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1、第第1 1讲导数的概念及运算数的概念及运算知 识 梳 理(2)几何意义：函数f(x)在点x0处的导数f(x0)的几何意义是在曲线yf(x)上点_处的_.相应地，切线方程为_.2.函数yf(x)的导函数如果函数yf(x)在开区间(a，b)内的每一点处都有导数，其导数值在(a，b)内构成一个新函数，这个函数称为函数 yf(x)在开区间内的导函数.记作f(x)或y.(x0，f(x0)切线的斜率yy0f(x0)(xx0)3.基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f(x)c(c为常数)f(x)_f(x)x(Q*)f(x)_f(x)sin xf(x)_f(x)cos xf(x)_f(x)exf(x)_f
2、(x)ax(a0，a1)f(x)_f(x)ln xf(x)_f(x)logax(a0，a1)f(x)_0x1cos xsin xexaxln af(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)yuuxy对uu对x1.判断正误(在括号内打“”或“”)(1)f(x0)与(f(x0)表示的意义相同.( )(2)求f(x0)时，可先求f(x0)再求f(x0).( )(3)曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点.( )(4)若f(x)e2x，则f(x)e2x.( )诊 断 自 测答案A3.(2014新课标全国卷)设曲线yaxln(x1)在点(0，0)处的切线方程为y2x，则a()A.0 B.1 C.2 D
3、.3答案D4.设函数f(x)在(0，)内可导，且f(ex)xex，则f(1) _.答案25.(2015全国卷)已知函数f(x)ax3x1的图象在点(1， f(1)处的切线过点(2，7)，则a_.解析f(x)3ax21，f(1)3a1.又f(1)a2，切线方程为y(a2)(3a1)(x1).切线过点(2，7)，7(a2)3a1，解得a1.答案1考点一导数的运算规律方法(1)熟记基本初等函数的导数公式及运算法则是导数计算的前提，求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量提高运算速度，减少差错.(2)如函数为根式形式，可先化为分数指数幂，再求导.复合函数求导，
4、应先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元处理.考点二导数的几何意义【例2】 已知函数f(x)x34x25x4.(1)求曲线f(x)在点(2，f(2)处的切线方程；(2)求经过点A(2，2)的曲线f(x)的切线方程.解(1)f(x)3x28x5，f(2)1，又f(2)2，曲线在点(2，f(2)处的切线方程为y2x2，即xy40.(2)设曲线与经过点A(2，2)的切线相切于点P(x0，x4x5x04)，f(x0)3x8x05，切线方程为y(2)(3x8x05)(x2)，又切线过点P(x0，x4x5x04)，x4x5x02(3x8x05)(x02)，整理得(x02)2(x01)0，解得x02
5、或1，经过A(2，2)的曲线f(x)的切线方程为xy40，或y20.规律方法(1)导数f(x0)的几何意义就是函数yf(x)在点P(x0，y0)处的切线的斜率，切点既在曲线上，又在切线上.切线有可能和曲线还有其他的公共点.(2)“曲线在点P处的切线”是以点P为切点，“曲线过点P的切线”则点P不一定是切点，此时应先设出切点坐标.(3)当曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线垂直于x轴时，函数在该点处的导数不存在，切线方程是xx0.【训练2】 (1)(2014广东卷)曲线ye5x2在点(0，3)处的切线方程为_.(2)(2015全国卷)已知曲线yxln x在点(1，1)处的切线与曲线yax2
6、(a2)x1相切，则a_.答案(1)5xy30(2)8考点三导数几何意义的综合应用【例3】 (2016曲师大附中模拟)已知函数f(x)2x33x.(1)求f(x)在区间2，1上的最大值；(2)若过点P(1，t)存在3条直线与曲线yf(x)相切，求t的取值范围.x(，0)0(0，1)1(1，)g(x)00g(x)t3t1规律方法解决本题第(2)问的关键是利用曲线上点的坐标表示切线方程，可将问题等价转化为关于x0的方程有三个不同的实根，构造函数后，利用函数的单调性求极值，通过数形结合方法找到t满足的条件即可.解析(1)由题意得，f(x)3x23，设切点为(x0，x3x0)，那么切线的斜率为k3x3
7、，利用点斜式方程可知切线方程为y(x3x0)(3x3)(xx0)，将点A(2，1)代入可得关于x0的一元三次方程2x6x70.令y2x6x7，则y6x12x0.由y0得x00或x02.当x00时，y70；x02时，y10.结合函数y2x6x7的单调性可得方程2x6x70有3个解.故过点A(2，1)作曲线f(x)x33x的切线最多有3条，故选A.答案(1)A(2)2，)思想方法1.f(x0)代表函数f(x)在xx0处的导数值；f(x0)是函数值f(x0)的导数，而函数值f(x0)是一个常量，其导数一定为0，即f(x0)0.2.对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则.求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误.对于复合函数求导，关键在于分清复合关系，适当选取中间变量，然后“由外及内”逐层求导.易错防范1.利用公式求导时要特别注意不要将幂函数的求导公式(x)x1与指数函数的求导公式(ax)axln a混淆.2.直线与曲线公共点的个数不是切线的本质特征，直线与曲线只有一个公共点，不能说明直线就是曲线的切线，反之，直线是曲线的切线，也不能说明直线与曲线只有一个公共点.3.曲线未必在其切线的“同侧”，例如直线y0是曲线yx3在点(0，0)处的切线.
