《复变函数与积分变换：5-3用留数定理计算实积分》由会员分享，可在线阅读，更多相关《复变函数与积分变换：5-3用留数定理计算实积分（34页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 哈哈尔尔滨滨工工程程大大学学 复复变变函函数数与与积积分分变变换换第五章第五章 留数理论及其应用留数理论及其应用5.3 用用留数定理计算实积分留数定理计算实积分学习要点学习要点 哈哈尔尔滨滨工工程程大大学学 复复变变函函数数与与积积分分变变换换利用留数定理计算实积分的步骤：利用留数定理计算实积分的步骤： 将实积分化成闭合回路的复积分将实积分化成闭合回路的复积分 利用留数定理利用留数定理 计算留数计算留数两个重要工作两个重要工作: 1) 积分区域的转化积分区域的转化2) 被积函数的转化被积函数的转化 哈哈尔尔滨滨工工程程大大学学 复复变变函函数数与与积积分分变变换换 哈哈尔尔滨滨工工程程大大学
2、学 复复变变函函数数与与积积分分变变换换z的有理函数的有理函数 , 且且在在单位圆周上分母不单位圆周上分母不为零为零 , 满足留数定满足留数定理的条件理的条件 .包围在单位圆周包围在单位圆周内的诸孤立奇点内的诸孤立奇点. . 哈哈尔尔滨滨工工程程大大学学 复复变变函函数数与与积积分分变变换换 哈哈尔尔滨滨工工程程大大学学 复复变变函函数数与与积积分分变变换换解解则则 哈哈尔尔滨滨工工程程大大学学 复复变变函函数数与与积积分分变变换换 哈哈尔尔滨滨工工程程大大学学 复复变变函函数数与与积积分分变变换换解解 令令 哈哈尔尔滨滨工工程程大大学学 复复变变函函数数与与积积分分变变换换极点为极点为 :
3、:( (在单位圆内在单位圆内) ) 哈哈尔尔滨滨工工程程大大学学 复复变变函函数数与与积积分分变变换换 哈哈尔尔滨滨工工程程大大学学 复复变变函函数数与与积积分分变变换换2. 积分区域的转化积分区域的转化:1. 被积函数的转化被积函数的转化: :xy.a2aka1a3a4 哈哈尔尔滨滨工工程程大大学学 复复变变函函数数与与积积分分变变换换根据留数定理得根据留数定理得 : 哈哈尔尔滨滨工工程程大大学学 复复变变函函数数与与积积分分变变换换从而从而: 哈哈尔尔滨滨工工程程大大学学 复复变变函函数数与与积积分分变变换换 哈哈尔尔滨滨工工程程大大学学 复复变变函函数数与与积积分分变变换换解解 哈哈尔尔
4、滨滨工工程程大大学学 复复变变函函数数与与积积分分变变换换 哈哈尔尔滨滨工工程程大大学学 复复变变函函数数与与积积分分变变换换xy.a2aka1a3a4 哈哈尔尔滨滨工工程程大大学学 复复变变函函数数与与积积分分变变换换约当引理约当引理 哈哈尔尔滨滨工工程程大大学学 复复变变函函数数与与积积分分变变换换对于充分大的对于充分大的 , 且且 时时, 有有 哈哈尔尔滨滨工工程程大大学学 复复变变函函数数与与积积分分变变换换从而从而 哈哈尔尔滨滨工工程程大大学学 复复变变函函数数与与积积分分变变换换由留数定理由留数定理: 哈哈尔尔滨滨工工程程大大学学 复复变变函函数数与与积积分分变变换换例例5 计算积
5、分计算积分解解 在上半平面只有二级极点在上半平面只有二级极点又又 哈哈尔尔滨滨工工程程大大学学 复复变变函函数数与与积积分分变变换换注意注意 以上两型积分中被积函数中的以上两型积分中被积函数中的R(x)在实轴在实轴上无孤立奇点上无孤立奇点. 哈哈尔尔滨滨工工程程大大学学 复复变变函函数数与与积积分分变变换换例例6 计算积分计算积分分析分析 因因在实轴上有一级极点在实轴上有一级极点应使封闭路应使封闭路线不经过奇点线不经过奇点, 所以可取图示路线所以可取图示路线: 哈哈尔尔滨滨工工程程大大学学 复复变变函函数数与与积积分分变变换换解解 封闭曲线封闭曲线C:由柯西由柯西-古萨定理得古萨定理得:由由
6、哈哈尔尔滨滨工工程程大大学学 复复变变函函数数与与积积分分变变换换 哈哈尔尔滨滨工工程程大大学学 复复变变函函数数与与积积分分变变换换当当 充分小时充分小时, 总有总有 哈哈尔尔滨滨工工程程大大学学 复复变变函函数数与与积积分分变变换换即即 哈哈尔尔滨滨工工程程大大学学 复复变变函函数数与与积积分分变变换换例例7证证 如图路径，如图路径， 哈哈尔尔滨滨工工程程大大学学 复复变变函函数数与与积积分分变变换换 哈哈尔尔滨滨工工程程大大学学 复复变变函函数数与与积积分分变变换换令两端实部与虚部分别相等，得令两端实部与虚部分别相等，得菲涅菲涅耳耳(fresnel)积分积分 哈哈尔尔滨滨工工程程大大学学 复复变变函函数数与与积积分分变变换换 本课我们应用本课我们应用“围道积分法围道积分法”计算了三类实计算了三类实积分积分, 熟练掌握应用留数计算定积分是本章的难熟练掌握应用留数计算定积分是本章的难点点.四、小结与思考四、小结与思考 哈哈尔尔滨滨工工程程大大学学 复复变变函函数数与与积积分分变变换换思考题思考题 哈哈尔尔滨滨工工程程大大学学 复复变变函函数数与与积积分分变变换换思考题答案思考题答案放映结束，按放映结束，按EscEsc退出退出. .
