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1、一一、 平面曲线积分与路径无关的条件平面曲线积分与路径无关的条件二二 、 二元函数的全微分求积二元函数的全微分求积第三节第三节(2) 曲线积分与路径无曲线积分与路径无 关的条件关的条件第十一章第十一章Gyxo1 、曲线积分与路径义无关的定义曲线积分与路径义无关的定义BA如果在区域如果在区域G G内有内有一、一、 平面曲线积分与路径无关的条件平面曲线积分与路径无关的条件2 2、平面上曲线积分与路径无关的等价条件、平面上曲线积分与路径无关的等价条件定理定理2. 设设D 是单连通域是单连通域 ,在在D 内内具有一阶连续偏导数具有一阶连续偏导数,(1) 沿沿D 中任意光滑闭曲线中任意光滑闭曲线 L ,
2、 有有(2) 对对D 中任一分段光滑曲线中任一分段光滑曲线 L, 曲线积分曲线积分(3)(4) 在在 D 内每一点都有内每一点都有与路径无关与路径无关, 只与起止点有关只与起止点有关. 函数函数则以下四个条件则以下四个条件等价等价:在在 D 内是某一函数内是某一函数的全微分的全微分,即即 注意注意: :1. .常用常用 来判断来判断曲线积分与路径无关曲线积分与路径无关; ;2. .当曲线积分与路径无关时，常选择最简当曲线积分与路径无关时，常选择最简路径路径平行于坐标轴的直线段组成的折平行于坐标轴的直线段组成的折线作为积分路径线作为积分路径; ;OAB如果如果D是复连通域是复连通域, ,即使即使
3、曲线积分也不一定与路径无关曲线积分也不一定与路径无关。L不包围原点 L包围原点注意以上的结果与L的形状无关。例例1 1解解练习练习 证明下列曲线积分与路径无关，并计算积分值解；曲线积分与路径无关。可沿折线积分二二、二元函数的全微分求积二元函数的全微分求积1. 1. 原函数原函数: :如果存在一个函数如果存在一个函数u(x,y)，使得使得du(x,y)= P(x,y)dx+Q(x,y)dy原函数原函数全微分式全微分式例如例如全微分式全微分式2. 2. 判别定理判别定理定理定理3.3. 设函数设函数P(x,y),Q(x,y)在单连通域在单连通域D内具有一阶内具有一阶连续偏导数，则连续偏导数，则P(
4、x,y)dx+Q(x,y)dy在在D内为某一函数内为某一函数全微分全微分 在在D内恒成立内恒成立. .3.3.全微分求积全微分求积当当Pdx+Qdy为全微分式时，为全微分式时，求其原函数求其原函数u(x,y)的过程的过程. .与路径无关，可选平行于坐与路径无关，可选平行于坐标轴的折线作为积分路径标轴的折线作为积分路径. .如图取如图取 为积分路径为积分路径, ,得得如图取如图取 为积分路径为积分路径, ,得得例2 验证: 在整个坐标平面内是某个函数u的全微分，并求u在整个坐标面上是某个函数 的全微分注：起点可以任选，一般选原点原函数可以相差一个常数练习练习解解或或例例3 3解解*全微分方程及其求法全微分方程及其求法定义定义: :若有全微分形式若有全微分形式例如例如所以原方程是全微分方程所以原方程是全微分方程. .全微分方程全微分方程全微分方程的解法全微分方程的解法: :1 1应用曲线积分与路径无关应用曲线积分与路径无关则全微分方程的通解为则全微分方程的通解为例例1 1这是全微分方程这是全微分方程.方程的通解为方程的通解为故故故故例例1 1解解是全微分方程是全微分方程, ,将左端重新组合将左端重新组合原方程的通解为原方程的通解为例例2 用直接凑用直接凑全微分的方法全微分的方法. .
