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1、1第六章 电磁场的边值问题 2 静电场和恒定电场的边值问题，可归结为在给定边界条件下求解拉普拉斯方程或泊松方程。 常用的方法直接法间接法解析法数值法有限差分法（FD）有限元方法（FEM）矩量法（MoM）3静电参数(电容及部分电容)静电能量与力有限差分法镜像法,电轴法 分离变量法直接积分法数值法解析法边值问题边界条件电位基本方程D 的散度基本物理量 E、D基本实验定律（库仑定律）E 的旋度41. 镜像法 实质:是以一个或几个等效电荷代替边界的影响，将原来具有边界的非均匀空间变成无限大的均匀自由空间，从而使计算过程大为简化。 依据：惟一性定理。因此，等效电荷的引入必须维持原来的边界条件不变，从而保
2、证原来区域中静电场没有改变，这是确定等效电荷的大小及其位置的依据。这些等效电荷通常处于镜像位置，因此称为镜像电荷，而这种方法称为镜像法。关键：确定镜像电荷的大小及其位置。 局限性：仅仅对于某些特殊的边界以及特殊分布的电荷才有可能确定其镜像电荷。 5 镜像法是解静电场问题的一种间接方法，它巧妙地应用唯一性定理，使某些看来难解的边值问题容易地得到解决。使用镜像法时要注意以下三点：（1）镜像电荷是虚拟电荷; （2）镜像电荷置于所求区域之外的附近区域; （3）导电体是等位面。6（1）点电荷与无限大的导体平面。 介质 导体 q r P 介质 q r P hh 介质 以一个处于镜像位置的点电荷代替边界的影
3、响，使整个空间变成均匀的介电常数为 的空间，则空间任一点P 的电位由q 及q 共同产生，即考虑到无限大导体平面的电位为零，求得7 电场线与等位面的分布特性与第二章所述的电偶极子的上半部分完全相同。 由此可见，电场线处处垂直于导体平面，而零电位面与导体表面吻合。电场线等位线 z 8fqo（2）点电荷与导体球。Padrq 若导体球接地，导体球的电位为零。为了等效导体球边界的影响，令镜像点电荷q 位于球心与点电荷q 的连线上。那么，球面上任一点电位为可见，为了保证球面上任一点电位为零，必须选择镜像电荷为9 为了使镜像电荷具有一个确定的值，必须要求比值 对于球面上任一点均具有同一数值。由上图可见，若要
4、求三角形 OPq 与 OqP 相似，则 常数。由此获知镜像电荷应为镜像电荷离球心的距离d 应为这样，根据q 及q 即可计算球外空间任一点的电场强度。fqOPadrq10l（3）线电荷与带电的导体圆柱。 Pafdr-lO 在圆柱轴线与线电荷之间，离轴线的距离d 处，平行放置一根镜像电荷。已知无限长线电荷产生的电场强度为因此，离线电荷r 处，以为参考点的电位为11 若令镜像线电荷产生的电位也取相同的作为参考点，则及在圆柱面上P 点共同产生的电位为 已知导体圆柱是一个等位体，因此，为了满足这个边界条件，必须要求比值为常数。与前同理，可令，由此得12 （4）点电荷与无限大的介质平面。 E 1 1qr0
5、EEtEnq 2 2qE 1 2qeten=+ 为了求解上半空间的场可用镜像电荷q 等效边界上束缚电荷的作用，将整个空间变为介电常数为1 的均匀空间。对于下半空间，可用位于原点电荷处的q 等效原来的点电荷q 与边界上束缚电荷的共同作用，将整个空间变为介电常数为2 的均匀空间。13 但是，必须迫使所求得的场符合原先的边界条件，即电场切向分量保持连续，电位移的法向分量应该相等，即 已知各个点电荷产生的电场强度分别为代入上述边界条件，求得镜像电荷如下：14不接地：导体球面电位不为0，球面上存在正、负感应电荷（感应电荷总量为0）。处理方法：电位叠加原理(5)点电荷对不接地球面导体边界的镜像151、先假
6、设导体球面接地，则球面上存在电量为的感应电荷，镜像电荷可采用前面的方法确定。2、断开接地。将电量为的电荷加到导体球面上，这些电荷必然均匀分布在球面上，以使导体球为等势体。3、均匀分布在导体球面上的电荷可以用位于球心的等量点电荷等效。分析过程结论：点电荷q对非接地导体球面的镜像电荷有两个：16镜像电荷1：电量：位置：镜像电荷2：电量：位置：位于球心。球外空间某点电位为： 点电荷位于不接地导体球附近的场图172 分离变量法分离变量法是把一个多变量的函数表示成几个单变量函数乘积的方法。它首先要求给定边界与一个适当坐标系的坐标面相合；其次要求在坐标系中，待求偏微分方程的解可表示为三个函数的乘积，且其中
7、的每个函数仅是一个坐标的函数。在直角、圆柱、球等坐标系中都可以应用分离变量法。18直角坐标系中的平行平面场问题 平行平面场中位函数U(x，y) 在场域内满足拉普拉斯方程 设定分离变量形式的试探解，即令U(x，y) =X(x)Y(y)，代入方程得 19在x和y取任意值时等式恒成立，这要求两边恒为同一常数。现记该常数为 (称为分离常数) ： 取不同值时，两个常微分方程得到不同形式的解： =0 时，时，时，20位函数U的一般解可记作： 21 如果问题的边界面与直角坐标系的坐标面吻合，则可采用直角坐标系中的分离变量法。下面通过例子具体说明该方法。例 求如图所示二维长方形内的电位函数。解：根据题意，所求
8、区域的电位函数满足的方程及边界条件为xayb22只与x有关只与y有关在直角坐标系中方程 可写为（二维问题，与z无关） 分离变量法的前提即假设待求函数有分离变量形式的解：上式两端同除以因此该式成立的条件：且 为实数为虚数为虚数为实数 为零为零 为实数为虚数为零或23同样的讨论适用于函数 。为满足x=0和x=a的边界条件，应选取则因为将边界条件将边界条件于是称为边值问题的本征值。它的意义是：在上述边界条件下，分离常数 只有取这些特定值时，方程才有非零解。其解的函数形式 称为本征函数。24对于因为将边界条件于是得由于 故 的一般形式 将边界条件 这实际上是将一已知函数展为傅里叶级数。利用傅里叶级数的
9、系数公式得原问题的解253 有 限 差 分 法 图 3.1 差分网格 3.1 差分表示式 26二维泊松方程的差分格式 (Difference Form of 2D Poissons Equation)（1）二维静电场边值问题 基本思想：将场域离散为许多网格 ，应用差分原理，将求解连续函数 的微分方程问题转换为求解网格节点上 的代数方程组的问题。（2）有限差分的网格分割27令 h = x - x0，将 x = x1 和 x3 分别代入式 ( 3 )（3）由式（4）+（5）（7）同理,沿 x方向在 x0 处的泰勒公式展开为下 页上 页返 回（4）（5）（6）28将式(6)、式(7)代入式(1)，得
10、到当场域中即即五点差分格式下 页上 页返 回29上式表明，任一点的电位等于它周围四个点电位的平均值。显然，当h越小，计算越精确。如果待求N个点的电位，就需解含有N个方程的线性方程组。若点的数目较多，用迭代法较为方便。 30矩形网格剖分若场域离散为矩形网格，差分格式为313.2 边界条件离散化（Discrete Boundary Condition)第二类边界条件 第一类边界条件 分界面衔接条件 对称边界条件 其中介质分界面对称分界32差分方程的数值解法 1. 简单迭代法 图 3.2 节点序号 33 2. 塞德尔(Seidel)迭代法 通常为节约计算时间，对简单迭代法要进行改进，每当算出一个节点
11、的高一次的近似值，就立即用它参与其它节点的差分方程迭代，这种迭代法叫做塞德尔(Seidel)迭代法。塞德尔迭代法的表达式为 此式也称为异步迭代法。由于更新值的提前使用，异步迭代法比简单迭代法收敛速度加快一倍左右，存储量也小。 343. 超松驰迭代法 式中称为松弛因子，其值介于 1 和 2 之间。当其值为1时，超松弛迭代法就蜕变为塞德尔(Seidel)迭代法。 因子的选取一般只能依经验进行。但是对矩形区域， 当M、 N都很大时，可以由如下公式计算最佳收敛因子0: 35边界节点赋已知电位值赋节点电位初始值累计迭代次数 N=0N=N+1按超松弛法进行一次迭代，求 打印 NY程序框图36 例 设如图
12、所示的矩形截面的长导体槽，宽为 4h，高为3h，顶板与两侧绝缘，顶板的电位为 10V，其余的电位为零，求槽内各点的电位。 37 解：将待求的区域分为 12 个边长为h的正方形网格， 含六个内点，得出差分方程组： 38解以上方程组， 得 39 简 单 迭 代 法 12345600.00.00.00.00.00.012.50.02.50.02.50.023.1250.6253.750.6253.1250.625104.14351.53635.06982.02424.14351.5363114.15151.54195.07780.03564.15151.541940超松弛迭代法(=1.2) 41松弛因子的影响 424344454647本章结束48
