所以总自由度应等于数据 总个数减去总个数减去1，即：，即： 对对于
7、于样样本本间间的的自自由由dfA而而言言，由由于于用用 计计算算样样本本间间平平方方和和时时， 也也受受到到一一个个条条件件限限制制，即即 ，所所以以样本间的自由度为样本总数减去样本间的自由度为样本总数减去1，即：，即： 。 对对于于样样本本内内的的自自由由度度dfe而而言言，由由于于在在计计算算样样本本内内平平方方和和时时，要要受受到到a个个条条件件限限制制，即即： ，所所以以样本内的自由度就等于数据总个数减去样本总数，即：样本内的自由度就等于数据总个数减去样本总数，即： 。 那么，总自由度的分割为：那么，总自由度的分割为： 为了估计为了估计2，用用SSe除以相应的自由度得误差均方除以相应的
8、自由度得误差均方MSe： 用用SSA除以相应的自由度得处理均方除以相应的自由度得处理均方MSA： 单因素方差分析 最新第八章第八章第八章第八章 单因素方差分析单因素方差分析单因素方差分析单因素方差分析二、效应模型及其均方期望二、效应模型及其均方期望（一）固定效应模型与随机效应模型的概念（一）固定效应模型与随机效应模型的概念 对对于于单单因因素素方方差差分分析析而而言言，常常用用如如下下线线性性统统计计模模型型（linear statistical model）描述每一观测值：）描述每一观测值： 式中：式中：xij第第i处理（水平）下的第处理（水平）下的第j次观测值；次观测值； 所有观测值的总平
9、均数；所有观测值的总平均数； i第第i次处理效应；次处理效应； ij随机误差成分。随机误差成分。 方差分析的目的就是要检验处理效应的有无。要求模方差分析的目的就是要检验处理效应的有无。要求模型中的随机误差成分型中的随机误差成分ij服从正态分布服从正态分布N（0，2）的独立随）的独立随机变量，并要求各处理的方差机变量，并要求各处理的方差2相等。相等。 上上述述模模型型中中，包包括括两两类类不不同同的的处处理理效效应应：固固定定效效应应（fixed effect）和和随随机机效效应应（random effect）。固固定定效效应应是是由由固固定定因因素素（fixed factor）所所引引起起的的
10、效效应应，随随机机效效应应是是由由随随机机因因素素（random factor）所所引引起起的的效效应应。处处理理固固定定因因素素所所用用的的模模型型称称为为固固定定效效应应模模型型（fixed effect model），处处理理随随机机因因素素所所用用的的模模型型称称为为随随机机效效应应模模型型（random effect model）。那那么么，什么属固定因素？什么属随机因素？什么属固定因素？什么属随机因素？ 一一言言以以蔽蔽之之，不不同同属属性性的的处处理理或或同同一一属属性性不不同同量量级级的的处处理理属属固固定定因因素素；而而同同一一属属性性无无不不同同量量级级之之分分的的组组别别
11、属属随随机机因因素素。固固定定因因素素如如：几几个个作作物物品品种种、几几种种不不同同治治疗疗方方案案、几几种种不不同同化化学学药药物物，几几种种不不同同的的实实验验温温度度、几几种种不不同同的的实实验验浓浓度度等；随机因素如：动物的若干窝组、农家肥的若干分组等。等；随机因素如：动物的若干窝组、农家肥的若干分组等。 为什么要区分固定因素和随机因素呢？这是由于固定因为什么要区分固定因素和随机因素呢？这是由于固定因素和随机因素方差分析的效应模型及其均方期望不同。素和随机因素方差分析的效应模型及其均方期望不同。 单因素方差分析 最新第八章第八章第八章第八章 单因素方差分析单因素方差分析单因素方差分析
12、单因素方差分析（二）效应模型及其均方期望（二）效应模型及其均方期望 二、效应模型及其均方期望二、效应模型及其均方期望效应模型：效应模型： 如上所述，对于所有观测值都可用下述线性模型描述：如上所述，对于所有观测值都可用下述线性模型描述： 然而，然而，对于固定效应模型而言对于固定效应模型而言，只有一个随机变量只有一个随机变量ij ，处理平均数与总平均数的离差处理平均数与总平均数的离差i是个常量是个常量。因而：。因而： 而而对于随机效应模型而言对于随机效应模型而言，有两个随机变量有两个随机变量i和和ij，处理，处理平均数与总平均数的离差平均数与总平均数的离差i不再是个常量不再是个常量（因重复来自于无
13、（因重复来自于无限的总体，总体在变，限的总体，总体在变， i也在变），而是一个独立随机变量也在变），而是一个独立随机变量。如果如果i具有具有方差方差2 2并且独立于并且独立于ij ，那么观测值的方差为：，那么观测值的方差为：var(xij)= 2 + 2 方差方差2和和2称为方差分量（称为方差分量（variance component）。在）。在这个模型中，要求这个模型中，要求ij为为NID(0, 2 )变量，变量， i为为NID(0, 2 ) 变变量，量，NID表示独立正态分布表示独立正态分布。 单因素方差分析 最新第八章第八章第八章第八章 单因素方差分析单因素方差分析单因素方差分析单因素方
14、差分析二、效应模型及其均方期望二、效应模型及其均方期望（二）效应模型及其均方期望（二）效应模型及其均方期望 均方期望：均方期望： 对于固定效应模型而言对于固定效应模型而言，可以证明，可以证明MSe是是2的无偏估计的无偏估计量。推导如下：量。推导如下： 用类似方法可求得：用类似方法可求得： 对于固定效应模型零假设对于固定效应模型零假设H0：可以看出，只有当可以看出，只有当说明各处理平均数间差异不显著。说明各处理平均数间差异不显著。 对对于于随随机机效效应应模模型型而而言言，处处理理平平均均数数与与总总平平均均数数的的离离差差i不不再再是是一一个个常常量量，而而是是服服从从N（0，2 ）的的随随机
15、机变变量量。因因而而，尽尽管管 ，但但 ，而而不不是是固固定定效效应应的的 。因因此此，对对于于随随机机效效应应模模型型，只只有有当当 ， ，即即 ，说明各处理平均数间差异不显著。说明各处理平均数间差异不显著。 从上面分析可以看出，由于随机模型和固定模型在从上面分析可以看出，由于随机模型和固定模型在设计设计思想和统计推断上有明显不同思想和统计推断上有明显不同，因此进行方差分析时的公式，因此进行方差分析时的公式推导也有所不同，推导也有所不同，所推导的平方和及自由度的分解公式没有所推导的平方和及自由度的分解公式没有区别区别，但，但在进行统计推断时假设检验构成的统计数是不同的在进行统计推断时假设检验
16、构成的统计数是不同的。另外，模型分析的侧重点也不完全相同，方差期望值也不一另外，模型分析的侧重点也不完全相同，方差期望值也不一佯，佯，固定模型主要侧重于效应值的估计和比较，而随机模型固定模型主要侧重于效应值的估计和比较，而随机模型则侧重效应方差的估计和检验则侧重效应方差的估计和检验。因此，在进行分析及试验设。因此，在进行分析及试验设计之前就要明确关于模型的基本假设。计之前就要明确关于模型的基本假设。对于单因素方差分析对于单因素方差分析来说，两种模型无多大区别。来说，两种模型无多大区别。 单因素方差分析 最新第八章第八章第八章第八章 单因素方差分析单因素方差分析单因素方差分析单因素方差分析（一）
17、方差分析的检验程序（一）方差分析的检验程序 三、单因素方差分析的检验及例题验算三、单因素方差分析的检验及例题验算1 1、正规检验程序、正规检验程序 方差分析检验方差分析检验 （1） 假设假设 固定效应模型：固定效应模型： 随机效应模型：随机效应模型： （2）计算统计量；）计算统计量； （3）判断假设判断假设 固定模型：固定模型： 当当F0.05，接受，接受H0、拒绝、拒绝 ； 当当FF0.05，P0.05，拒绝，拒绝H0、接受、接受 。 随机模型：随机模型： 当当F0.05，接受，接受H0、拒绝、拒绝 ； 当当FF0.05，P0.05，拒绝，拒绝H0、接受、接受 。 、若拒绝若拒绝H0时进行平
18、均数成对检验时进行平均数成对检验 方差齐性检验方差齐性检验 2、单因素方差分析的、单因素方差分析的实战检验程序实战检验程序 （1） 零假设：零假设：假设样本间平均数差异不显著；假设样本间平均数差异不显著； （2） 方差齐性检验方差齐性检验 （3） 计算统计量计算统计量 （4） 判断假设判断假设 当当F0.05，接受假设；，接受假设；当当FF0.05，P F4,20,0.05=2.87 F4,20,0.01=4.43，拒绝假设。，拒绝假设。24147.32总和总和0.782025.58误差误差42.23*32.944131.74处理处理F均方均方自由度自由度平方和平方和变差来源变差来源单因素方差
19、分析 最新第八章第八章第八章第八章 单因素方差分析单因素方差分析单因素方差分析单因素方差分析三、单因素方差分析的检验及例题验算三、单因素方差分析的检验及例题验算（二）例题验算（二）例题验算 例例8.2 随随机机选选取取4窝窝动动物物，每每窝窝中中均均有有4只只幼幼仔仔，问问不不同同窝窝别别动物出生重是否存在差异？动物出生重是否存在差异？ 解：假设不同窝别解：假设不同窝别动物出生重没有差异。动物出生重没有差异。每个观测值减去每个观测值减去30SST=185.36-7.84=177.52SSA=(265.66/4)-7.84=58.575SSe=177.52-58.575=118.945变差来源变差来源平方和平方和自由度自由度均方均方F处理处理58.575319.5251.97误差误差118.945129.912总和总和177.5215判断：判断：F=1.97 3 ），）， K2的抽样分布非常接近于的抽样分布非常接近于a-1自由度的自由度的x2分布。分布。方差齐性检验的程序：方差齐性检验的程序：1、假设：、假设：2、计算统计量、计算统计量3、判断：、判断：拒绝拒绝H0单因素方差分析 最新
