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1、第2节正态总体的参数检验第第2节 正正态总体均体均值与方差的与方差的假假设检验一、一、单个个总体参数体参数的的检验二、两个二、两个总体参数的体参数的检验三、基于成三、基于成对数据的数据的检验(t 检验)四、小四、小结一、单个正态总体均值与方差的检验对于于给定的定的检验水平水平由由标准正准正态分布分位数定分布分位数定义知，知，因此，因此，检验的拒的拒绝域域为 其中其中 为统计量量U的的观测值。这种利用种利用U统计量量来来检验的方法称的方法称为U检验法。法。例例1 某切割机在正常工作某切割机在正常工作时, 切割每段金属棒的切割每段金属棒的平均平均长度度为10.5cm, 标准差是准差是0.15cm,
2、 今从一批今从一批产品中随机的抽取品中随机的抽取15段段进行行测量量, 其其结果如下果如下:假定切割的假定切割的长度度X服从正服从正态分布分布, 且且标准差没有准差没有变化化, 试问该机工作是否正常机工作是否正常?解解查表得表得注意：注意：“接受接受H0”，并不意味着，并不意味着H0一定一定为真；真；“拒拒绝H0” 也不意味着也不意味着H0一定不真。一定不真。 0 0 0 0 0u检验法法 ( 2 2 已知已知) )原假设 H0备择假设 H1检验统计量及其H0为真时的分布拒绝域根据根据抽抽样分布定理分布定理知知,由由t分布分位数的定分布分位数的定义知知 在在实际中中, 正正态总体的方差常体的方
3、差常为未知未知, 所以所以我我们常用常用 t 检验法来法来检验关于正关于正态总体均体均值的的检验问题.上述利用上述利用 t 统计量得出的量得出的检验法称法称为t 检验法法. 如果在例如果在例1 1中只中只假定切割的假定切割的长度服从正度服从正态分分布布, 问该机切割的金属棒的平均机切割的金属棒的平均长度有无度有无显著著变化化?解解查表得表得例例2 0 0 0 0 0t检验法法 ( 2 2 未知未知) )原假设 H0备择假设 H1检验统计量及其H0为真时的分布拒绝域例例3 3 某厂生某厂生产小型小型马达达, ,说明明书上写着上写着: :在正常在正常负载下平均消耗下平均消耗电流不超流不超过0.8
4、0.8 安培安培.随机随机测试1616台台马达达, ,平均消耗平均消耗电流流为0.920.92安培，安培，标准差准差为0.320.32安培安培. . 解解 根据根据题意待意待检假假设可可设为设马达所消耗的达所消耗的电流服从正流服从正态分布分布, ,取取显著性水平著性水平为 = 0.05, = 0.05,问根据此根据此样本本, ,能否否定厂方的断言能否否定厂方的断言? ? H0 : 0.8 ； H1 : 0.8 未知未知, , 选检验统计量量:代入得代入得故接受原假故接受原假设 H H0 0 , , 即不能否定厂方断言即不能否定厂方断言.:拒拒绝域域为落在拒落在拒绝域外域外将将解二 H0 : 0
5、.8 ； H1 : 02 2 02 2 0.00040. 此此时可采用效果相同的可采用效果相同的单边假假设检验 H0 : 2 =0.00040 ；H1 : 2 0.00040. 取取统计量量拒拒绝域域 ：落在拒落在拒绝域域内内, , 故拒故拒绝H H0 0. . 即改革后的方差即改革后的方差显著著大于改革前大于改革前, , 因此下一步的改革因此下一步的改革应朝相反方向朝相反方向进行行. . 有有时，我，我们需要比需要比较两两总体的参数是否存在体的参数是否存在显著差异。比如，两个著差异。比如，两个农作物品种的作物品种的产量，两种量，两种电子元件的使用寿命，两种加工工子元件的使用寿命，两种加工工艺
6、对产品品质量量的影响，两地区的气候差异等等。的影响，两地区的气候差异等等。二、两个正二、两个正态总体均体均值与方差的与方差的检验1. 方差已知方差已知时，两正，两正态总体均体均值的的检验需要需要检验假假设:上述假上述假设可等价的可等价的变为 利用利用u检验法法检验.故拒故拒绝域域为由由标准正准正态分布分位数的定分布分位数的定义知知1 2 = ( 12，22 已知)关于均关于均值差差 1 1 2 2 的的检验1 2 1 2 1 2 1 2 原假设 H0备择假设 H1检验统计量及其在H0为真时的分布拒绝域2. 方差未知方差未知时两正两正态总体均体均值的的检验 利用利用t检验法法检验具有相同方差的两
7、正具有相同方差的两正态总体体均均值差的假差的假设.根据根据抽分布定理抽分布定理知知,统计量量引入引入 t对给定的定的故拒故拒绝域域为例例2 有甲有甲、乙两台机床加工相同的乙两台机床加工相同的产品品, 从从这两台两台机床加工的机床加工的产品中随机地抽取若干件品中随机地抽取若干件, 测得得产品直品直径径(单位位:mm)为机床甲机床甲: 20.5, 19.8, 19.7, 20.4, 20.1, 20.0, 19.0, 19.9机床乙机床乙: 19.7, 20.8, 20.5, 19.8, 19.4, 20.6, 19.2, 试比比较甲甲、乙两台机床加工的乙两台机床加工的产品直径有无品直径有无显著著
8、差异差异? 假定假定两台机床加工的两台机床加工的产品直径都服从正品直径都服从正态分布分布, 且且总体方差相等体方差相等.解解即甲即甲、乙两台机床加工的乙两台机床加工的产品直径无品直径无显著差异著差异. 1 2 = 1 2 1 2 1 2 1 2 其中12, 22未知12 = 22原假设 H0备择假设 H1检验统计量及其在H0为真时的分布拒绝域需要需要检验假假设:3.两正两正态总体方差比的体方差比的检验根据抽根据抽样分布定理分布定理知知为了了计算方便算方便, 习惯上取上取检验问题的拒的拒绝域域为上述上述检验法称法称为F检验法法.解解 某某砖厂制成两批机制厂制成两批机制红砖, 抽抽样检查测量量砖的
9、抗折的抗折强度度(公斤公斤), 得到得到结果如下果如下:已知已知砖的抗折的抗折强度服从正度服从正态分布分布, 试检验:(1)两批两批红砖的抗折的抗折强度的方差是否有度的方差是否有显著差异著差异? (2)两批两批红砖的抗折的抗折强度的数学期望是否有度的数学期望是否有显著著差异差异?(1) 检验假假设:例例3查表知拒表知拒绝域域为(2) 检验假假设:查表表7-3知拒知拒绝域域为 12 = 22 12 22 12 22 12 22 12 22 12 22关于方差比关于方差比 1 12 2 / / 2 22 2 的的检验1, 2 均未知原假设 H0备择假设 H1检验统计量及其在H0为真时的分布拒绝域三
10、、基于配三、基于配对数据的数据的检验（t t检验） 有有时为了比了比较两种两种产品，两种品，两种仪器，或两器，或两种种试验方法等的差异，我方法等的差异，我们常常在相同的条件常常在相同的条件下做下做对比比试验，得到一批成，得到一批成对（配（配对）的）的观测值，然后，然后对观测数据数据进行分析。作出推断，行分析。作出推断，这种方法常称种方法常称为配配对分析法。分析法。 例例9 比比较甲，乙两种橡胶甲，乙两种橡胶轮胎的耐磨性，今从胎的耐磨性，今从甲，乙两种甲，乙两种轮胎中各随机地抽取胎中各随机地抽取8个，其中各取个，其中各取一个一个组成一成一对。再随机。再随机选择8架架飞机，将机，将8对轮胎随机地搭
11、配胎随机地搭配给8家家飞机，做耐磨性机，做耐磨性实验飞行一段行一段时间的起落后，的起落后，测得得轮胎磨胎磨损量（量（单位：位：mg）数据如下：）数据如下：轮胎甲：胎甲：4900，5220，5500，6020 6340，7660，8650，4870轮胎乙；胎乙；4930，4900，5140，5700 6110，6880，7930，5010试问这两种两种轮胎的耐磨性有无胎的耐磨性有无显著差异？著差异？解：用解：用X及及Y分分别表示甲，乙两种表示甲，乙两种轮胎的磨胎的磨损量量假定假定 ，其中，其中 ，欲，欲检验假假设下面分两种情况下面分两种情况讨论：（1）实验数据配数据配对分析：分析：记 ，则 ，由
12、正，由正态分布的可加性知，分布的可加性知，Z服从正服从正态分布分布 。于是，于是，对 与与 是否相等的是否相等的检验就就变对 的的检验，这时我我们可采用关可采用关于一于一个正个正态总体均体均值的的 检验法。将甲，乙两种法。将甲，乙两种轮胎的数据胎的数据对应相减得相减得Z的的样本本值为：-30，320，360，320，230, 780，720，-140计算得算得样本均本均值对给定定 ，查自由度自由度为 的的 分布分布表得表得临界界值 ，由于，由于 ，因而否定，因而否定 ，即，即认为这种种轮胎的耐磨胎的耐磨性性有有显著差异。著差异。（2）实验数据不配数据不配对分析：将两种分析：将两种轮胎的数胎的数
13、据看作来自两个据看作来自两个总体的体的样本本观测值，这种方种方法称法称为不配不配对分析法。欲分析法。欲检验假假设我我们选择统计量量由由样本数据及本数据及 可得可得对给定的定的 ，查自由度自由度为16-2=14的的t分布分布表，得表，得临界界值 ，由于，由于 ，因而接受，因而接受 ，即，即认为这两种两种轮胎的耐磨性无胎的耐磨性无显著差异。著差异。以上是在同一以上是在同一检验水平水平 的分析的分析结果，方法不同所得果，方法不同所得结果也比一致，到果也比一致，到底哪个底哪个结果正确呢？下面作一果正确呢？下面作一简要分析。因要分析。因为我我们将将8对轮胎随机地搭配胎随机地搭配给8架架飞机作机作轮胎耐胎
14、耐磨性磨性试验，两种，两种轮胎不胎不仅对试验数据数据产生影响，生影响，而且不同的而且不同的飞机也机也对试验数据数据产生干生干扰，因此，因此试验数据配数据配对分析，消除了分析，消除了飞机本身机本身对数据的数据的干干扰，突出了比，突出了比较两种两种轮胎之胎之间耐磨性的差异。耐磨性的差异。对试验数据不做配数据不做配对分析，分析，轮胎之胎之间和和飞机之机之间对数据的影响交数据的影响交织在一起，在一起，这是是样本本 下采用不同方法下采用不同方法与与样本本 实际上不独立，因此，上不独立，因此， 用两个独立正用两个独立正态总体的体的t检验法是不合适的。法是不合适的。有本例看出，有本例看出，对同一批同一批试验
15、数据，采用配数据，采用配对分分析析还是不配是不配对分析方法，要根据抽分析方法，要根据抽样方法而定。方法而定。 接受域置信区间假设检验区间估计统计量 枢轴量对偶关系同一函数假假设检验与区与区间估估计的的联系系 假假设检验与置信区与置信区间对照照接受域置信区间检验统计量及其在H0为真时的分布枢轴量及其分布 0 0（ 2 已知)（ 2 已知)原假设 H0备择假设 H1待估参数接受域置信区间检验统计量及其在H0为真时的分布枢轴量及其分布原假设 H0备择假设 H1待估参数 0 0（ 2未知）（ 2未知）接受域置信区间检验统计量及其在H0为真时的分布枢轴量及其分布原假设 H0备择假设 H1待估参数 2 02 2= 02 2(未知)(未知)四、小结本本节学学习的正的正态总体均体均值的假的假设检验有有:正正态总体均体均值、方差的、方差的检验法法见下表下表 432 1765作业P169 EX 4、5、6、7、8、9
