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1、主要内容主要内容第第1章章 绪论绪论第第2章章 确知信号确知信号第第3章章 随机过程随机过程第第4章章 信道信道第第5章章 模拟调制系统模拟调制系统第第6章章 数字基带传输系统数字基带传输系统第第7章章 数字带通传输系统数字带通传输系统第第8章章 新型数字带通调制技术新型数字带通调制技术第第9章章 模拟信号的数字传输模拟信号的数字传输第第10章章 数字信号的最佳接收数字信号的最佳接收第第11章章 差错控制编码差错控制编码第第12章章 正交编码与伪随机序列正交编码与伪随机序列第第13章章 同步原理同步原理第第14章章 通信网通信网第第3章章 随机过程随机过程知识要点：知识要点：随机过程的基本概念
2、随机过程的基本概念随机过程的数字特征随机过程的数字特征(均值、方差、相关函数均值、方差、相关函数)平稳过程的定义、各态历经性、相关函数和功率谱密度平稳过程的定义、各态历经性、相关函数和功率谱密度高斯过程的定义和性质、一维概率密度和分布函数高斯过程的定义和性质、一维概率密度和分布函数随机过程通过线性系统、输出和输入的关系随机过程通过线性系统、输出和输入的关系窄带随机过程的表达式和统计特性窄带随机过程的表达式和统计特性正弦波加窄带高斯过程的统计特性正弦波加窄带高斯过程的统计特性高斯白噪声及其通过理想低通信道和理想带通滤波器高斯白噪声及其通过理想低通信道和理想带通滤波器第第3章章 随机过程随机过程3
3、.1随机过程的基本概念随机过程的基本概念3.2平稳随机过程平稳随机过程3.3高斯过程高斯过程3.4平稳随机过程通过线性系统平稳随机过程通过线性系统3.5窄带随机过程窄带随机过程3.6正弦波加窄带高斯噪声正弦波加窄带高斯噪声3.7高斯白噪声和带限白噪声高斯白噪声和带限白噪声3.1随机过程的基本概念随机过程的基本概念一、什么是随机过程？一、什么是随机过程？ 随机过程是一类随时间作随机变化的过程，它随机过程是一类随时间作随机变化的过程，它不能用确切的时间函数描述。不能用确切的时间函数描述。 可从两种不同角度看：可从两种不同角度看：角度角度1：对应不同随机试验结果的时间过程的集合。：对应不同随机试验结
4、果的时间过程的集合。角度角度2：随机过程是随机变量概念的延伸。：随机过程是随机变量概念的延伸。一、什么是随机过程？一、什么是随机过程？二、随机过程的分布函数和概率密度二、随机过程的分布函数和概率密度三、随机过程的数字特征三、随机过程的数字特征角度角度1：对应不同随机试验结果的时间过程的集合。：对应不同随机试验结果的时间过程的集合。例：例：n台示波器同时观测并记录这台示波器同时观测并记录这n台接收机的输出噪声波形台接收机的输出噪声波形样本函数样本函数 i(t)：随机过程的一次实现，是确定的时间函数。随机过程的一次实现，是确定的时间函数。随机过程：随机过程： (t) = 1(t), 2(t), ,
5、 n(t)是全部样本函数的集合。是全部样本函数的集合。角度角度2：随机过程是随机变量概念的延伸。：随机过程是随机变量概念的延伸。在任一给定时刻在任一给定时刻t1上，每一个样本函数上，每一个样本函数 i (t)都是一个确定都是一个确定的数值的数值 i(t1)，但是每个但是每个 i(t1)都是不可预知的都是不可预知的。在一个固定时刻在一个固定时刻t1上，不同样本的取值上，不同样本的取值 i(t1), i = 1, 2, , n是一个随机变量，记为是一个随机变量，记为 (t1)。随机过程在任意时刻的值是一个随机变量。随机过程在任意时刻的值是一个随机变量。随机过程可看作是在时间进程中处于不同时刻的随机
6、变随机过程可看作是在时间进程中处于不同时刻的随机变量的集合。量的集合。这个角度更适合对随机过程理论进行精确的数学描述。这个角度更适合对随机过程理论进行精确的数学描述。二、随机过程的分布函数和概率密度二、随机过程的分布函数和概率密度 (t)表示一个随机过程，则它在任意时刻表示一个随机过程，则它在任意时刻t1的值的值 (t1)是一个随是一个随机变量，其机变量，其统计特性统计特性可以用可以用分布函数分布函数或或概率密度函数概率密度函数来描述。来描述。随机过程随机过程 (t)的一维分布函数：的一维分布函数：含义：随机变量含义：随机变量 (t1)小于或等于某一数值小于或等于某一数值x1的概率的概率随机过
7、程随机过程 (t)的一维概率密度函数：的一维概率密度函数：条件：表达式偏导存在条件：表达式偏导存在 一维分布函数或一维概率密度仅仅描述了随机过程在任一维分布函数或一维概率密度仅仅描述了随机过程在任一瞬间各个孤立时刻的统计特性，没有说明随机过程在不同一瞬间各个孤立时刻的统计特性，没有说明随机过程在不同时刻取值之间的内在联系，它对随机过程的描述欠充分时刻取值之间的内在联系，它对随机过程的描述欠充分随机过程随机过程 (t)的二维分布函数：的二维分布函数：随机过程随机过程 (t)的二维概率密度函数：的二维概率密度函数：二、随机过程的分布函数和概率密度二、随机过程的分布函数和概率密度随机过程随机过程 (
8、t)的的n维分布函数：维分布函数：随机过程随机过程 (t)的的n维概率密度函数：维概率密度函数：n越大，对随机过程统计特性的描述就越充分越大，对随机过程统计特性的描述就越充分三、随机过程的数字特征三、随机过程的数字特征 在实际运用中，往往不易或不需求出分布函数或概率密度，而是用数字在实际运用中，往往不易或不需求出分布函数或概率密度，而是用数字特征来描述随机过程的主要特性：特征来描述随机过程的主要特性：均值、方差、相关函数均值、方差、相关函数。1.均值均值数学期望：数学期望：式中式中 f (x, t) (t)的概率密度函数的概率密度函数 (t)随机过程的随机过程的n个样本函个样本函数曲线的摆动中
9、心，信号围数曲线的摆动中心，信号围绕着均值上、下摆动绕着均值上、下摆动它是时间的它是时间的确定函数确定函数表示表示均方值均方值均值平方均值平方表示随机过程在时刻表示随机过程在时刻t相对于均值相对于均值a(t)的偏离程度的偏离程度2.方差：方差：方差等于均方值与均值平方之差方差等于均方值与均值平方之差当当a(t)=0时，方差时，方差(均方值均方值)3.相关函数：相关函数： 均值与方差都只与随机过程的一维概率密度有关，因而它们只是描述均值与方差都只与随机过程的一维概率密度有关，因而它们只是描述了随机过程在各个孤立时刻的特征，而不能反映随机过程内在的联系。了随机过程在各个孤立时刻的特征，而不能反映随
10、机过程内在的联系。 为了衡量随机过程在任意两个时刻上获得的随机变量之间的关联程度，为了衡量随机过程在任意两个时刻上获得的随机变量之间的关联程度，可采用协方差函数或相关函数描述可采用协方差函数或相关函数描述(2)相关函数：相关函数：(1)协方差函数：协方差函数：式中：式中： (t1)和和 (t2)分别是在分别是在t1和和t2时刻观测得到的随机变量。时刻观测得到的随机变量。可以看出，可以看出，R(t1, t2)是两个变量是两个变量t1和和t2的确定函数。的确定函数。a(t1) a(t2) 在在t1和和t2时刻得到的时刻得到的 (t)的均值的均值 f2(x1, x2; t1, t2) (t)的二维概
11、率密度函数。的二维概率密度函数。(2)相关函数：相关函数：(1)协方差函数：协方差函数：(3)B(t1, t2) 与与R(t1, t2) 之间关系：之间关系：若随机过程的均值为若随机过程的均值为0，即，即a(t1) = 0或或a(t2)=0，则，则B(t1, t2) = R(t1, t2)因为因为 R(t1, t2)是衡量统一过程的相关程度，因此称自相关函数是衡量统一过程的相关程度，因此称自相关函数若若t2t1， 并令时间间隔并令时间间隔= t2t1，则自相关函数可表示为则自相关函数可表示为R(t1, t1+)互相关函数互相关函数把相关函数的概念引申到两个或多个随机过程，则可得到互相关函数把相
12、关函数的概念引申到两个或多个随机过程，则可得到互相关函数 (t)和和 (t)分别表示两个随机过程分别表示两个随机过程自相关函数自相关函数3.2平稳随机过程平稳随机过程一、平稳随机过程的定义一、平稳随机过程的定义二、各态历经性二、各态历经性三、平稳过程的自相关函数三、平稳过程的自相关函数四、平稳过程的功率谱密度四、平稳过程的功率谱密度3.2平稳随机过程平稳随机过程一、平稳随机过程的定义一、平稳随机过程的定义1.狭义平稳狭义平稳(严平稳严平稳) 若一个随机过程若一个随机过程 (t)的任意有限维分布函数与时间起点无关，对的任意有限维分布函数与时间起点无关，对于任意的正整数于任意的正整数n和所有实数和
13、所有实数 ，该随机过程是在严格意义下的平稳随机过程，简称严平稳随机过程。该随机过程是在严格意义下的平稳随机过程，简称严平稳随机过程。 (1)平稳随机过程的统计特性不随时间的推移而改变，即它的一维平稳随机过程的统计特性不随时间的推移而改变，即它的一维分布函数与时间分布函数与时间t无关：无关：(2)二维分布函数只与时间间隔二维分布函数只与时间间隔 =t2 t1有关：有关：2.广义平稳广义平稳宽平稳宽平稳随机过程随机过程 (t)的数学期望与的数学期望与t无关无关相关函数仅与时间间隔相关函数仅与时间间隔 有关有关显然，严平稳随机过程必定是广义平稳的，反之不一定成立。显然，严平稳随机过程必定是广义平稳的
14、，反之不一定成立。 在通信系统中所遇到的信号及噪声，大多数可视为平稳在通信系统中所遇到的信号及噪声，大多数可视为平稳的随机过程。除特殊说明外，且均指广义平稳。因此，研究的随机过程。除特殊说明外，且均指广义平稳。因此，研究平稳随机过程有着很大的实际意义。平稳随机过程有着很大的实际意义。满足两个条件：满足两个条件：二、各态历经性二、各态历经性 随机过程的数字特征随机过程的数字特征(均值、相关函数均值、相关函数)是对随机过程的是对随机过程的所有样本函数的统计平均，但实际中很难测得大量的样本，所有样本函数的统计平均，但实际中很难测得大量的样本，这样，自然会提出一个问题：能否从一次试验而得到的一这样，自
15、然会提出一个问题：能否从一次试验而得到的一个样本函数个样本函数x(t)来决定平稳过程的数字特征呢来决定平稳过程的数字特征呢? 平稳过程在满足一定的条件下具有一个有趣而又非常平稳过程在满足一定的条件下具有一个有趣而又非常有用的特性，称为有用的特性，称为“各态历经性各态历经性”(又称又称“遍历性遍历性”)。 具有各态历经性的过程，其数字特征具有各态历经性的过程，其数字特征(均为均为统计平均统计平均)完全可完全可由由随机过程中的任一实现的随机过程中的任一实现的时间平均值来代替时间平均值来代替。1.问题的提出：问题的提出：2.回答是肯定的回答是肯定的3.各态历经性条件各态历经性条件 设设x(t)是平稳
16、过程是平稳过程 (t)的任意一次实现的任意一次实现(样本样本)，它是时，它是时间的确定函数间的确定函数时间均值时间均值时间相关函数时间相关函数如果平稳过程使下式成立如果平稳过程使下式成立则称该平稳过程具有各态历经性。则称该平稳过程具有各态历经性。4.“各态历经各态历经”的含义是：的含义是：随机过程中的任一次实现都经历了随机过程的所有可能随机过程中的任一次实现都经历了随机过程的所有可能状态。因此，在求解各种统计平均状态。因此，在求解各种统计平均(均值或自相关函数等均值或自相关函数等)时，无需作无限多次的考察，只要获得一次考察，用一次时，无需作无限多次的考察，只要获得一次考察，用一次实现的实现的“
17、时间平均时间平均”值代替过程的值代替过程的“统计平均统计平均”值即可，值即可，从而使测量和计算的问题大为简化。从而使测量和计算的问题大为简化。具有各态历经的随机过程一定是平稳过程，反之不一定具有各态历经的随机过程一定是平稳过程，反之不一定成立。成立。在通信系统中所遇到的随机信号和噪声，一般均能满足在通信系统中所遇到的随机信号和噪声，一般均能满足各态历经条件。各态历经条件。例例3-1 设一个随机相位的正弦波为设一个随机相位的正弦波为 其中，其中，A和和 c均为常数；均为常数； 是在是在(0, 2)内均匀分布的随机内均匀分布的随机变量。试讨论变量。试讨论 (t)是否具有各态历经性。是否具有各态历经
18、性。解解: (1)先求先求 (t)的统计平均值：的统计平均值：数学期望数学期望自相关函数自相关函数令令t2 t1= ，得到，得到 可见，可见， (t)的数学期望为常数，而自相关函数与的数学期望为常数，而自相关函数与t 无关，无关，只与时间间隔只与时间间隔 有关，所以有关，所以 (t)是广义平稳过程。是广义平稳过程。(2) 求求 (t)的时间平均值的时间平均值比较统计平均与时间平均，有比较统计平均与时间平均，有因此，随机相位余弦波是各态历经的。因此，随机相位余弦波是各态历经的。三、平稳过程的自相关函数三、平稳过程的自相关函数1.定义：定义：2.平稳过程自相关函数的性质平稳过程自相关函数的性质设设
19、 (t)为实为实平稳随机过程，则它的自相关函数平稳随机过程，则它的自相关函数(1) (t)的平均功率的平均功率(2) 的偶函数的偶函数(3)R( )的上界的上界自相关函数自相关函数R( )在在 = 0有最大值有最大值(4) (t)的直流功率的直流功率(5)方差，平稳过程方差，平稳过程 (t)的交流功率的交流功率方差方差当当 趋于无穷时，趋于无穷时， (t) 与与 (t+ )没有任何依赖关系，即统计独立没有任何依赖关系，即统计独立当均值为当均值为0时，有时，有R(0) = 2四、平稳过程的功率谱密度四、平稳过程的功率谱密度1.定义：定义：随机过程中的任一样本是一个确定的功率型随机信号随机过程中的
20、任一样本是一个确定的功率型随机信号对于任意的确定功率信号对于任意的确定功率信号f (t)，它的功率谱密度定义为，它的功率谱密度定义为式中，式中，FT( f )是是f (t)的截短函数的截短函数fT(t) 所对应的频谱函数所对应的频谱函数对于平稳随机过程对于平稳随机过程 (t)，可以把，可以把f(t)当作是当作是 (t)的一个样本的一个样本;但不同样本函数一般具有不同的功率谱密度但不同样本函数一般具有不同的功率谱密度P(f)；因此，某一样本的功率谱密度不能作为过程的功率谱密度；因此，某一样本的功率谱密度不能作为过程的功率谱密度；过程的功率谱密度应看作是对所有样本的功率谱的统计平均过程的功率谱密度
21、应看作是对所有样本的功率谱的统计平均 (t)的功率谱密度可以定义为的功率谱密度可以定义为2.功率谱密度的计算功率谱密度的计算-维纳维纳-辛钦关系辛钦关系 非周期的功率型确知信号的自相关函数与其功率谱密非周期的功率型确知信号的自相关函数与其功率谱密度是一对傅里叶变换。这种关系对平稳随机过程同样成立度是一对傅里叶变换。这种关系对平稳随机过程同样成立简记为简记为以上关系称为以上关系称为维纳维纳-辛钦辛钦关系关系 它在平稳随机过程的理论和应用中是一个非常重要的工它在平稳随机过程的理论和应用中是一个非常重要的工具，它是联系频域和时域两种分析方法的基本关系式。具，它是联系频域和时域两种分析方法的基本关系式
22、。在维纳在维纳-辛钦关系的基础上，可以得到以下结论：辛钦关系的基础上，可以得到以下结论：(1)当当 =0时，时，对功率谱密度对功率谱密度(PSD)进行积分，可得平稳过程的总功率：进行积分，可得平稳过程的总功率：从频域的角度给出了过程平均功率的计算法从频域的角度给出了过程平均功率的计算法时域计算法时域计算法(2)各态历经过程的任一样本函数的功率谱密度等于过程的功率谱密度。各态历经过程的任一样本函数的功率谱密度等于过程的功率谱密度。也就是说，每一样本函数的谱特性都能很好地表现整个过程的的谱特性。也就是说，每一样本函数的谱特性都能很好地表现整个过程的的谱特性。(3)功率谱密度功率谱密度P ( f )
23、具有非负性和实偶性具有非负性和实偶性这与这与R( )的实偶性相对应的实偶性相对应例例3-2求随机相位余弦波求随机相位余弦波 (t) = Acos( ct + )的自相关函数的自相关函数和功率谱密度。和功率谱密度。解：在解：在例例3-1中，已经求出其相关函数为中，已经求出其相关函数为因平稳随机过程的相关函数与功率谱密度是一对傅里叶变换因平稳随机过程的相关函数与功率谱密度是一对傅里叶变换由于由于所以，功率谱密度为所以，功率谱密度为平均功率平均功率3.3 高斯随机过程高斯随机过程(正态随机过程正态随机过程)1.定义定义 如果随机过程如果随机过程 (t)的任意的任意n维维(n =1,2,.)分布均服从
24、正态分布均服从正态分布，则称它为正态过程或高斯过程。分布，则称它为正态过程或高斯过程。 是通信领域中最重要也是最常见的一种过程，大多数噪声是通信领域中最重要也是最常见的一种过程，大多数噪声都是高斯型的，如热噪声都是高斯型的，如热噪声n维正态概率密度函数表示式为：维正态概率密度函数表示式为：式中式中 |B|归一化协方差矩阵归一化协方差矩阵 的行列式的行列式|B|jk 行列式行列式|B|中元素中元素bjk的代数余因子的代数余因子bjk 为归一化协方差函数为归一化协方差函数高斯过程在不同时刻的取高斯过程在不同时刻的取值是不相关的，即对所有值是不相关的，即对所有的的jk有有bjk =0，则，则|B|=
25、12.重要性质重要性质 高斯过程的高斯过程的n维分布只依赖各个随机变量的均值、方差和归一化协方差。维分布只依赖各个随机变量的均值、方差和归一化协方差。因此，对于高斯过程，只需要研究它的数字特征就可以了因此，对于高斯过程，只需要研究它的数字特征就可以了(1)若高斯过程是广义平稳的，则也是严平稳的若高斯过程是广义平稳的，则也是严平稳的 因为，高斯过程若是广义平稳的，即其均值与时间无关，协方差函因为，高斯过程若是广义平稳的，即其均值与时间无关，协方差函数只与时间间隔有关，而与时间起点无关，则它的数只与时间间隔有关，而与时间起点无关，则它的n维分布也与时间起维分布也与时间起点无关，故它也是严平稳的。点
26、无关，故它也是严平稳的。(2)若高斯过程中的随机变量之间互不相关，则它们是统计独立的若高斯过程中的随机变量之间互不相关，则它们是统计独立的如果高斯过程在不同时刻的取值是不相关的，如果高斯过程在不同时刻的取值是不相关的， 即对所有即对所有j k，有，有bjk =0，则其概率密度可以简化为，则其概率密度可以简化为(2)若高斯过程中的随机变量之间互不相关，则它们是统计若高斯过程中的随机变量之间互不相关，则它们是统计独立的独立的(3)高斯过程经过线性变换后生成的过程仍是高斯过程高斯过程经过线性变换后生成的过程仍是高斯过程 也可以说，若线性系统的输入为高斯过程，则系统也可以说，若线性系统的输入为高斯过程
27、，则系统输出也是高斯过程。输出也是高斯过程。(1)若高斯过程是广义平稳的，则也是严平稳的若高斯过程是广义平稳的，则也是严平稳的(4)若干个高斯过程的代数和的过程仍是高斯型若干个高斯过程的代数和的过程仍是高斯型3.高斯随机变量高斯随机变量 高斯过程在任一时刻上的取值是一个正态分布的随机变量，高斯过程在任一时刻上的取值是一个正态分布的随机变量，也称高斯随机变量也称高斯随机变量(1)一维概率密度函数一维概率密度函数曲线如右图：曲线如右图：式中：式中：a数学期望数学期望(均值均值) 2 方差方差(2)一维概率密度函数性质一维概率密度函数性质1)f (x)对称于直线对称于直线 x = a，2)3)a表示
28、分布中心，表示分布中心， 称为标准偏差，表示集中程度，图形将称为标准偏差，表示集中程度，图形将随着随着 的减小而变高和变窄。的减小而变高和变窄。4)当当a = 0和和 = 1时，称为标准化的正态分布时，称为标准化的正态分布(3)一维分布函数一维分布函数-正态分布函数正态分布函数 在数字通信系统的抗噪声性能分析中，常需要计算高斯在数字通信系统的抗噪声性能分析中，常需要计算高斯随机变量随机变量 小于或等于某一取值小于或等于某一取值x的概率的概率P( x)。将正太分布的概率密度将正太分布的概率密度f(x)积分定义为正态分布函数积分定义为正态分布函数 这个积分的值无法用闭合形式计算，通常利用这个积分的
29、值无法用闭合形式计算，通常利用其他特殊函数，用查表的方法求出其他特殊函数，用查表的方法求出1)用误差函数用误差函数erf(x)表示正态分布函数：表示正态分布函数：式中式中-误差函数误差函数它是自变量的递增函数：它是自变量的递增函数：2)用互补误差函数用互补误差函数erfc(x)表示正态分布函数表示正态分布函数式中式中erfc(x)是自变量的递减函数：是自变量的递减函数：3.4 平稳随机过程通过线性系统平稳随机过程通过线性系统通信过程主要是信号通过系统传输的过程通信过程主要是信号通过系统传输的过程一、确知信号通过线性系统一、确知信号通过线性系统(复习复习)式中：式中：vi 输入信号输入信号 vo
30、 输出信号输出信号对应的傅里叶变换关系：对应的傅里叶变换关系：二、随机信号通过线性系统：二、随机信号通过线性系统： 求输出过程求输出过程 o(t)的统计特性，即它的的统计特性，即它的均值、自相关函均值、自相关函数、功率谱以及概率分布数、功率谱以及概率分布。假设：假设： i(t) 平稳输入随机过程平稳输入随机过程 a 均值均值 Ri( ) 自相关函数自相关函数 Pi( ) 功率谱密度功率谱密度 将将vi(t) 看作是输入随机过程的一个样本看作是输入随机过程的一个样本,则则vo(t)是输出是输出随机过程的一个样本；随机过程的一个样本； 当该线性系统的输入端加入一个当该线性系统的输入端加入一个随机过
31、程随机过程 i(t) 时，对于时，对于 i(t) 的每个样本，系统的输出的每个样本，系统的输出 o(t)都有一个与其相对应。都有一个与其相对应。1.输出过程输出过程 o(t)的均值的均值对随机信号通过线性系统两边取统计平均：对随机信号通过线性系统两边取统计平均：设输入过程是平稳的设输入过程是平稳的 ，则有，则有 式中，式中，H(0)是线性系统在是线性系统在 f = 0处的频率响应，即直流处的频率响应，即直流增益，因此增益，因此输出过程的均值是一个常数输出过程的均值是一个常数。2.输出过程输出过程 o(t)的自相关函数的自相关函数根据自相关函数的定义根据自相关函数的定义根据输入过程的平稳性根据输
32、入过程的平稳性于是于是输出过程的自相关函数仅是时间间隔输出过程的自相关函数仅是时间间隔 的函数的函数 由输出过程由输出过程 o(t)的均值和自相关函数可知，若线性的均值和自相关函数可知，若线性系统的输入是平稳的，则输出也是平稳的。系统的输入是平稳的，则输出也是平稳的。3.输出过程输出过程 o(t)的功率谱密度的功率谱密度对输出过程对输出过程 o(t)的自相关函数的自相关函数进行傅里叶变换：进行傅里叶变换：得出得出令令 = + - ，即即 结论：输出过程的功率谱密度是输入过程的功率谱密度乘以结论：输出过程的功率谱密度是输入过程的功率谱密度乘以系统频率响应模值的平方。系统频率响应模值的平方。 应用
33、：由应用：由Po( f )的反傅里叶变换求的反傅里叶变换求Ro( )4.输出过程输出过程 o(t)的概率分布的概率分布 如果线性系统的输入过程是高斯型的，则系统的输出如果线性系统的输入过程是高斯型的，则系统的输出过程也是高斯型的。过程也是高斯型的。因为从积分原理看因为从积分原理看可以表示为可以表示为 由于已假设由于已假设 i(t)是高斯型的，所以上式右端的每一项在任一时刻上是高斯型的，所以上式右端的每一项在任一时刻上都是一个高斯随机变量。因此，输出过程在任一时刻上得到的随机变量都是一个高斯随机变量。因此，输出过程在任一时刻上得到的随机变量就是无限多个高斯随机变量之和。由概率论理论得知，这个就是
34、无限多个高斯随机变量之和。由概率论理论得知，这个“和和” 也是也是高斯随机变量，因而输出过程也为高斯过程。高斯随机变量，因而输出过程也为高斯过程。注意，与输入高斯过程相比，输出过程的数字特征可能不同。注意，与输入高斯过程相比，输出过程的数字特征可能不同。3.5窄带随机过程窄带随机过程 1.什么是窄带随机过程？什么是窄带随机过程？ 若随机过程若随机过程 (t)的谱密度集中在中心频率的谱密度集中在中心频率fc附近相对窄附近相对窄的频带范围的频带范围 f 内，即内，即满足满足 f fc的条件，且的条件，且 fc远离零频率远离零频率，则称该则称该 (t)为窄带随机过程。为窄带随机过程。2.典型的窄带随
35、机过程的谱密度和样本函数典型的窄带随机过程的谱密度和样本函数 窄带随机过程的窄带随机过程的一个样本的波形如同一个样本的波形如同一个包络和相位随机一个包络和相位随机缓变的正弦波缓变的正弦波3.窄带随机过程的表示式窄带随机过程的表示式式中，式中，a (t) 随机包络随机包络 (t) 随机相位随机相位 c 中心角频率中心角频率显然，显然，a (t)和和 (t)的变化相对于载波的变化相对于载波cos ct的变化要缓慢得多。的变化要缓慢得多。将窄带随机过程表示式展开将窄带随机过程表示式展开式中式中 (t)的的同相分量同相分量 (t)的的正交分量正交分量 可以看出：可以看出： (t)的统计特性由的统计特性
36、由a (t)和和 (t)或或 c(t)和和 s(t)的统计特性确定；若的统计特性确定；若 (t)的统计特性已知，则的统计特性已知，则a (t)和和 (t)或或 c(t)和和 s(t)的统计特性也随之确定。的统计特性也随之确定。1. c(t)、 s(t)的统计特性的统计特性(1)数学期望：数学期望：因因 (t)平稳且均值为零，故对于任意的时间平稳且均值为零，故对于任意的时间t，都有，都有E (t) = 0所以所以(2) (t)的自相关函数的自相关函数即即 (t) 、 c(t)和和 s(t)具有相同的平均功率或方差具有相同的平均功率或方差结论：结论：一个均值为零的窄带平稳高斯过程一个均值为零的窄带
37、平稳高斯过程 (t) 它的同相分量它的同相分量 c(t)和正交分量和正交分量 s(t)同样是平稳高斯过程同样是平稳高斯过程而且均值为零，方差也相同而且均值为零，方差也相同此外，在同一时刻上得到的此外，在同一时刻上得到的 c和和 s是互不相关的或统计独立的。是互不相关的或统计独立的。对于一个均值为对于一个均值为0，方差为，方差为 2的窄带平稳高斯过程的窄带平稳高斯过程 (t) 2. a (t)、 (t) 的统计特性的统计特性(1) a , 联合概率密度函数联合概率密度函数 f (a , )对于一个均值为对于一个均值为0，方差为，方差为 2的窄带平稳高斯过程的窄带平稳高斯过程 (t) (2)a (
38、包络包络)的一维概率密度函数的一维概率密度函数a 服从瑞利服从瑞利(Rayleigh)分布分布(3) (相位相位)的一维概率密度函数的一维概率密度函数 服从均匀分布服从均匀分布结论结论一个均值为零，方差为一个均值为零，方差为 2的窄带平稳高斯过程的窄带平稳高斯过程 (t)其包络其包络a (t)的一维分布是瑞利分布的一维分布是瑞利分布相位相位 (t)的一维分布是均匀分布的一维分布是均匀分布并且就一维分布而言，并且就一维分布而言， a (t)与与 (t)是统计独立的是统计独立的 即有即有 a (t)、 (t)以及以及 c(t)、 s(t)的统计特性结论在带通传输的统计特性结论在带通传输系统的抗噪声
39、性能分析中将会用到，这是因为，在带通传系统的抗噪声性能分析中将会用到，这是因为，在带通传输系统中，信道噪声经过接收端带通滤波器后，到达解调输系统中，信道噪声经过接收端带通滤波器后，到达解调器前端的噪声就是一个平稳高斯窄带过程。器前端的噪声就是一个平稳高斯窄带过程。对于一个均值为对于一个均值为0，方差为，方差为 2的窄带平稳高斯过程的窄带平稳高斯过程 (t) 一、一、 c(t)、 s(t)的统计特性的统计特性1.数学期望：数学期望：分析其分析其a (t)、 (t)以及以及 c(t)、 s(t)的统计特性的统计特性因因 (t)平稳且均值为零，故对于任意的时间平稳且均值为零，故对于任意的时间t，都有
40、，都有E (t) = 0所以所以a (t)、 (t)以及以及 c(t)、 s(t)的统计特性的推导过程的统计特性的推导过程(9页页)自己看自己看2. (t)的自相关函数的自相关函数式中式中因为因为 (t)是平稳的，故有是平稳的，故有这就要求上式的右端与时间这就要求上式的右端与时间t无关，而仅与无关，而仅与 有关。有关。因此，若令因此，若令 t = 0，上式仍应成立，它变为，上式仍应成立，它变为再令再令 t = /2 c，同理可以求得，同理可以求得若窄带过程若窄带过程 (t)是平稳的，则是平稳的，则 c(t)和和 s(t)也必然是平稳的。也必然是平稳的。进一步分析进一步分析当当R ( )的两式同
41、时成立时的两式同时成立时上式表明，同相分量上式表明，同相分量 c(t) 和正交分量和正交分量 s(t)具有相同的自相关函数具有相同的自相关函数代入上式，得到代入上式，得到上式表明上式表明Rsc( )是是 的奇函数，所以的奇函数，所以同理可证同理可证根据互相关函数的性质，应有根据互相关函数的性质，应有将将代入代入得到得到即即上式表明上式表明 (t) 、 c(t)和和 s(t)具有相同的平均功率或方差具有相同的平均功率或方差另外，根据平稳性，过程的特性与变量另外，根据平稳性，过程的特性与变量t无关无关故由式故由式得到得到 因为因为 (t)是高斯过程是高斯过程，所以，所以， c(t1)， s(t2)
42、一定是高斯随一定是高斯随机变量，从而机变量，从而 c(t) 、 s(t)也是高斯过程也是高斯过程。根据根据 可知，可知， c(t) 与与 s(t)在在 = 0处互不相关，又由于它们是高斯处互不相关，又由于它们是高斯型的，因此型的，因此 c(t) 与与 s(t)也是统计独立的。也是统计独立的。结论：结论：一个均值为零的窄带平稳高斯过程一个均值为零的窄带平稳高斯过程 (t) 它的同相分量它的同相分量 c(t)和正交分量和正交分量 s(t)同样是平稳高斯过程同样是平稳高斯过程而且均值为零，方差也相同而且均值为零，方差也相同此外，在同一时刻上得到的此外，在同一时刻上得到的 c和和 s是互不相关的或统计
43、是互不相关的或统计独立的。独立的。二、二、a (t)、 (t) 的统计特性的统计特性1. a , 联合概率密度函数联合概率密度函数 f (a , )根据概率论知识根据概率论知识由由可以求得可以求得于是有于是有式中：式中：a 0, = (0 2)于是有于是有式中：式中：a 0, = (0 2)于是有于是有2.a (包络包络)的一维概率密度函数的一维概率密度函数可见，可见， a 服从瑞利服从瑞利(Rayleigh)分布。分布。3. (相位相位)的一维概率密度函数的一维概率密度函数可见，可见， 服从均匀分布。服从均匀分布。结论结论一个均值为零，方差为一个均值为零，方差为 2的窄带平稳高斯过程的窄带平
44、稳高斯过程 (t)其包络其包络a (t)的一维分布是瑞利分布的一维分布是瑞利分布相位相位 (t)的一维分布是均匀分布的一维分布是均匀分布并且就一维分布而言，并且就一维分布而言， a (t)与与 (t)是统计独立的是统计独立的 即有即有 a (t)、 (t)以及以及 c(t)、 s(t)的统计特性结论在带通传输的统计特性结论在带通传输系统的抗噪声性能分析中将会用到，这是因为，在带通传系统的抗噪声性能分析中将会用到，这是因为，在带通传输系统中，信道噪声经过接收端带通滤波器后，到达解调输系统中，信道噪声经过接收端带通滤波器后，到达解调器前端的噪声就是一个平稳高斯窄带过程。器前端的噪声就是一个平稳高斯
45、窄带过程。3.6 正弦波加窄带高斯噪声正弦波加窄带高斯噪声1.正弦波加窄带高斯噪声的表示式正弦波加窄带高斯噪声的表示式 窄带高斯噪声窄带高斯噪声 正弦波的随机相位，均匀分布在正弦波的随机相位，均匀分布在0 2 间间2.正弦波加窄带高斯噪声的包络和相位表示式正弦波加窄带高斯噪声的包络和相位表示式包络：包络：相位：相位：3.正弦波加窄带高斯噪声的包络的统计特性正弦波加窄带高斯噪声的包络的统计特性 在数字带通传输系统中，解调器输入端的合成波在数字带通传输系统中，解调器输入端的合成波(信号信号+噪声噪声)为正弦波加为正弦波加窄带高斯噪声窄带高斯噪声3.正弦波加窄带高斯噪声的包络的统计特性正弦波加窄带高
46、斯噪声的包络的统计特性(1)包络的概率密度函数包络的概率密度函数 f (z)称为广义瑞利分布，又称莱斯称为广义瑞利分布，又称莱斯(Rice)分布。分布。式中：式中：I0(x) 第一类零阶修正贝塞尔函数第一类零阶修正贝塞尔函数当当I0(x) 是单调上升函数是单调上升函数 且有且有I0(0)=1时，时，f (z)存在两种极限情况存在两种极限情况(2)讨论讨论1)当信号很小时，即当信号很小时，即A 0时时I0(Az/ n2) 1，上式的莱斯分布退化为瑞利分布。，上式的莱斯分布退化为瑞利分布。2)当当(Az/ n2)很大时，有很大时，有这时上式近似为高斯分布，即这时上式近似为高斯分布，即上式中上式中(
47、Az/ n2)很小，相当于很小，相当于x值很小，值很小，信号功率与噪声功率的比值信号功率与噪声功率的比值包络概率密度函数包络概率密度函数 f (z)曲线曲线正弦波加窄带高斯噪声的包络分布正弦波加窄带高斯噪声的包络分布 f (z)与信噪比有关与信噪比有关小信噪比时，小信噪比时，f (z)接近于瑞利分布；接近于瑞利分布；大信噪比时，大信噪比时，f (z)接近于高斯分布；接近于高斯分布；在一般情况下，在一般情况下，f (z)才是莱斯分布；才是莱斯分布；F()正弦波加窄带高斯噪声的相位的统计特性正弦波加窄带高斯噪声的相位的统计特性正弦波加窄带高斯噪声的相位分布正弦波加窄带高斯噪声的相位分布 f ( )
48、与信噪比有关与信噪比有关小信噪比时，小信噪比时，f ( )接近均匀分布，此时窄带高斯噪声为主接近均匀分布，此时窄带高斯噪声为主大信噪比时，大信噪比时，f ( )主要集中在有用信号相位附近主要集中在有用信号相位附近3.7 高斯白噪声和带限白噪声高斯白噪声和带限白噪声分析通信系统的抗噪声性能时，常用高斯白噪声作为通信信道中的噪声模型分析通信系统的抗噪声性能时，常用高斯白噪声作为通信信道中的噪声模型通信系统中，常见噪声近似为白噪声，且热噪声的取值恰好服从高斯分布通信系统中，常见噪声近似为白噪声，且热噪声的取值恰好服从高斯分布实际信道或滤波器的带宽存在一定限制，白噪声通过后，其结果为带限噪实际信道或滤
49、波器的带宽存在一定限制，白噪声通过后，其结果为带限噪声，若其谱密度在通带范围内仍具有白色特性，则称其带限白噪声声，若其谱密度在通带范围内仍具有白色特性，则称其带限白噪声一、白噪声一、白噪声n (t)1.定义：功率谱密度在所有频率上均为常数的噪声定义：功率谱密度在所有频率上均为常数的噪声 双边功率谱密度双边功率谱密度或或 单边功率谱密度单边功率谱密度式中：式中：n0 正常数正常数白噪声的自相关函数：对双边功率谱密度取傅里叶反变换，得白噪声的自相关函数：对双边功率谱密度取傅里叶反变换，得到相关函数：到相关函数：白噪声和其自相关函数的曲线：白噪声和其自相关函数的曲线：对于所有的对于所有的 0都有都有
50、R( )=0表明白噪声仅在表明白噪声仅在 =0时才相关时才相关而在任意两个时刻而在任意两个时刻(即即 0)的随机变量都是不相关的的随机变量都是不相关的2.白噪声的功率白噪声的功率由于白噪声的带宽无限，其平均功率为无穷大，由于白噪声的带宽无限，其平均功率为无穷大， 真正真正“白白”的噪声是不存在的，它只是构造的噪声是不存在的，它只是构造的一种理想化的噪声形式。的一种理想化的噪声形式。 实际中，只要噪声的功率谱均匀分布的频率范围远远大实际中，只要噪声的功率谱均匀分布的频率范围远远大于通信系统的工作频带，我们就可以把它视为白噪声。于通信系统的工作频带，我们就可以把它视为白噪声。如果白噪声取值的概率分
51、布服从高斯分布，则称之为高如果白噪声取值的概率分布服从高斯分布，则称之为高斯白噪声。斯白噪声。高斯白噪声在任意两个不同时刻上的随机变量之间，不高斯白噪声在任意两个不同时刻上的随机变量之间，不仅是互不相关的，而且还是统计独立的。仅是互不相关的，而且还是统计独立的。 二、带限白噪声二、带限白噪声白噪声通过带宽有限的信道或滤波器的情形白噪声通过带宽有限的信道或滤波器的情形常见形式：低通白噪声、带通白噪声常见形式：低通白噪声、带通白噪声1.低通白噪声低通白噪声功率谱密度功率谱密度白噪声的功率谱密度被限制在白噪声的功率谱密度被限制在| f | fH内，常称为内，常称为带限白噪声带限白噪声自相关函数自相关
52、函数假设低通滤波器具有模为假设低通滤波器具有模为1、截止频率为、截止频率为| f | fH的传输特性的传输特性功率谱密度和自相关函数曲线功率谱密度和自相关函数曲线由曲线看出，这种带限白噪声只有在由曲线看出，这种带限白噪声只有在上得到的随机变量才不相关。上得到的随机变量才不相关。2.带通白噪声带通白噪声功率谱密度功率谱密度设理想带通滤波器的传输特性为设理想带通滤波器的传输特性为则其输出噪声的功率谱密度为则其输出噪声的功率谱密度为fc 中心频率中心频率B 通带宽度通带宽度式中式中自相关函数自相关函数带通白噪声的功率谱和自相关函数曲线带通白噪声的功率谱和自相关函数曲线讨论：讨论： 通常，带通滤波器的
53、通常，带通滤波器的 B fc，因此称窄带滤波器，相应地把带通，因此称窄带滤波器，相应地把带通白高斯噪声称为窄带高斯白噪声。白高斯噪声称为窄带高斯白噪声。窄带高斯白噪声的表达式和统计特性与一般窄带随机过程相同窄带高斯白噪声的表达式和统计特性与一般窄带随机过程相同 窄带高斯噪声窄带高斯噪声上式表明，上式表明，ns(t)、 nc(t) 、 n(t)具有相同的平均功率具有相同的平均功率(因均值为零因均值为零)平均功率在后面的模拟、数字通信系统的抗噪声性能时非常有用平均功率在后面的模拟、数字通信系统的抗噪声性能时非常有用 B指理想矩形的带通滤波器的带宽，而指理想矩形的带通滤波器的带宽，而对于实际的带通滤波器，对于实际的带通滤波器，B为噪声等效带宽为噪声等效带宽
